物理有限元基本原理PPT学习教案

1、会计学1物理有限元基本原理物理有限元基本原理21.1 有限单元法的概念有限单元法的概念1.2 有限单元法基本步骤有限单元法基本步骤第1页/共130页31.1 有限单元法的概念有限单元法的概念基本思想基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而解决工程技术问题。Finite Element Method -_FEMFinite Element Analysis 第2页/共130页4三大类型三大类型(按其推导方法分):(1) 直接刚度法直接刚度法(简称直接法简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元性质方程。 (2) 变分法变分法 直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问

2、题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算方法。 (3) 加权余量法加权余量法 直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似解法。 第3页/共130页51.2 有限单元法基本步骤有限单元法基本步骤(1) 待求解域离散化待求解域离散化(2) 选择插值函数选择插值函数(3) 形成单元性质的矩阵方程形成单元性质的矩阵方程(4) 形成整体系统的矩阵方程形成整体系统的矩阵方程(5) 约束处理，求解系统方程约束处理，求解系统方程(6) 其它参数计算其它参数计算第4页/共130页6图1-2 工程问题有限单元法分析流程 第5页/共130页72.1 结构几何构造的必要性结构几何构造的必要性 2.2 结构计

3、算基本知识结构计算基本知识2.3 结构几何构造分析的自由度与约束结构几何构造分析的自由度与约束2.4 自由度计算公式自由度计算公式 第6页/共130页82.1 结构几何构造的必要性结构几何构造的必要性 结构是用来承受和传递载荷的。结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构，反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。 第7页/共130页9 (a) 结构本身可变 (b) 缺少必要的约束条件 (c) 约束汇交于一

4、点 图2-1 几何可变结构 第8页/共130页102.2 结构计算基本知识结构计算基本知识2.2.1 结构计算简图结构计算简图 实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。结构计算所常用的结点和支座的简化形式结构计算所常用的结点和支座的简化形式: （1）结点： 铰结点； 刚结点； 混合结点。 （2）支座： 活动铰支座； 固定铰支座 ； 固定支座 ； 定向支座 第9

5、页/共130页112.2.2 结构的分类与基本特征结构的分类与基本特征 (1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类(2) 按结构元件的几何特征分 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 板壳结构 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 混合结构 第10页/共130页12(3) 按结构自由度分 静定结构自由度为零的几何不变结构。其特征: a. 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯一的。 b. 静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面特征（几何尺寸，形状）无关。 c. 静定结构上无外载荷作用时，其内力及支座反力全为零。

6、d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则其它部分的内力为零。 e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不变部分时，结构的其余部分都无内力产生。 f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载荷作等效变换时，其余部分的内力不变。 g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造改变时，其余部分的内力不变。 第11页/共130页13 超静定结构自由度大于零的几何不变结构。其特性： a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。 b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而且与林料的力学性能和

7、截面尺寸有关。 c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的限制，结构内必将产生内力。 d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构遭受破坏。 e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。 第12页/共130页14(1) 具有奇数跨的刚架 正对称载荷作用 2.2.3 结构对称性的利用结构对称性的利用 对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称载

8、荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位移为零。 (a) 对称刚架 （b) 变形状态分析 (c) 对称性利用 图2-22对称性利用示意图 第13页/共130页15 对称刚架承受反对称载荷作用 (a) 对称刚架 (b) 变形状态分析 (c) 反对称性利用 图2-23 反对称性利用示意图 第14页/共130页16 (a) 变形状态分析 (b) 对称性利用 图2-24对称性利用示意图(2) 具有偶数跨的刚架 正对称载荷作用 第15页/共130页17 反对称载荷作用 (b) 反对称性状态分析 (a) 变形状态分析 (c) 反对称性受力分析 (d) 反对称性利用 图2-25对称性利用示意图第16页

9、/共130页18 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束结构几何构造分析的自由度与约束 (1) 自由度自由度指结构在所在空间运动时，可以独立改变的几何参数的数目，也就是确定该结构位置时所需的独立参数的数目。(2) 约束约束 指减少结构自由度的装置，即限制结构结构运动的装置。 a. 支座链杆的约束 b. 铰的约束: 单铰； 复铰； 完全铰与不完全铰。第17页/共130页19(1)桁架自由度计算公式桁架自由度计算公式 一个平面体系的自由度计算结果，不外下述三一个平面体系的自由度计算结果，不外下述三种可能：种可能： a. W0 表明结构缺少必要的约束， 可运动， 故结构必定是几何可变体系。 b. W

10、=0 表明结构具有保证几何不变所需的最少的约束数。 c. W0 表明结构具有多余约束。 2.4 自由度计算公式自由度计算公式zgjW 2zgjW 3平面桁架 空间桁架 桁架中的结点数为j，杆件数为g，支座链杆数为z，则桁架的自由度W 为(2) 平面混合结构的自由度计算公式平面混合结构的自由度计算公式第18页/共130页20 3.1 结构离散与向量表示结构离散与向量表示 第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法3.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元的刚度矩阵 3.3 坐标变换及单元刚度矩阵坐标变换及单元刚度矩阵 3.4 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 3.5 约束

11、处理及求解约束处理及求解 3.6 计算示例计算示例 第19页/共130页213.1 结构离散与向量表示结构离散与向量表示 工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式桁构支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等可以归结为杆系结构。杆系结构按各杆轴线及外力作用线在空间的位置分为平面杆系和空间杆系结构。 杆系结构可以由杆单元、梁单元组成。 (a) Liebherr塔式起重机 (b) Liebherr履带式起重机(c) 钢结构桥梁 (d) 埃菲尔铁塔 图3-1 杆系结构第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第20页/共130页223.1.1 结构离散化结构离散化

12、由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散化比较简单，一般将杆件或者杆件的一段( 一根杆又分为几个单元 )作为一个单元，杆件与杆件相连接的交点称为结点。杆系结构的离散化的要点可参考如下： a. 杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。这些结点都是根据结构本身特点来确定的。 b. 结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置为一个单元。变换为作用在结点上的等效结点载荷。 第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第21页/共130页23 c. 变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点处的截面近似作为该单元的截面，各单

13、元仍按等截面杆进行计算。 d. 对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折线为一个单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加结点。 e. 在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构有非结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法(a) 结点载荷处理方式 (b) 等效结点载荷处理方式图3-2杆系结构离散化示意图 第22页/共130页243.1.2 坐标系坐标系 图3-3 坐标系示意图 为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。 第三章第三

14、章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第23页/共130页253.1.3 向量表示向量表示 在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标轴方向的分量。 (a)刚架结构示意图 (b) 结点位移和结点力分向量 图3-4 平面刚架分析示意图 第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第24页/共130页26 Tiiiivu Tjjjjvu结点位移列向量为 单元e结点位移列向量为 Tjjjiiijieuu 结点

15、力向量为 TeiiieiMVUF TejjjejMVUF 单元e结点力列向量为 TejjjiiiejeieMVUMVUFFF第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第25页/共130页273.2 位移函数及单元的刚度矩阵位移函数及单元的刚度矩阵 3.2.1 轴向拉压杆单元的位移的函数轴向拉压杆单元的位移的函数 有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建的位移函数的数学模型的性能、能否真实反映真实结构的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算精度及解的收敛性。 为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下列要求

16、: a. 单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第26页/共130页28 由单元结点位移，确定待定系数项 当 时， 当 时， 所以 用结点位移表示 其中 、 分别表示当 ， 时； ， 时的单元内的轴向位移状态，故称为轴向位移形函数。0 xlx iuu juu iu1luuij2jjuiiuuNNxu)(lxNiu1lxNjuiuNjuN1iu0ju0iu1ju第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法 b. 单元

17、的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。 c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的位移协调性。 第27页/共130页29 3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数梁单元平面弯曲的位移函数 梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分量 ， ， ， ，由材料力学知,各截面的转角: 故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个待定系数 ， ， ， 的多项式 单元结点位移条件 当 时 ， 当 时 ，iijjxv1234342321)(xxxxv0 xivv ixvlx jvv jxvjijijijiiilvvllvvlv234232112213第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元

18、法杆系结构静力分析的有限单元法第28页/共130页3032233223223322112312231xlxlNxlxlNxlxlxNxlxlNjjviivjjjjviiiivNvNNvNxv)( ejjiijuiuNNNNNNvu000000 eNf称为形函数矩阵。 N第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第29页/共130页313.2.3 单元的应力应变单元的应力应变 在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分组成，即轴向应变与弯曲应变之和，其轴向应变与平面桁架轴向应变相同。 轴向应变为 弯曲应变为 y为梁单元任意截面上任意

19、点至中性轴(x轴)的距离。 得出平面刚架单元应变 xulx22xvybx图3-5 弯曲应变计算示意图 22xvyxubxlxx exB则 xllyxllylxllyxllylB232232621261641261平面刚架梁单元的应变转换矩阵。 B exxBEE第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第30页/共130页323.2.4 平面刚架梁单元的刚度矩阵平面刚架梁单元的刚度矩阵 梁单元的i，j结点发生虚位移为 T*jjjiiieuu 单元内相应的虚应变应为 exB*由虚功原理有 dxdydzFxvxeeT*T* evedxdydzBEBTT* 由于结点虚位移

20、的任意性，故上式可写成 e eeevekdxdydzBEBFT 上式称为局部坐标下的平面刚架单元的刚度方程，简称为单刚。 第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第31页/共130页33 dxdydzBEBkveT 横截面积A 横截面对形心轴z的静矩S 横截面对主惯性轴z的惯性矩I 得到四个3 3子块所组成的局部坐标系下的平面刚架梁单元的单元刚度矩阵。 AdydzA0AydydzSAdydzyI2 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkkkkkejjejieijeiie460260

21、612061200000260460612061200000222323222323第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第32页/共130页34 平面桁架的单元刚度矩阵为 lEAlEAlEAlEAkkkkkejjejieijeiie 空间桁架单元每个结点有3个位移分量，其单元结点位移列向量 Tjjjiiijiewuwu 空间桁架局部坐标下的单元刚度矩阵是66的 00000000000000000000000000000000lEAlEAlEAlEAkkkkkejjejieijeiie第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第33页

22、/共130页35 空间刚架单元每个结点有6个位移分量，其单元结点位移列向量 Tjzjyjxjjjiziyixiiijiewvuwvu 空间刚架局部坐标下的单元刚度矩阵是1212的。 (a) 杆单元i端产生单位位移 (b) 杆单元j端产生单位位移图3-6 平面桁架单元刚度系数的物理意义 (a) 梁单元i端产生单位位移 (b) 梁单元j端产生单位位移 第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第34页/共130页36(c) 梁单元i端产生单位角位移 (d) 梁单元j端产生单位角位移图3-7 平面刚架单元刚度系数的物理意义 3.2.5 单元的刚度矩阵的性质单元的刚度矩阵的

23、性质 a. 单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。仅与单元的横截面积A、惯性矩I、单元长度l、单元的弹性模量E有关。 b. 单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元刚度矩阵对角线两侧对称位置上的两个元素数值相等，即，根据是反力互等定理。 c. 单元刚度矩阵是一个奇异阵。 d. 单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定的物理意义。第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第35页/共130页373.3 坐标变换及单元刚度矩阵坐标变换及单元刚度矩阵 3.3.1 坐标变换坐标变换 在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向量 可分别表示成 Tjjjiiiejeievu

24、vu TjjjiiijieMYXMYXFFF (a) 向量转换分析 (b) 向量转换图3-8 向量转换示意图 sincosiiivuucossiniiivuvii第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第36页/共130页38iiiiiivuvu1000cossin0sincos对于梁单元如图3-8(b)所示，则有 jjjiiijjjiiivuvuvuvu1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos可简写为 eeT第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第37页/共130页3

25、9 同理 eeFTF式中 平面刚架梁单元的从局部坐标系向整体坐标系的转换矩阵。 T 1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosT3.3.2 整体坐标系下的单元刚度矩整体坐标系下的单元刚度矩阵阵 eeeeeeekTkTTkTFT1 式中 整体坐标下的单元刚度矩阵。 ek TTkTkee 和 一样， 为对称阵、奇异阵。 ek ek第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第38页/共130页403.4 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 3.4.1 整体刚度矩阵的建立整体刚度矩阵的建立 整体刚度矩阵也称之为结构刚度矩阵

26、或总体刚度 矩阵，简称总刚。 整体刚度矩阵的求解是建立在结构 平衡条件的基础之上， 因此研究对象以整体坐标系为 依据。 图3-9 载荷向量示意图 如右图所示刚架结构，其结点载荷列向量分别为 T111. 1MPPPyx T2212. 2MPPPyx T3331. 3MPPPyx T444. 4MPPPyx第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第39页/共130页41结构载荷列向量 T4321PPPPP T444333222111MPPMPPMpPMPPPyxyxyxyx结点位移列向量 T4321 T444333222111vuvuvuvu对于结点对于结点1对于结点

27、对于结点2对于结点对于结点3对于结点对于结点4111111111MPPMYXyx 111PF222222222121212MPPMYXMYXyx 22212PFF333333333232323MPPMYXMYXyx 33323PFF444343434MPPMYXyx 434PF建立结点平衡条件方程式如右表。第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第40页/共130页42用分块矩阵的形式，建立杆端内力与结点位移的关系式。用分块矩阵的形式，建立杆端内力与结点位移的关系式。对于单元对于单元1有有 简写为简写为 其中单元其中单元1的刚度的刚度矩阵矩阵 关系式展开为关系式展

28、开为 211221211121111211kkkkFF 111kF 1221211121111kkkkk21221121122112111111kkFkkF第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第41页/共130页43对于单元对于单元2有有 简写为简写为 其中单元其中单元2的刚度矩阵的刚度矩阵 关系式展开为关系式展开为 322332322232222322kkkkFF 222kF 2332322232222kkkkk32332232232223222222kkFkkF第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第42页/共130页44对

29、于单元对于单元3有有 简写为简写为 其中单元其中单元3的刚度矩的刚度矩阵阵 关系式展开为关系式展开为 433443433343333433kkkkFF 333kF 3443433343333kkkkk43443343344334333333kkFkkF第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第43页/共130页45 单元刚度矩阵由22的子矩阵组成， 每个子矩阵是33的方阵。 的上角标表示单元编号，下角标表示单元j端单位位移所引起的i端相应力。 将杆端内力与结点位移关系式代入结点的平衡条件方程式中，经整理得： eijk432143213443433343332332

30、32223222122121112111000000PPPPkkkkkkkkkkkk简写为 PK称之为结构原始平衡方程。其中 344343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkkK 为整体刚度矩 阵。 K第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第44页/共130页463.4.2 整体刚度矩阵的集成整体刚度矩阵的集成 整体刚度矩阵是由在整体坐标系下，矩阵按照结点编号的顺序组成的行和列的原则，将全部单元刚度矩阵扩展成nn方阵后对号入座叠加得到。 对于单元1 0000000000001221211121111kkk

31、kK对于单元2 0000000000002332322232222kkkkK对于单元3 34434333433330000000000000kkkkK 单元刚度矩阵集成得出整体刚度矩阵 34434333433323323222322212212111211132100000043214321kkkkkkkkkkkkKKKK结点编号第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第45页/共130页473.4.3 整体刚度矩阵的性质整体刚度矩阵的性质 整体刚度矩阵 中位于主对角线上的子块 ，称为主子块，其余 为副子块。 a. 中主子块 由结点i的各相关单元的主子块扩展之后叠

32、加求得，即 b. 当结点i、 j为单元e的相关结点时， 中副子块 为该单元e相应的副子块，即 。 c. 当结点i、 j为非相关结点时， 中副子块 为零子块，即 。 d. 仅与各单元的几何特性、材料特性，即A、I、l、E等因素有关。 e. 为对称方阵， f. 为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件。 KiiKijK KeiiiikK KijKeijijkK KijK 0ijK K KjiijKK K第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第46页/共130页48 g. 为稀疏矩阵，整体刚度矩阵中的非零元素分布区域的宽度与结点编号

33、有关，非零元素分布在以对角线为中心的带状区域内，称为带状分布规律，见图3-10(a)。在包括对角线元素在内的区域中，每行所具有的元素个数叫做把半带宽，以d表示。最大半带宽等于相邻结点号的最大差值加 1 与结点自由度数的乘积，结点号差越大半带宽也就越大。计算机以半带宽方式存储，见图3-10(b)。半带宽越窄，计算机的存储量就越少，而且可以大幅度减少求解方程所需的运算次数。其效果对大型结构显得尤为突出。 图3-10 整体刚度矩阵存储方法 h. 整体刚度矩阵稀疏阵。 故整体刚度矩阵不能求逆，必须作约束处理方能正确地将结点位移求出，进而求出结构的应力场。 (a) 带状分布规律 (b) 带状存储 第三章

34、第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第47页/共130页493.5 约束处理及求解约束处理及求解 3.5.1 约束处理的必要性约束处理的必要性 建立结构原始平衡方程式 时，并未考虑支承条件（约束），也就是说，将原始结构处理成一个自由悬空的、存在刚体位移的几何可变结构。整体刚度矩阵是奇异矩阵，因此，无法求解。可以参照第 2 章的原则，结合实际工程结构引入支承条件，即对结构原始平衡方程式 做约束处理。 约束处理后的方程称为基本平衡方程。 统一记为 PK PK PK3.5.2 约束处理方法约束处理方法 约束处理常用方法有填0置1法和乘大数法。采用这两种方法不会破坏整体刚度

35、矩阵的对称性、稀疏性及带状分布等特性。 第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第48页/共130页50 下面以图3-11所示刚架结构为例，解释如何进行约束处理。对于下图所示刚架结构 设结点位移列向量为设结点载荷列向量为 T9321T321uuuu T9321T321ppppPPPP(a)固定支座 (b) 支座强迫位移已知 图3-11 结构约束第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第49页/共130页51其原始平衡方程式为 32132123323222322212212111211100PPPkkkkkkkk 按照每个结点的位移分量

36、将上式展开为987654321987654321999897969594939291898887868584838281797877767574737271696867666564636261595857565554535251494847464544434241393837363534333231282726262524232221191817161514131211pppppppppuuuuuuuuukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk第三章第三章 杆系结构静力分析

37、的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第50页/共130页52 对于如图3-11(a)所示，结构约束（支座）位移全部为零，此时做约束处理时，采用填0置1法比较适宜。 对于如图3-11(b)所示，某约束（支座）位移为给定的强迫值，此时做约束处理时，采用乘大数法比较适宜。 (1) 填0置1法 如右图所示结点1、3处为固定支座，可知 将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部置换成1， 相应行和列上的其它元素均改为0。 同时，所在同一行上的载荷分量替换成0，则有0987321uuuuuu第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第51页/共130页53000000010

38、00000001000000000100000000000000000000000000000010000000001000000000165498765432192666564565554464544pppuuuuuuuuukkkkkkkkkk654654666564565554464544pppuuukkkkkkkkk则第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法 也可简便地采用划行划列的办法。在整体刚度矩阵中将与约束位移为 0 的行和列划掉，包括相关的所在行的位移和载荷向量。第52页/共130页54 处理后得基本平衡方程 (2) 乘大数法 右图所示刚架，结点1为

39、固定支座，结点3处在方向的约束为已知强迫位移。即 将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部乘以一个大数N，一般取 。同时，将相应同一行上的载荷分量替换成 N 乘以其主对角刚度系数和给定的强迫位移（包括零位移）。 22222122Pkk097321uuuuu088uu 15101010N第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第53页/共130页550000088865498765432199989796959493929189888786858483828179787776757473727169686766656463626159585756555453525

40、1494847464544434241393837363534333231282726262524232221191817161514131211kNpppuuuuuuuuukNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkN0921111jjukukN得到由于N 足够大，可以近似认为 0921jjuk,则得出 01u同时得到09732uuuu088uu 求出位移 之后，即可以求出结构的应力场 。 第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第54

41、页/共130页56第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法 用有限单元法计算空间刚架结构，在原理上及推导过程与计算平面刚架结构相同。在此不再重复。但应注意到，由于空间的每一结点一般具有六个自由度，故计算较之复杂些。3.6 计算示例计算示例 设两杆的杆长和截面尺寸相同， 27kN/m101 . 2 E杆件长 m。 10l图3-12 刚架受力简图第55页/共130页57(1) 结构离散化后 将结构划分为4个结点、3个单元2m5 . 0A43m2411215 . 0I截面积 ，惯性矩 (2) 求结点载荷 首先须求局部坐标系中固定端内力 eF0 (a) 单元1作为两端固定

42、梁反力示意图 (b) 单元2作为两端固定梁反力示意图图3-13内力示意图 第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第56页/共130页58单元1 mKN8012106 . 912kN482106 . 922212101102101glMMglVVo单元2 mKN20081016081KlMMPVV在局部坐标系下单元载荷列向量在局部坐标系下单元载荷列向量 单元1 804808048010F单元2 20080020080020F单元3 00000030F第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第57

43、页/共130页59 为了求出在整体坐标下的载荷列向量，先求单元得坐标转换矩阵 T单元1、2 00 I1000000100000010000001000000100000011000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos1T单元3 090 1000000010000100000001000000010000101000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos3T第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第58页/共130页60 求各单元在整体坐标下的求各单

44、元在整体坐标下的等效结点载荷等效结点载荷 eP0 1020110101108048080480PPFFTPT 203022020220200800200800PPFFTPT第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第59页/共130页61 30204303T30000000000000100000001000010000000100000001000010PPFTPT 求刚架的等效结点载荷 0P 3020100PPPP 00020080012012808048000000000000000020080020080000000000080480804800P第三章第三

45、章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第60页/共130页62因为无结点载荷作用，总结点载荷即为等效结点载荷。 T0000200800120128080480 PP(3) 求单元刚度矩阵由于单元1、2、3的尺寸相同，材料弹性模量相同，故 ek 321kkk梁单元的局部坐标下的刚度矩阵表达式梁单元的局部坐标下的刚度矩阵表达式 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAke460260612061200000260460612061200000222323222323第三章第三章 杆系结构静力分析的

46、有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第61页/共130页63 2321103500525017505250525105052510500010500001050017505250350052505251050525105000105000010500kkk则（4）求整体坐标系中的 ek单元1 111111T122211211kkkkkIkIk单元2 222222233322322kkkkkkk单元3 33T33TkTk第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第62页/共130页64 3334332322244410350005251750052501050000

47、1050005250105525010517500525350005250105000010500052501055250105kkkkk（5）求结构整体刚度矩阵 K利用刚度集成法利用刚度集成法 344342223242321111000000233223222222211211kkkkkkkkkkkkK（6）建立原始平衡方程式43214321344342223242321111000000233223222222211211PPPPkkkkkkkkkkkk第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第63页/共130页65（7）引入约束条件解方程组 由于1、3、4为

48、固定端， 修改整体刚度矩阵中的13，612行与列， 以及载荷列向量中的相应的行，既约束处理。 0444333111vuvuvu建立基本平衡方程建立基本平衡方程 22222222Pkkk即622210428.1145145.1198465. 2vu得到 （8）求各杆的杆端力 eF 单元3结点位移列向量 3336666010000001000000000100000100000102.8465 10119.5145000100119.5145 102.8465000001114.428 10114.428T第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第64页/共130页6

49、6单元1杆端内力计算 10111FkF7753.1137526.529888. 22496.662474.439888. 2单元2杆端内力计算 20222FkF2994.2262624.879888. 26757.1537376.729888. 2单元3杆端力计算 30333FkF9004.399776. 54902.1258755.199776. 54902.125第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单元法杆系结构静力分析的有限单元法第65页/共130页67（9）作内力图 （a） 刚架轴力图（b） 刚架剪力图（c） 刚架轴弯矩图 图3-14 刚架内力图 第三章第三章 杆系结构静力分析的有限单

50、元法杆系结构静力分析的有限单元法第66页/共130页684.1 平面应力问题平面应力问题 第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法4.2 平面应变问题平面应变问题 4.3 平面问题的离散化平面问题的离散化4.4 平面三结点三角形单元平面三结点三角形单元 第67页/共130页69 严格地说，任何弹性体都是处于三维受力状态，因而都是空间问题，但是在一定条件下，许多空间问题都可以简化成平面问题。 平面问题可以分为两类：平面应力问题平面应力问题和平面应平面应变问题变问题。图4-1 平面问题应力状态第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法第68页/共130页7

51、04.1 平面应力问题平面应力问题图4-2(a) 平面应力问题 如图所示的深梁结构，其厚度方向的尺寸远比其它两个方向的尺寸小得多，可视为一薄板。它只承受作用在其平面内的载荷，且沿厚度方向不变，计算时以中性面为研究对象。其力学特点力学特点是：, 0, 0, 0zyyzzxxzz0z平面应力问题的应力应变转换矩阵即弹性矩阵为：。 2100010112ED第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法第69页/共130页71图4-2(b) 平面应变问题4.2 平面应变问题平面应变问题 图示为一圆形涵洞的横截面。其长度方向上的尺寸远比其它两个方向上的尺寸大得多，同样，载荷作用在xy坐标

52、面内，且沿z轴方向均匀分布。其力学特点是：0, 0, 0yzxzx但一般情况下 0z平面应变问题的弹性矩阵只需将式(4-1)中的E换成 21E换成 ， 1即可。 )1 (22100011011)21)(1 ()1 (uED。第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法第70页/共130页72 无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力 与 应变应变 之间的关系均为： 0 D Txyyx Txyyx，其中： 0为初应变。式中4.3 平面问题的离散化平面问题的离散化(a) 三结点三角形单元 (b) 四结点正方形单元 (c) 四结点矩形单元 (

53、d) 四结点四边形单元图4-3 平面问题单元的主要类型第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法第71页/共130页73 图4-4(a)表示的是带有椭圆孔的平板，在均匀压力作用下的应力集中问题。图4-5(b)是利用结构的结构的对称性对称性，采用三结点三角形单元而离散后的力学模型，各单元之间以结点相连。 (a) 均匀受力板力学模型 (b) 力学模型离散化图4-4 平面问题有限单元法的计算力学模型第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法第72页/共130页74 4.4 平面三结点三角形单元平面三结点三角形单元 4.1.1 位移函数位移函数图4-5 三角形单

54、元 如果把弹性体离散成为有限个单元体，而且单元很小时，就很容易利用其结点的位移，构造出单元的位移插值函数，即位移函数。65432110000001yxyxyxvyxu位移函数矩阵形式位移函数矩阵形式：第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法第73页/共130页75简写为： Mf 由于位移函数适用于单元中的任意一点，所以带入3个结点的坐标后，得出结点处位移函数为结点处位移函数为64321100000011000000110000001mmmmjjjjiiiimmjjiiyxyxyxyxyxyxvuvuvu简写为： Ae第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限

55、单元法第74页/共130页76 解出 eA1mjimjimjimjimjimjicccbbbaaacccbbbaaaA000000000000000000211其中， 是三角形单元的面积，当三角形单元当三角形单元结点结点i、j、m按逆时针次序排列时按逆时针次序排列时，则有)(21)(2121mijmijimmjjiyxyxyxyxyxyx4.4.2 形函数矩阵形函数矩阵第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法第75页/共130页77jmmjimjmjimjmmjjixxxxcyyyybyxyxyxyxam1111其中记号 表示将i、j、m进行轮换后，可得出另外两组带脚标的

56、a、b、c的公式。单元位移函数为结点位移的插值函数单元位移函数为结点位移的插值函数，即iiiimjimmmmjjjjiiiiiiiimjimmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbavycxbavuycxbauycxbauycxbauycxbau)(21)()()(21)(21)()()(21.第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法(4-9)第76页/共130页78)(21ycxbaNiiii令 mjiNNN、 在式(4-10)中表示的 称为形函数形函数，于是位移函数表达式用形函数表示为：(4-10)mjiiimmjjiimjiiimmjjiivNvNv

57、NvNvuNuNuNuNu、(4-11)写成矩阵形式mmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvuf000000emjiINININ(4-12)第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法第77页/共130页79由几何方程知vuxyyxxyyx00将式(4-9)代入式(4-13)中，并求偏导数，得(4-13)()(21)(21)(21mmjjiimmjjiimmjjiimmjjiixyyxvbvbvbucucucvcvcvcububub4.4.3 单元的应力与应变单元的应力与应变第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法第78页/共130页80)()

58、(21)(21)(21mmjjiimmjjiimmjjiimmjjiixyyxvbvbvbucucucvcvcvcububub简写为： eB(4-14)mjimmjjiimjimjiBBBbcbcbccccbbbB00000021 由于B是常量，单元内各点应变分量也都是常量，这是由于采用了线性位移函数的缘故，这种单元称为常应变三角形单元。(4-15)第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法第79页/共130页81 由弹性力学的物理方程弹性力学的物理方程可知，其应力与应变有如下关系： D(4-16) 将式(4-14)代入式(4-16)，得eeSBD(4-17)mjiSSSB

59、DS式中 (4-18) S称为应力转换矩阵转换矩阵，对平面应力问题，其子矩阵为iiiiiiibccbcbES2121)1 (22(4-19) 由式(4-17)看出，应力分量也是一个常量。在一个三角形单元中各点应力相同，一般用形心一点表示。其应变也可同样表示。第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法第80页/共130页82 用虚功原理来建立结点力和结点位移间的关系式，从而得出三角形单元的刚度矩阵。 (a) 实际力系 (b) 虚设位移图4-6 弹性体虚功原理的应用4.4.4 三角形单元刚度矩三角形单元刚度矩阵阵第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法第8

60、1页/共130页83结点力列向量和应力列向量分别为TTmmjjiimjieVUVUVUFFFFTxyyx结点虚位移列向量和虚应变列向量为T*T*mmjjiimjievuvuvuT*xyyx用虚功原理虚功原理建立三角形单元的虚功方程为tdxdyFeeT*T*）（ eB* TT*T*Be）（tdxdyBFeeeTT*T*）（）（由式(4-12)式知，代入式(4-20)得(4-20)第四章第四章 平面结构问题的有限单元法平面结构问题的有限单元法第82页/共130页84 由于虚位移是任意的，等号两边可左乘1T*e，得tdxdyBFeTetdxdyBDBTeek (4-21)三角形单元的刚度矩阵可写成