九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系应用例析素材(新版)北师大版

1、 应用例析：一元二次方程根与系数的关系 对于一元二次方程 = =；+u +u - - 山，当判别式二 I I 时，其求根 _ * 士 J J 护 - 44 公式为： 一二 ；若两根为；t t ,当 AAOAAO 时，则两根的关系为： b _c X X + + 阳二 X X “為二 _ a ； M M ,根与系数的这种关系又称为韦达定理； 它的逆定理也是成立的， _b =c_ 即当； -，一；时，那么、t t 则是 八:一二, 的两根。一元 二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位， 也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题

2、目外， 2 2 还常常要求同学们熟记一元二次方程 - - 11 - 根的判别式丄-丁 一二存 在的三种情况，以及应用求根公式求出方程 二:“川：匚-川-.的两个根：丁1门，进 而分解因式，即 “一。下面就对应用韦达定理可能出现的问题 举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 2 2 2 2 例 1 1：已知关于 T T 的方程（11 有两个不相等的实数根，且 1 1 关于工的方程（2 2）. 】一二.-:没有实数根，问.1取什么整数时，方程（1 1）有整 数解？ 分析：在同时满足方程（i i）,（2 2）条件的 a a 的取值范围中筛选符合条件的 a

3、的整数值。 解：“方程（1 1）有两个不相等的实数根， 仏二卜（卜加）-4 4八 3 3）00 13 a 解得 I I ； “方程（2 2）没有实数根，2 解得： 1 1; 于是，同时满足方程（1 1）, （2 2）条件的必的取值范围是 其中，的整数值有一：或一； 当一：时，方程（1 1 ）为/. ! - - - . .- -II，无整数根； 当代二:时，方程（1 1）为_?： | ：，有整数根。 解得： 二“厂二 所以，使方程（1 1）有整数根的.的整数值是，.。 说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础， 并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出 题的基本技巧

4、。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例 1 1 :不解方程，判别方程一 两根的符号。 2 分析：对于.二 八 r-口* “来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为 已知，可据此求出根的判别式，但只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负， 贝懦 要确定 J J或二匚的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要 确定 0 0 “方程有两个不相等的实数根。 r r 设方程的两个根为 -I I, 7 “/ “/ - - 0 0 “ “原方程有两个异号的实数根。 说明： 判别根的符号， 需要把根的判别式和根与系数的关系结合起来进行 确定， 另外由于本题中 ： 0 0,所以可判定方程的

5、根为一正一负；倘若 1 1 0 0，仍需 考虑 A A 殆的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 1 a 正确确定的取值范围, - ，这也正是解答本 3 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例 2 2:已知方程丄：/-:的一个根为 2 2,求另一个根及 匸的值。 分析：此题通常有两种解法： 一是根据方程根的定义， 把.代入原方程，先求出匸 的值，再通过解方程办法求出另一个根； 二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一 个根及匸的值。 解法一：把.1.1 代入原方程，得： 2? - 6x2+/ - 加 +, = 0 即：匸 2ws - 3 = 0 解得: 二

6、3, 3, 朋 2 2 1 1 当:;:;1 1 - - 久叫久叫- -1 1 时，原方程均可化为： - 二- , 解得：二- I 方程 ： .的另一个根为 4 4，竄的值为 3 3 或一 1 1。 解法二：设方程的另一个根为 ：, 根据题意，利用韦达定理得： 兀 + 阳二 4一 6）二 6 x叼二 一 2朋 + j . 1 ,“把二 代入七_一_屮_丁，可得：- “把 _ _ J J 代入工可得： / -加+5二 8, 即：厂 $ J 114 解得:1 1 - - 门訂一 “方程丄：/-:的另一个根为 4 4, T T： 的值为 3 3 或一 1 1。 说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，

7、解答起来较为简单。 例 3 3:已知方程一.-. 一 * - 11有两个实数根，且两个根的平方和比 两根的积大 2121，求匸的值。 分析：本题若利用转化的思想， 将等量关系两个根的平方和比两根的积大 2121转化 为关于匸的方程，即可求得的值。 解：“方程有两个实数根， 解这个不等式，得匸 w w0 0 设方程两根为: 则席2)2),首也二/+4/+4 “/ “/ / / - -_ _ 二二 .打 +- - :- “ /J /J 上一】I I 一 .7 .7 + 二 I I qj _ 整理得： m -16-17 = 0 解得：44 - - 又 T T ：；八I I , , “ ； 1 说明：

8、当 求出- -后，还需注意隐含条件 H H .，应舍去不合题意的 -To 四、运用判别式及根与系数的关系解题。 5 根，问；和二能否同号？若能同号，请求出相应的 匸的取值范围；若不能同号，请说明理例 5 5：已知二、二 是关于)的一元二次方程 4十 +4（擁= 0 的两个非零实数 6 解：因为关于丫的一元二次方程- - ; - 11有两个非零实数根, 则有：用一：.一丄- - ii. I 又“、“是方程-的两个实数根，所以由一元二次方程根 与系数的关系，可得: 咼 + 乃=-（jn - -1 1） P P X X乃二m 假设二、二同号，则有两种可能: （2 2） - - - - 汕 兀 +xa

9、 0 ； -1） （） 1.41.4 解这个不等式组，得 说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系， 由, 若冷匚：“.汇，贝贿: 即有: 然仝一 2时方程才有实树根, “此种情况不成立。 即有: 若“汕 -（擁 T） 0 1 . -m2 （） 14 则有: 解这个不等式组，得 :- 一 ； 又“ 1，“当 朋 2时，两根能同号 7 是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具， 也是计算有关一元二次方程根的计算问 题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体， 在中考中 与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。 六、

10、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。 例：已知是方程 _ : 的两个实数根，求 UJk的值。 分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带 入的方法，力求简解。 解法一：由于i是方程_ : 的实数根，所以 1 设 0 +G0+ 2G 二 M，孑+&0+ 2&与严+20-j 相加，得： 二（0 +严）+ 2位+向+如-5 （变形目的是构造二厂和；拓） 根据根与系数的关系，有： 找+0 二 -2, =-5 于是，得：“ |_ ;：|_|_|： _，- ! I - -丨.=0 解法二：由于；一、“-是方程.1-:的实数根， .口 +G0+2G

11、二 &(必+向+2&二 GX(-2)+2CT 二 0 说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法， 是解题能力提高的重 要标志，是努力的方向。 有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方 程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、 化繁为简的作用。这类问题 在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青 睐。 七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。 8 2 2 1 1 | | - - 例& &已知两方程.和 i 一 . 至少有一个相同 的实数根，求这两个方程的四个实

12、数根的乘积。 分析：当设两方程的相同根为 庄时，根据根的意义，可以构成关于 庄和匸的二元方程 组，得解后再由根与系数的关系求值。 解：设两方程的相同根为 二， 根据根的意义， 有 二 I F I F IIII fl? -(7w+T)tf+13ffl+7 = 0 两式相减，得n _i 当二.时， ，方程的判别式 了 1 o 1 1 58 A = (-)3-4( + 5) = (-)2-4(-+5) = 0 6 6 36 3 方程无实数解 右 2(6耕+1) 一 2 当哄:一时，有实数解 4 代入原方程，得一 ：一 一门 I I， 于是，两方程至少有一个相同的实数根， 4 4 个实数根的相乘积为 (5+m)(13w+7) = 14x124 = 1736 说明：(1 1)本题的易错点为忽略对 小 I I 一 “的讨论和判别式的作用，常常除了犯有 默认込! 1 1 二】的错误，甚至还会得出并不存在的解：