留数在定积分计算中的应用PPT学习教案

1、会计学1留数在定积分计算中的应用留数在定积分计算中的应用 20d)sin,(cos R. sin,cos )sin,(cos 的的有有理理函函数数是是其其中中 R思想方法思想方法 :封闭路线的积分（围道积分法）封闭路线的积分（围道积分法） .把定积分化为一个复变函数沿某条把定积分化为一个复变函数沿某条两个重要工作两个重要工作:1) 积分区域的转化积分区域的转化2) 被积函数的转化被积函数的转化第1页/共30页 iez 令令 ddiiez ,ddizz )(21sin iieei ,212izz )(21cos iiee ,212zz 当当 历经历经2,0时时,1 z绕行一周绕行一周.z 沿正向

2、单位圆周沿正向单位圆周02011ii从而积分化为沿正向单位圆周的积分：从而积分化为沿正向单位圆周的积分：第2页/共30页 d )sin,(cos20 RizzizzzzRzd21,21122 zzfzd)(1 z的有理函数的有理函数 , 且在且在单位圆周上分母不单位圆周上分母不为零为零 , 满足留数定满足留数定理的条件理的条件 .包围在单位圆周包围在单位圆周内的诸孤立奇点内的诸孤立奇点. .),(Res21 nkkzzfi第3页/共30页例例1 .)10(dcos21cos2202的值的值计算计算 pppI 解解 , 10 p由由于于)cos1(2)1(cos2122 pppp内内不不为为零零

3、，在在20 故积分有意义故积分有意义.)(212cos22 iiee 由由于于),(2122 zzizzpzzpzzIzd2211221122 第4页/共30页izzpzzpzzIzd2211221122 zpzpzizzzd)(1(21124 ,1, 0ppz 被积函数的三个极点被积函数的三个极点内内，在在圆圆周周1, 0 zpz为一级极点，为一级极点，为二级极点，为二级极点，且且pzz 0.d )(1zzfz 第5页/共30页上上被被积积函函数数无无奇奇点点，所所以以在在圆圆周周1 z )(1(21ddlim0),(Res2420pzpzizzzzzfz222243220)(2)21)(1

4、(4)(limzpppzzippzzzzpppzzz ,2122ipp 第6页/共30页,)1(21224pipp )(1(21)(lim),(Res24pzpzizzpzpzfpz )1(2121222222pippippiI.1222pp 因此因此第7页/共30页例例2 计算计算.sin1d02 xx解解 00222cos11dsin1dxxxx 02cos12d2xx,2tx 令令 20cos3dttizzzzzd2) 1(3112 .16d212 zzzzi第8页/共30页2231 z极点为极点为 : 02sin1dxx所所以以.2 (在单位圆内在单位圆内)2232 z(在单位圆外在单

5、位圆外)223(),(Res 22 zfii 第9页/共30页 xxRd)(若有理函数若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次的分母至少比分子高两次, 并且并且分母在实轴上无孤立奇点分母在实轴上无孤立奇点.一般设一般设2,)()()(1111 nmbzbzazazzRzPzRmmmnnn分析分析可先讨论可先讨论,d)( RRxxR最后令最后令 R即可即可 .第10页/共30页2. 积分区域的转化积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间使与区间一起构成一条封闭曲线一起构成一条封闭曲线, 并使并使R(z)在其内部除有在其内部除有限孤立奇点外处处

6、解析限孤立奇点外处处解析. (此法常称为此法常称为“围道积分法围道积分法”)1. 被积函数的转化被积函数的转化:(当当z在实轴上的区间内变动时在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x) RRxxRd)( Czzfd)(可可取取 f(z)=R(z) .第11页/共30页O这里可补线这里可补线RC(以原点为中心以原点为中心 , R为半径为半径的在上半平面的半圆周的在上半平面的半圆周)RC与与 RR, 一起构成封闭曲线一起构成封闭曲线C , R(z)在在C及其及其内部内部(除去有限孤立奇点）处处解析除去有限孤立奇点）处处解析.取取R适当大适当大, 使使R(z)所有的在上半平面内的极点所有的在上半

7、平面内的极点kz都包在这积分路线内都包在这积分路线内.根据留数定理得根据留数定理得 : RCkRRzzRizzRxxR,),(Res2d)(d)(z1z2z3 RRxznyCR第12页/共30页，则，则上，令上，令在在 iReRzC RRCCzzQzPzzRd)()(d)(; ) ( ) (0 deRQeiReRPiii 则则的的次次数数至至少少高高两两次次的的次次数数比比分分子子由由于于分分母母, )()(zPzQ. , 0)()(时时当当 zzQzzP. , 0) ( ) (时时当当 RzeRQeReRPiii 即即. ),(Res2d)( kzzRixxR所以所以;0d)(: RCzzR

8、R,d)( zzR RRzzRd)(从而从而.kz其中 为R(z)在上半复平面所有有限远处的孤立奇点.第13页/共30页例例3 计算积分计算积分), 0, 0()()(d022222bababxaxx )()(1)(22222bzazzR 解解 在上半平面有二级极点在上半平面有二级极点,aiz .biz 一级极点一级极点. ),(Res2d)( kzzRixxR. ),(Resd)(21d)(0 kzzRixxRxxR )( 为为偶偶函函数数，则则特特别别地地，若若xR第14页/共30页bizbizaz )()(1222,)(43222322abiaab ),(Res),(ResaizRbiz

9、Ri .)(4)2(23bababa 222222322)(21)(43abbiabiaabi ),(ResbizR 022222)()(dbxaxx所以所以aizbzaiz )()(1222,)(21222babi ),(ResaizR )()(d2122222bxaxx第15页/共30页例例4 计算积分计算积分 dxxxxx91022429102)(242 zzzzzR解解 在上半平面有两个单极点：在上半平面有两个单极点：.3 ,ii)9)()(2)(lim),(Res22 zizizzzizizRiz.161i )3)(3)(1(2)3(lim3),(Res223izizzzzizizR

10、iz .4873i dxxxxx91022423),(Res),(Res2izRizRi .125 2222(1)(9)zzzz第16页/共30页)0( d)( axexRiax积分存在要求积分存在要求: R(x)是是x的有理函数而分母的次的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次数至少比分子的次数高一次, 并且并且R(x)在实轴上在实轴上无孤立奇点无孤立奇点.z1z2z3zn RROxyCR同前一类型同前一类型: 补线补线RC与与 RR, 曲线曲线C ,使使R(z)所有的在上半所有的在上半kz都包在这积分路线内都包在这积分路线内 .一起构成封闭一起构成封闭RC平面内的极点平面内的极点第17

11、页/共30页zezRxexRiazCRRiaxRd)(d)( ,)(Res2kiazzezRi由留数定理由留数定理: R令令 ,)(Res2)(limd)(kiazCiazRiaxzezRidzezRxexRR.d)( xexRiax，故只要求出故只要求出 RCiazRdzezR )(lim 就可以求出积分就可以求出积分第18页/共30页充分大）充分大）ReRzi,0( :)(RCzg沿沿半半圆圆周周设设函函数数. 0)(lim zgCRR上有上有上连续，且在上连续，且在则则. )0( 0 )(lim RCiazRadzezg约当引理：约当引理：证证 得：得：由由0)(lim zgR时时，有有

12、使使当当00 , , 0RRR . ,)(RCzzg 第19页/共30页 RCiazzezgd)(及及由由 ,) ( RieReRgii ideReeRgiiaR eii ) ( 0 sincossin aRiaRaRiaR eeeei 得得 deRzezgaRCiazR 0sind)( deRaR 20sin2由约当不等式（如右图）由约当不等式（如右图） oy2 y sin y2 )20( sin2 第20页/共30页 deRdeRzezgaRaRCiazR 20220sin22d)()1(aRea .a 从而从而. )0( 0 )(lim RCiazRadzezg ,)(Res2)(lim

13、d)(kiazCiazRiaxzezRidzezRxexRR根据约当引理根据约当引理及以上的讨论得：及以上的讨论得： ,)(Res2d)(kiaziaxzezRixexR第21页/共30页axiaxeiaxsincos xaxxRixaxxRdsin)(dcos)( . ,)(Res2 kiazzezRi ,)(Res2d)(kiaziaxzezRixexR将实虚部分开，可得积分将实虚部分开，可得积分.dsin)( dcos)(xaxxRxaxxR 及及.kz其中 为R(z)在上半复平面所有有限远处的孤立奇点.第22页/共30页例例5 计算积分计算积分 .0, 0,d)(sin0222 amx

14、axmxx解解 xaxmxxxaxmxxd)(sin21d)(sin2220222 xeaxximxd)(Im21222在上半平面只有二级极点在上半平面只有二级极点22 2( ),()imzzf zeza,aiz 又又第23页/共30页xeaxximxd)(222 则则aizimzeaizzzaizf 2)(dd),(Res,4maeam ),(Res2Im21aizfi .4maeam aieazziimz,)(Res2222xaxmxxd)(sin0222 所所以以注意注意 以上两型积分中被积函数中的以上两型积分中被积函数中的R(z)在实轴在实轴上无孤立奇点上无孤立奇点.第24页/共30页

15、.d Im21dsin 21dsin0 xxexxxxxxix 例例6 计算积分计算积分.dsin0 xxx 解解 所所以以是是偶偶函函数数 ,sinxx因函数因函数zeiz在实轴上有一级极点在实轴上有一级极点, 0 z若被积函数中的若被积函数中的R(z)在实轴上有孤立奇点，则在实轴上有孤立奇点，则),(es21),(e2d)(kkxzRRzzRsRixxR .是是实实轴轴上上的的奇奇点点是是上上半半平平面面的的奇奇点点，其其中中kkxz第25页/共30页 0 ,Re2102dzesixxeizix 所所以以. lim 0izeziizz .2d Im21dsin0 xxexxxix第26页/共30页 本课应用本课应用“围道积分法围道积分法”