正弦函数、余弦函数的性质(经典)

1、三角函数三角函数1.4正弦函数余弦函数的性质正弦函数余弦函数的性质1.定义域和值域定义域和值域x22322523yO23225311x22322523yO23225311正弦函数正弦函数sinyx 定义域：定义域：R值域：值域：-1，1余弦函数余弦函数cosyx 定义域：定义域：R值域：值域：-1，1|sin|1|cos|1xx练习练习 P 46 练习练习2(1)2cos3x 2(2)sin0.5x 3cos2x 1 sin0.5x 1,1 周期函数定义：对于函数周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在，如果存在一个一个非零常数非零常数T，使得当，使得当x取定义域内的取定义域内的每每一个值一

2、个值时，都有时，都有f (x+T)=f (x)那么函数那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。叫做这个函数的周期。2.周期性周期性判断下列命题是否正确 1、因为f(x+0)=f(0)，所以函数f(x)为周期函数，周期是0； 2、因为f(x+2x)=f(x),所以函数f(x)为周期函数，周期是2x； 3、因为sin(30+120)=sin30,所以函数f(x)=sinx为周期函数，周期是120； 4、因为sin(x+ 4)=sinx,所以函数f(x)=sinx为周期函数，周期是4: :期期例例1 1、求求下下列列函函数数的的周周.,都都指指最最小小

3、正正周周期期若若不不加加特特别别说说明明;,cos3) 1 (Rxxy;,2sin)2(Rxxy;),621sin(2)3(Rxxy)0, 0.(),sin()4(ARxxAy 举例举例3cos(2 )3cosxx 解：（解：（1）自变量自变量x只要并且至少要增加到只要并且至少要增加到x+2 ，函数，函数3cos ,yx xR 的值才能重复出现的值才能重复出现.2 的周期是的周期是所以，函数所以，函数3cos ,yx xR (2)sin(22 )sin2()sin2xxx sin2 ,yx xR 的值才能重复出现的值才能重复出现.，自变量自变量x只要并且至少要增加到只要并且至少要增加到x+ ，

4、函数，函数 的周期是的周期是所以，函数所以，函数2sin,yx xR 111(3)2sin(2 )2sin ()2sin()262626xxx 自变量自变量x只要并且至少要增加到只要并且至少要增加到x+ ，函数，函数的值才能重复出现的值才能重复出现.12sin()26yx 12sin(),26yxxR 所以所以,函数函数 的周期是的周期是)0, 0.(),cos()0, 0.(),sin( ARxxAyARxxAy思考思考(4) 2|T 练习练习 已知函数已知函数 的周期是的周期是3，且当，且当 时，时， ，求，求( )yf x 0,3x 2( )1f xx(1),(5),(16).fff思考

5、思考： 吗？吗？2(5)5126f正弦函数的图象正弦函数的图象探究探究余弦函数的图象余弦函数的图象问题：它们的图象有何问题：它们的图象有何对称性对称性？x22322523yO23225311x22322523yO232253113.3.奇偶性奇偶性3.3.奇偶性奇偶性(1) ( )sin ,f xx xRxR 任意任意()sin()fxxsin x ( )f x ( )sin ,f xx xR为为奇奇函数函数(2) ( )cos ,f xx xRxR 任意任意()cos()fxxcos x ( )f x ( )cos ,f xx xR为为偶偶函数函数x22322523yO23225311PP正

6、弦函数的图象正弦函数的图象53113,22222x对称轴：对称轴：,2xkkZ (,0),(0,0),( ,0),(2 ,0) 对称中心：对称中心：(,0)kkZ 余弦函数的图象余弦函数的图象,0, 2x 对称轴：对称轴：,xkkZ 35(,0),(,0),(,0),(,0)2222 对称中心：对称中心：(,0)2kkZ PPx22322523yO23225311练习练习 为函数为函数 的一条对称轴的是的一条对称轴的是（ ）sin(2)3yx x22322523yO232253114.3A x 12x .2B x .0D x 解：经验证，当解：经验证，当.12C x 时时232x12x 为对称

7、轴为对称轴例题例题 求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心sin(2)3yx 23zx 解解（1）令）令则则sin(2)sin3yxz sinyz 的对称轴为的对称轴为,2zkkZ 232xk 解得：对称轴为解得：对称轴为,122xkkZ(2)sinyz 的对称中心为的对称中心为(,0) ,kkZ 23xk 对称中心为对称中心为62xk zk (,0) ,Z62kk练习练习 求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心1cos()24yx 四、最最大大值值与与最最小小值值yxo; 1,22, 1,22时取得最小值且仅当当时取得最大值正弦函数当且仅当ZkkxZkkx. 1,2,

8、 1,2时取得最小值当当且仅时取得最大值余弦函数当且仅当ZkkxZkkx例例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2 ,.yxxRyx xR (1);(2)解：解：这两个函数都有最大值、最小值这两个函数都有最大值、最小值.（1）使函数）使函数 取得最大值的取得最大值的x的集合，就是的集合，就是使函数使函数 取得最大值的取得最大值的x的集合的集合cos1,yxxRcos ,yx xR |2,x xkkZ 使函数

9、使函数 取得最小值的取得最小值的x的集合，就是的集合，就是使函数使函数 取得最小值的取得最小值的x的集合的集合cos1,yxxRcos ,yx xR |(21) ,x xkkZ 函数函数 的最大值是的最大值是1+1=2；最小值是；最小值是-1+1=0.cos1,yxxR例例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2 ,.yxxRyx xR (1);(2)解：解：（2）令）令t=2x,因为使函数因为使函数 取最大

10、值的取最大值的t的集合是的集合是3sin ,yt tR |2,2t tkkZ 222xtk 由由4xk 得得所以使函数所以使函数 取最大值的取最大值的x的集合是的集合是3sin2 ,yx xR |,4x xkkZ 同理，使函数同理，使函数 取最小值的取最小值的x的集合是的集合是3sin2 ,yx xR |,4x xkkZ函数函数 取最大值是取最大值是3，最小值是，最小值是-3。3sin2 ,yx xR 1、_，则，则f（x）在这个区间上是）在这个区间上是增增函数函数.)()(21xfxf4.4.正弦余弦函数的单调性正弦余弦函数的单调性函数函数( ),yf x若在指定区间任取若在指定区间任取 ，

11、12x x、且且 ，都有：，都有：21xx函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。观察正余弦函数的图象，探究其单调性观察正余弦函数的图象，探究其单调性2、_，则，则f（x）在这个区间上是）在这个区间上是减减函数函数.)()(21xfxf增函数：上升增函数：上升减函数：下降减函数：下降探究探究：正弦函数的单调性正弦函数的单调性25232223,25，、，、 当当 在区间在区间上时，上时，x曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，sin的值由的值由 增大到增大到 。11753357,22222 222、，、 ， 、当当 在区间在区间x上时，曲线逐渐下降，上时，曲线逐

12、渐下降， sin的值由的值由 减小到减小到 。11x22322523yO23225311探究：探究：正弦函数的单调性正弦函数的单调性x22322523yO23225311正弦函数在每个闭区间正弦函数在每个闭区间)(22,22Zkkk都是增函数，其值从都是增函数，其值从1增大到增大到1；而在每个闭区间而在每个闭区间32,2()22kkkZ上都是上都是减函数，其值从减函数，其值从1减小到减小到1。探究探究：余弦函数余弦函数的单调性的单调性 3 , 2 0 2 3 ,4 、 ，、 ，当当 在区间在区间x上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，cos的值由的值由 增大到增大到 。11曲线逐渐下降，曲线

13、逐渐下降， sin的值由的值由 减小到减小到 。11 2 , 0 23 、，、 ，当当 在区间在区间x上时，上时，x22322523yO23225311探究：探究：余弦函数的单调性余弦函数的单调性x22322523yO23225311由余弦函数的周期性知：由余弦函数的周期性知：其值从其值从1减小到减小到1。而在每个闭区间而在每个闭区间上都是减函数，上都是减函数，2,2kk 其值从其值从1增大到增大到1 ；在每个闭区间在每个闭区间2,2kk都是都是增函数增函数， 例2.求函数的单调增区间 解：123sinyx sinyz 2222zkk1222223xkk 54433kxk4,433,5kkkZ 求函数的单调增区间5334,4kk 12sin, 2 ,23xyx 1,k 2 2 1711,330,k 5,33 1,k 711,33 求函数的单调求函数的单调增增区间区间1sin23yx sinyz 32222zkk12322232xkk 5114433xkk4,4133,51kkkZ 求函数的单调增区间1sin23yx sin()sin 1sin23yx sinyz sinyz cos()cos 求函数的单调增区间1cos23yx sin()sin 1cos23y