圆锥曲线标准方程与几何性质

1、圆锥曲线的标准方程与几何性质1、椭圆的标准方程与几何性质：1、椭圆第一定义：平面内与两个定点 Fi,F2的距离的和等于常数(大于F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆焦距.2、椭圆第二定义：平面内到一个定点的距离和它到一条定直线l的距离之比是常数 e(0 :： e :： 1)的点的轨迹叫做椭圆定点是椭圆的焦点，定直线丨叫做椭圆的准线，常数 e叫椭圆的离心率.标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上2 2x丄y_ +_ 1 (anbA。) a b2 2x丄y-+_ 1 (anb>0) b a范围|x|兰a,| y |S|xb,| ya顶点坐标(-a,0),(a

2、,0) (0, -b),(0, b)(0,-a),(0, a), (-b,0),(b,0)几焦点坐标Fi(-c,0), F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)何准线方程2c2y "皂c性焦半径何片=a+ex, MF2|=a_ex|MF=a-ey°, MF=a + ey°对称轴方程x = 0、y = 0质长短轴椭圆的长半轴长是 a，椭圆的短半轴长是 b.离心率e仝(0a<ec1)a,b, c关系a2 = b2 +c2(a > b a 0)另外：(1) 椭圆的通径就是过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段长度2b2椭圆的通径长：a2e小(2) 焦

3、点三角形的面积为：S =b tan 户- F1MF2.22.双曲线第一定义：平面内与两个定点 Fl ,F 2的距离之差的绝对值是常数(小于FlF 2 )的点的轨迹叫双曲线。(c a 0)第二定义：到定点 F的距离与到定直线1的距离之比为常数 a的点的轨迹是双曲线.方程2 2xy一一=1 ( a :>0,b >0 ) a b2 2yx一一=1 ( a A0,b a 0 ) a b图象147、a,b,c关系a2 +b2 =c2范围|x pa, y R|yAa,xER顶点(士a,0)(0, 士a)对称性关于x, y轴成轴对称、关于原点成中心对称渐近线y亠a离心率e仝(“)a焦占八'

4、;、八、F (土c,0)F(0,±c)准线2,ax = ±c2,a y =± c另：共轭双曲线：以已知 双曲线 的虚轴为 实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲 线，通常称它们互为共轭双曲线.共轭双曲线有共同的 渐近线;共轭双曲线的四个 焦点共圆.一：抛物线的定义定义：平面内与一个定点 J-和一条定直线.(.不经过点_?)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点；叫做抛物线的焦点，定直线.叫做抛物线的准线.二：抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：j _ I；., , 2，。三、抛物线的几何性质:标准方程y2 =2px(P>0)y2 = -2 px(

5、P>0)x2 = 2 py(p>0)x2 = -2 py(P>0)图形lyy、lJ1ol焦点坐标(%。)2(今,0)2(0占2(0，-|)准线方程x2x2Ty专范围x兰0x兰0y H0y兰0对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0) 1(0,0) 1离心率e =1e =1e = 1e = 11 .通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为2p因为通过抛物线y2=2px( p>0)的焦点而垂直于 x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为5厂戸丿，所以抛物线的通径长为2p22 .已知过抛物线-的焦点F的直线交抛物线于 A、B两点。 设 A(xi,y

6、i) , B(x2,y 2)，则:| AB= X +可+去或|屈|二一罕 ©为卫琳倾斜角) 焦点弦长一二- ' 1；"="1 +l丨，其中|AF|叫做焦半径，焦点弦长最小值为 2p。根据 长最短，最短值为 2p最.円珂+专AS=-可见，当抚为兰2时，即AB垂直于x轴时，弦AB的sin a测试题、填空题2y _ _1的焦距是221、双曲线也m2 +124 _m2 2x y2、双曲线16 一 9 =1的左、右焦点分别为 片，F2,在左支上过点 F1的弦AB的长为5，那么 ABF 2的周长是22I3、已知椭圆- - Z =1的离心率为一，则a二a +8922 2

7、4、双曲线3m x - my二3的一个焦点为 0,2，则m的值是是定值；命题乙：点 M的轨迹是双曲5、平面内有两个顶点 FF2和一动点M,设命题甲：MF! - MF2条件。线。则命题甲是命题乙的2 26、若方程 弋 y 1所表示的曲线为 C,给出下列四个命题: 4 t t -1若C为椭圆，则1<t<4;曲线C不可能是圆；若C为双曲线，贝y t>4若C表是椭圆，且长轴在 x轴上,或 t<1 ;则1 ： t ： 3 .其中真命题的序号为2（把所有正确命题的序号都填上）。、解答题7、已知FF2是椭圆的两个焦点，过Fi且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A B两点，若"AB

8、F2是正三角形，求这个椭圆的离心率。8、中心在原点，焦点在 x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点Fi,F2,且=2 13,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为 4，离心率之比为3： 7,求这两条曲线的方程。9、已知在平面直角坐标系 xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（ry：3,0）,右顶点为D（2,0） 设点A 1 i.，2（1 ）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段 PA中点M的轨迹方程；10、设Fj、F2为椭圆16x2 25y2 =400的焦点，P为椭圆上的一点，且/ RPF? =120° ,求.：PF1F2的面积。X2 y211、已知双曲线 牙=1

9、(a 0,b0)的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲线的一a b条渐近线丨于P (/1).求该双曲线的方程。3 ' 32 212、已知椭圆 冷丄 1 a b 0的离心率e=6，过点A 0,-b和B a,0的直线与原点的距离为3。2求椭圆的方程；已知定点E(_1,0)，若直线y = kx + 2(k式0卢椭圆交于C、D两点，问：是否存在 k的值, 使以CD为直径的圆过 E点？请说明理由。2 2x y13、在直线1 : x - y 9 = 0上取一点P，过点P以椭圆云亍1的焦点为焦点作椭圆。(1) P点在何处时，所求椭圆长轴最短?(2) 求长轴最短时的椭圆方程。练习:x2y211、椭

10、圆1的离心率为一，贝U a的值为a +8922 2P,椭到抛物2、直线l过椭圆C : -1的左焦点Fi,且斜率为1,设l与椭圆C在x轴上方的交点为43圆右准线与x轴的交点为N,求厶PFi N的面积23、已知抛物线y =2px(p 0)的焦点F, A是抛物线上横坐标为4,且位于X轴上方的点，A线准线的距离等于5,过 A作AB垂直于y轴，垂足为 B , OB的中点为M.(1) 求抛物线方程；(2) 过M点作MN丄FA，垂足为N，求点N的坐标；一、选择题2 21.方程一J =1表示焦点在X轴上的椭圆，则k的取值范围是()9 k 4(A) k <5 (B ) k <9 (C) k 5 (D

11、 ) k 92 22椭圆'-1的焦距为2,则m的值等于()m 4(A )5 (B ) 8( C)5 或 3 (D ) 203下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y轴都对称的是()2 2 2(A) x - y =1 (B y= x(C) (x -1)2 y2 =1 (D ) x - y 1 =02x4椭圆y2 =1的准线与y轴平行，那么m的取值范围是()m(A) m ：0 (B ) m 0 (C) 0 ：m ：1 (D ) m 15双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1,F2, / F1MF2= 120°,则双曲线的离心率是()(A) x3 (B )兰(O 山(D )二2336

12、若双曲线x2 -y2 =1右支上一点P(a,b)到直线x = y的距离是、2，则a + b的值等于(111(A) 2 (B ) 2或一2( C)丄(D )丄或一-22 27过(0,1)点且与抛物线y2 =4x仅有一个公共点的直线有()(A )1条 (B) 2 条(C) 3 条(D ) 4 条2 2x y8已知双曲线1，离心率e (1,2)，则m的取值范围是()4 m(A) (-12,0)(B (-：,0)(C) (-3,0)(D ) (-60, -12)29过双曲线x2 - y 1的左焦点且平行于渐近线的直线方程是()3(A) y = 、3(x -2) (B y 二 3(x 2)(C)(x-2

13、)(D )y <(x 2)210抛物线y=ax的准线方程是y =2，则a的值是()11(A) (B )(C) 8 (D ) - 88811双曲线2mx2 - my2 =2的一条准线是y =1，则血为()/八141(A) 一一(B )(C)-(D )33352212设 F1, F2是椭圆xy 二1的两个焦点,过F1且平行于y轴的直线交椭圆于2516的面积是()小、192(B )964824(A)-(C)(D )5555、填空题A , B两点，则厶F2AB13焦距为6,离心率5，焦点在轴上的椭圆标准方程是14抛物线 y2 - -2x的焦点坐标是 15.已知双曲线的渐近线方程是 y = 2x，且焦点在y轴上，则双曲线的离心率是2 2X y 16椭圆一22 =1 ( a b 0 )内接矩形的最大面积是 .a b17. 若圧三(0,3),方程x2sin.j " y2 cos= 1表示焦点在y轴上的椭圆，贝U _：i的取值范围是.三、解答题：18. 已知双曲线的中心在原点，实轴在x轴，一条渐近线方程是3x