圆中常见的辅助线

1、圆中常见辅助线的做法一.遇到弦时（解决有关弦的问题时）1常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用: 利用垂径定理； 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。例：如图，在以 0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC = BD证明：过0作0E丄AB于E/ 0为圆心，0E丄AB AE = BE CE = DE AC = BD4cm.求O 0的半径.心角.点，CM丄AB,DN丄AB,求证：练习：如图，AB为O 0的弦，P是AB上的一点， AB = 10cm，PA =2.

2、有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆例：如图，已知 AB是O 0的直径，M N分别是AO B0的中AC =BD证明：（一）连结 0G 0D/ M N分别是A0 B0的中点11- 0M = AO、0N =B022/ 0A = 0B 0M = 0N/ CML 0A DN! 0B 0C = 0D Rt C0IW Rt D0N Z C0A = Z D0B- AC = BD（二）连结 AC 0C 0D BD/ M N分别是AQ B0的中点 AC = 0C BD = 0D/ 0C = 0D AC = BD AC = BD3. 有弦中点时常连弦心距例：如图，已知 M N分别是O 0的弦AB CD

3、的中点,AB = CD，求证：/ AMN = / CNM 证明：连结0M 0N/ 0为圆心，M N分别是弦 AB CD的中点 0ML AB 0N 丄 CD/ AB = CD 0M = 0N/ 0MN = / 0NM/ AMN = 90°-Z 0MNoZ CNM = 90 -Z 0NM/ AMN =Z CNM4. 证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距例：如图，已知O O与O O2为等圆，P为0、Q的中点，过 P的直线分别交O O、O 02于A C、D B.求证:AC = BD证明：过 0作0M± AB于M,过0作QN丄AB于N,贝U 0M/ QNO1MO1PQ2N _Q2P/

4、QP = 0 2P CUM = O2N AC = BD二.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法:连结过弧中点的半径连结等弧所对的弦连结等弧所对的圆心角例：如图，已知 D E分别为半径 0A 0B的中点，C为弧AB的中点，求证： CD = CE证明：连结0C/ C为弧AB的中点 AB二BC/ A0C =/ B0C/ D E分别为 0A 0B的中点，且 A0 = B0 0D = 0E = 1 A0 =21B02又 0C = 0C CD = CE三.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.例：如图，AB为O 0的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且 A

5、C = PC,PB的延长线交O 0于D,求证：AC=DC证明：连结AD/ AB为O 0的直径:丄 ADP = 90 0 / AC = PC :AC = CD = - AP2例（2005年自贡市）如图2，P是O 0的弦CB延长线上一点，点 A在O 0上，且.BAP = C。求证:PA是O 0的切线。证明：作O 0的直径AD，连BD，贝UC 二 D, ABD = 90 即 D BAD 二 90: C BAD 二 90 C "PAB: BAD PAB 二 90 即 AP_AD: PA为O O的切线。?四.遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点作用：利用圆周角的性质，可得到直

6、径。练习：如图，在 Rt ABC中，/ BCA= 90o ,以BC为直径的O O交AB于E, D为AC中点，连结 BD交O O于F.求证：BC CFBE - EF五.有等弧时常作辅助线有以下几种:作等弧所对的弦作等弧所对的圆心角 作等弧所对的圆周角练习：1.如图，O O的直径AB垂直于弦 CD,交点为 E，F为DC延长线上一点，连结 AF交O O于M.求证：/AMD =Z FMC提示：连结 BM）2.如图， ABC内接于O O, D、E在BC边上，且 BD =（提示如图）六. 有弦中点时，常构造三例：已知，如图，在O O证明：作直径 CF,连/ CF为O O的 CDL FD又 CD! AB A

7、B/ DFCE，/ 1 = / 2，求证：AB = AC角形中位线.1中，AB丄 CD OE! BC于 E,求证：OE = AD2结 DF、BF直径 AD =BF AD = BF/ OEL BC O 为圆心 CO = FO1 CE = BE OE = BF21 OE = AD2七. 圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例：如图， ABC内接于O O,直线AD平分/ FAC交O O于E,交BC的延长线于 D,求证：AB- AC = AD- AE 证明：连结BE/ 1 = / 3/ 2 = / 1 / 3 = /2四边形ACBE为圆内接四边形 / ACD =/ E AB3A ADC AE ABAC

8、AD AB- AC = AD - AE八. 两圆相交时，常连结两圆的公共弦例：如图，O O与O O2相交于 A B,过A的直线分别交O O、O O2于C、D,过B的直线分别交O O、O Q于 E、F.求证：CE/ DF证明：连结AB四边形为圆内接四边形/ ABF = / C 同理可证：/ ABE = / D/ ABF +/ ABE = 180 / C+/ D = 180 CE/ DF九. 在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直 线垂直即可.如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂

9、线段的长度等于半径 的长即可.例1:如图，P为O O外一点，以 0P为直径作圆交O O于A、B两点，连结 PA、PB.求证：PA PB为O 0的切线证明：连结0A/ P0为直径/ PAO = 900 OAL PA / 0A为O 0的半径 PA为O 0的切线同理：PB也为O 0的切线例2:如图，同心圆 0,大圆的弦 AB = CD，且AB是小圆的切线，切点为 E,求证：CD是小圆的切线 证明：连结 0E过 0作0F丄CD于F/ 0E为半径，AB为小圆的切线 0EL AB / 0FL CD, AB = CD 0F = 0E CD为小圆的切线练习：如图，等腰 ABC,以腰AB为直径作O 0交底边BC

10、于P, PEL AC于E,求证：PE是O 0的切线十.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题例：如图，在 Rt ABC中，/ C = 90°，AC= 12，BC = 9，D是AB上一点，以 BD为直径的O 0切AC于E， 求AD长.解：连结0E贝U 0EL AC/ BC丄 AC 0E/ BC0E A0BC AB在 Rt ABC 中，AB =.AC2 BC2 = .12292 = 1515-0E15 0E _ AB-0B9 一 AB45 0E = 0B = BD = 2 0B=454 AD = AB DB = 1545_ 154=48答：AD的长为 .4练习：如

11、图，O O的半径OAL 0B,点P在0B的延长线上，连结 AP交 O于D,过D作O O的切线CE交0P于C,求证：PC = CD十一 ？遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到： 角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形。十二遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得： ?？内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； ?内心到三角形三条边的距离相等。在处理内心的问题时，常需连结顶点与内心，以便利用内切圆的圆心是三角形内角平 分线交点这一性质。十三遇到三角形

12、的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。十四遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。作用：利用切线的性质；?利用解直角三角形的有关知识。十五.遇到两圆相交时两个相交圆不离公共弦常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。作用：利用连心线的性质、解直角三角形有关知识； 利用圆内接四边形的性质； 利用两圆公共的圆周的性质；垂径定理。1作相交两圆的公共弦禾U用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。例1.如图1，O Oi和o O2相交于A、B两点，过 A、B分别作直线 CD、EF,且CD/EF，与两

13、圆相交于C、D、E、F。求证：CE = DF。图1分析：CE和DF分别是O Oi和O。2的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结AB，则可得圆内接四边形ABEC和ABFD，利用圆内接四边形的性质，则易证明。证明：连结AB因为 DAB = E, CAB = F又.DAB . CAB =180所以.E . F = 180 即 CE/DF又 CD/EF所以四边形 CEFD为平行四边形 即CE= DF2作两相交圆的连心线利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。例2. O Oi和o。2相交于A、B两点，两圆的半径分别为6、2和4, 3，公共弦长为12。求£ O1A

14、O2的度数。图2分析：公共弦 AB可位于圆心 01、。2同侧或异侧，要求 ZO1 AO2的度数，可利用角的和或差来求解。 解：当AB位于01、02异侧时，如图 2。连结01、02,交AB于C,则OQ2AB。分别在Rt AO1C和Rt AO2C中，利用锐角三角函数可求得。丄 AC =45， 02 AC =30故 0小02 二 0JC 02AC =75当AB位于01、02同侧时，如图 3图3则 0小02 =/01AC- O2AC=15 综上可知 01A02 -75 或 15例2 :已知，O O1与O 02交于A、B，O O1的弦AC切O O2于A，过B作直线交两圆于 D、E。求证：DC/ AEo分

15、析：由口诀“两个相交圆不离公共弦”，连结AB,可得/ D=Z CAB,由切线知/ CABd E,即/ D=/E即得证。练习：如图O 01和O 02都经过A、B两点。经过点 A的直线CD与O O1交于点C,与O O2交于点D ;经过点B的直线EF于O 01交于点E，与O 02交于点F。求证：CE / DF.例、如图8,在梯形ABC中，以两腰AD BC分别为直径的两个圆相交于 M N两点， 过M N的直线与梯形上、下底交于 E、Fo 求证：MN丄AB分析：因为MN是公共弦，若作辅助线 00,必有MNL0Q,再由0Q是梯形的中位线，得 0Q/AB，从而易证MNLAB证明 连结0Q交EF于G =>

16、; MN丄OQoDO 1=0A, CO=QB => O1Q是梯形 ABCD勺中位线=> O1Q/AB=>Z EFAN EGORt/ => MN丄 AB说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。十六.遇到两圆相切时两个相切圆不离公切线常常作连心线、公切线。作用：利用连心线性质； 弦切角性质； 切线性质等。例3.如图4,0 01和O 02外切于点 P, A是O 01上的一点，直线 AC切O 02于C,交O 01于B，直线 AP 交O 02于D。求证PC平分乙BPD。分析：要证PC平分BPD，即证一 BPC = - DPC而.BPC的边分布在两个圆中，难以直接证明。若过

17、P作两圆的公切线 PT，与AC交于T易知.BPC =/TPB TPC由弦切角定理，得TPB=/A又.DPC是APC的一个外角所以 DPC =/A ACP又 TPC ACP从而有NBPC = DPC即PC平分.BPD例3:已知，OOi和O 02外切于 A,直线BC切O Oi于B,切0 0?于G求证：AB丄AC(人教版课本P87例4)分析1 : 口诀“两个相切圆不离公切线”，过A 作两圆的公切线，则/仁/ 2, / 3= / 4,又 / 1+ / 2+ / 3+ / 4=180,则/ 2+ / 3=90 即 AB 丄AC分析2 : 口诀“两圆三圆连心线”，连结O1O2、O1B、O2C,则点A在O1

18、O2上,易知 O1B II O2C,显然/ 1+ / 2=90,故 AB 丄 AC1.相切两圆常添公切线作辅助线 .例2 如图2,已知O O、O C2外切于点P, A是O O上一点，直线 AC切O O于点C,交O O 点B,直线AP交O O于点D . 求证:PC平分/ BPD;(2)将“O O与O O外切于点P”改为“O Oi、O O2内切于点P”，其它条件不变，中的结论是否仍然成立？画岀图形并证明你的结论(武汉市中考题)./ QPB=/ A,/ CPD/ A+/ QCP PC平分/ BPD.PA证明：过P点作两圆公切线 PQ J / QPC/ PCQ,/ CPD/ CPB,即 PC平分/ B

19、PD(2)上述结论仍然成立如图3,过点P作两圆公切线 PM则/ MPB/ A. / BPC=/ MPC-Z MPB/ BCP-Z A=/ CPA,说明：作公切线的“公”字联系了小圆弦切角与大圆弦切角2、遇到三个圆两两外切时两圆三圆连心线常常作每两个圆的连心线。作用：可利用连心线性质。3.两圆三圆时常作连心线作为辅助线例3如图4,施工工地水平地面上有三根外径都是1米的水泥管，两两外切堆放在一起，则最高点到地面距离是 （辽宁省中考题）.解：连OO、QQ、QO,过 0作A0丄QQ交O O于A,交 OQ于BV© O、o Ob>© Q是等圆，说明：三圆两两相切时作连心线后注意挑

20、选直角三角形解题?十七遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等常常添加辅助圆。作用：以便利用圆的性质。过小圆圆心作大圆半径的垂线有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形。例5.如图6,O Oi与© 02外切于点 0,两外公切线 PCD和PBA切© 0© 02于点C、D、B、A，且其夹角为60 , AB = 2 . 3，求两圆的半径。图6分析：如图6,连结0i02、0iA、02B，过点02作02E_0iA，构造RU 0i02 E，下面很容易求岀结果。十八.相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题, 常用的辅助线是连结过交点的半径0i例io如