圆的概念及性质

1、圆的概念及性质一、圆的相关概念1. 圆的定义(1) 描述性定义：在一个平面内，线段 0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点 A随之旋转 所形成的图形叫做圆，其中固定端点 0叫做圆心，0A叫做半径.(2) 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径(3) 圆的表示方法：通常用符号 O表示圆，定义中以 0为圆心，0A为半径的圆记作 ” 0；'读作” 圆 0 “( 4) 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同 心圆；能够重合的两个圆叫做等圆注意：注意：同圆或等圆的半径相等2. 弦和弧( 1) 弦：连结

2、圆上任意两点的线段叫做弦( 2) 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍(3) 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距(4) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以A B为端点的圆弧记作 Ab，读作弧AB .( 5) 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧(6) 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆(7) 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧(8) 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形3. 圆心角和圆周角( 1) 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为360等份，每一份的弧对应 1 的圆心角，我们也称这样的弧为 1 的

3、弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等( 2) 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角二、圆的对称性1. 旋转对称性( 1) 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自 身重合( 2) 圆的旋转对称性 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系2. 轴对称性( 1) 圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴( 2) 圆的轴对称性 垂径定理三、圆的性质定理1. 圆周角定理( 1) 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半( 2) 推论：推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2 :半圆(或直径)所

4、对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(1) 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.(2) 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量分别相等. 前提条件是在同圆或等圆中； 在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等.3. 垂径定理(1) 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(2) 推论1 : 平分弦(非直径)的直径，垂直于弦，

5、并且平分弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.(3) 推论2 :圆的两条平行线所夹的弧相等.注意：若 过圆心的直线”、垂直于弦”、平分弦(非直径)”、平分弦所对的优弧”、平分弦所 对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立.注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：r2 d2即，根据此公式，在a , r，个量中知道任何两个量就可以求出第三个量.OrdAC-、圆的相关概念及性质【例1判断题：(1 )直径是弦()(2 )弦是直径()(3 )半圆是弧(

6、)(4 )弧是半圆()(5)长度相等的两条弧是等弧()(6 )等弧的长度相等()(7)两个劣弧之和等于半圆()(8)半径相等的两个圆是等圆()(9)两个半圆是等弧()(10)圆的半径是 R，则弦长的取值范围是大于 0且不大于2R()AOB A'OB' 60 ，则(【例2如图，在两半径不同的同心圆中,a . Ab Abb . Ab A'B'c. Ab的度数 A'B'的度数 d . Ab的长度 A' b '的长度【例3如图，AB是OO的直径，点C、D在OO上,BOC 110 , AD / OC ,则【例4 如图，点A、D、G M在半圆

7、O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC a , EF b ,NH c则下列格式中正确的是 ()C. cab【例5】 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为G【例9】 如图，OO是 ABC的外接圆，已知ABO 50，贝V ACB的大小为A, B, C，D为切点，请你在图中画出一条直【例6】 如图，O1，O2，O3，04为四个等圆的圆心,线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是;如图，Oi，O2，O3，O4，O5为五个等圆的圆心， A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一 条直线，将这五个圆 分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个

8、点是 .Cd°4O5 /01 A、圆的性质定理1.圆周角定理【例7】 如图， A0B 80，则弧AB所对圆周角 ACB的度数是（）A. 40 B. 45 C. 50 D. 80CA【例8】如图，已知ACB是e0的圆周角,A. 40 B. 50 C. 80ACB 50，则圆心角 AOB是（D . 100A【例10】【例11】已知：如图，四边形BPC的度数是（A.45B.60ABCD是OO的内接正方形，点）C.75D.90p是劣弧Cd上不同于点c的任意一点，则【例12】如图，量角器外沿上有A B两点，它们的度数分别是70、40，则1的度数为【例13】如图，量角器外缘边上有A, P, Q三

9、点，它们所表示的读数分别是180 , 70 , 30 ,则/ PAQ的大小为（）A. 10 B. 20C. 30 D. 40如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形, 为1 , P是OO上的点，且位于右上方的小正方形内，则【例14】CAO的度数是（D. 60如图，OO是 ABC的外接圆，已知B 60，则A. 15B. 30C. 45A【例15】如图，AB是e O的直径,数为.CD是O O的弦，连接 AC, AD，若 CAB 35 ,B则 ADC的度【例16】如图，CD为OO的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若是()A. 25B. 40C.30D. 50D的度数是50，则C的度数【例

10、17】如图，已知( )A. 60 °e O的弦AB , CD相交于点B. 100 °C. 80°E , Ac的度数为60 , Bd的度数为100D . 130 °CEAEC等于C【例18】如图，AB是OO的直径，弦PC交OA于点D ,弦PE交OB于点F，且OCDC , OF EF .若C E，贝U CPE BE【例19】如图所示的半圆中， AD是直径，且AD 3 , AC 2，则si nB的值是C【例20】如图，AB是OO的直径，CD AB，设 COD，贝V -AB sin2AD 2AOBE，若 AB 2DE， E 18 ,【例21】如图，AB为OO的直

11、径，CD是OO的弦，AB CD的延长线交于点 求 AOC的度数.【例22】如图所示CD是OO的直径,EOD87 , AE 交 OO 于 B，且 ABEOC,求 A的度数.【例23】如图，已知AB为O O的直径,E 20 , DBC 50，贝U CBE rE【例24】如图，在OO中, 点重合），则 DAOB的度数为m , C是ACB上 点, E的度数为.D、E是Ab上不同的两点（不与A、B两OE【例25】如图，AB是e O的直径，点C , D , E都在e O上，若/ C ZD / E，求/ A / B .B【例26】如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点 监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装

12、A处安装了一台监视器，它的监控角度是65 为了这样的监视器台.【例27】如图所示，在 ABC中,A.2 2B.4C 45 , AB 4，则OO的半径为(C.2.3D.5【例28】如图， ABC的三个顶点都在 OO上,30 , AB【例29】如图,ABC 内接于 OO , AB BC ,BDC2cm，则OO的半径为ABC 120 , AD为OO的直径， AD 6，那么DCB【例30】已知OO的弦AB长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角【例31】两圆相交于A、B , P是大圆0上一点，过A、P和B、P分别作直线交小圆于 C、D，过0、P作直径PE .求证：PE CDF【例32】PDE的形状.PDE的

13、形状.PDE的形状这种情况加以证明.如图，OO与OP相交于B、C两点，BC是OP的直径，且把 OO分成度数比为1：2的两条弧,A是?mC上的动点(不是B、C重合)，连结AB、AC分别交O P于D、E两点.(1 )当 ABC是钝角三角形时，判断(2 )当 ABC是直角三角形时，判断(3 )当 ABC是锐角三角形时，判断【例33】已知，如图：AB为OO的直径，AB AC , BC交OO于点D , AC交OO于点E , BAC 45 .给出以下五个结论： EBC 22.5，BD DC :AE 2EC ；劣弧Ae是劣弧De的2 倍;AE BC .其中正确结论的序号是【例34】如图， ABC是eO的内接

14、三角形，点 C是优弧AB上一点(点C不与A, B重合), 设 OAB , C .(1 )当 35时，求的度数；(2)猜想与之间的关系，并给予证明.【例35】CABOADBCME并延长PDCABABFABPBC 6圆S的弦AC交S2于点D (如图)C E "AB的三等分点，连接AOB 3 APB.M NS2 O Si【例10】【例36】【例37】【例38】如图AB是半圆O的直径，点C、D在弧AB上，且AD平分 CAB，已知AB 10, AC 6，求AD 的长.圆s及S2相交于点A及B .圆Si的圆心O落在3的圆周上 证明：线段 OD与BC是互相垂直的.已知，如图M , N为e O中劣弧

15、Ab的三等分点，E , F为弦 交直线MF于点P，连接AP , BP交e O于C , D两点，求证:丄'"eF",O如图，已知AB是OO的直径，点C是OO上一点，连结BC、AC ,过点C作直线CD AB于点D 点E是AB上一点，直线CE交OO于点F，连结BF，与直线CD交于点G 求证：BC2 BG BFr z o jG如图，半圆的直径AB 10，点C在半圆(1) 求弦AC的长；(2) 若P为AB的中点，PE AB交AC于点E，求PE的长【例39】如图，已知：在OO中，直径AB 4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD AB，点F是?C上 一点，连接 AF交CE于H，连

16、接 AC、CF、BD、OD .求证： ACH s AFC ； 猜想：AH AF与AE AB的数量关系，并说明你的猜想； 探究：当点E位于何处时，S aec ： S bod 1：4 ?并加以说明.【例40】如图，AB , AC , AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB ACAE 请你说明以下各式成立的理由：（1）CAD 2 DBE ; (2) AD2 AB2 BD DC .EC【例41】在ABC中，上，使得BDABC 60，点O、H分别是 ABC的外心、垂心点 D、BH , BE BO，已知BO 1 求 BDE的面积.E分别在边 BC、AB2.圆内接四边形【例42】已知：如图，面积为2的四边

17、形ABCD内接于OO，对角线AC经过圆心，若BAD 45CD .2则AB的长等于OA【例43】如图，AB为eO的直径，AC交e O于E点，BC交e O于D点，CD BD , C 70 . 现给 出以下四个结论： A 45 ;AC AB ; Ae ?e ； CE AB 2BD2 .其中正确结论的序号是A .C .B【例44】已知AD是OO的直经，AB AC是弦，若AD2 , AB ,3 , AC2，求由 A ,B ,C ,D 四点B . D .构成的四边形的周长.D【例45】如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O,对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点P ,AB BD，且PC 0.6，求

18、四边形 ABCD的周长.【例46】如图，四边形ABCD为正方形，e O过正方形的顶点 A和对角线的交点P，分别交AB , AD于点F ,E .(1) 求证：DE AF(2) 若eO的半径为乜,AB 2 1，求匹的值.2EDA EDBC【例47】如图，OO外接于正方形 ABCD , P为弧AD上一点，且 AP 1 , PB 2 2，求PC的长.【例48】圆内接四边形 ABCD , AC BD , AC交BD于E , EGCD于G，交AB于F 求证：AF BF 【例49】圆内接矩形CEDF，过D作圆的切线 AB，分别与CE、CF的延长线相交于3BF BC3 AE ACA、B，求证:3.圆心角、弧、

19、弦、弦心距之间的关系AB和弦CD的大小关系为（ D .无法确定【例50】在同圆中，Cd的度数小于180，且Ab 2Cd，那么弦A AB CDB AB CDC. AB CD【例51】如图所示在OO中，AB 2CD，那么（）a. Ab 2Cdb. Ab 2Cdc. Ab 2Cdd. Ab与2Cd的大小关系不能确定【例52】已知AB、AC是OO的弦，AD平分 BAC交OO于D，弦DE / AB交AC于P，求证：OP平 分 APD .BF .求证：【例54】已知点A、B、C、D顺次在OO上,Ab ?d, bmBB【例55】在 ABC中，ACBC , M是它的外接圆上包含点BAC于点M，求证:BNC'C的弧AB的中点,AM DC CM .MAO EdAC上的点X使得【例53】如图，过OO的直径AB上两点M , N，分别作弦CD , EF，若CD / EF , AC?EC ADF ；(2) AM BN .MX AC，求证：AX XC CB.【例56】如图， ABC是OO的内接三