芝诺悖论——阿基里斯与乌龟

1、芝诺悖论一一阿基里斯与乌龟悖论是有趣的，而且是数学的一个非常重要的部分.它突出地表明，在陈述 或证明某种想法时小心地使它不出现漏洞是多么地重要.在数学中，我们常常试 图使数学思想覆盖尽可能多的方面，例如我们试图概括一个概念以使它能够用于 更多的对象.概括无疑是重要的，但它也可能导致危险.我们务必谨慎从事.一 些悖论就说明了这种危险的存在.公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名 的悖论：他提出让阿基里斯和乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头 1000米开始.假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍.当比赛开始的时候，阿基里斯跑了 1000米，此时乌龟仍然前于他 10

2、0米.当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟依然前于他10米.芝诺辩解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但他决不可能追上它.那么芝诺 的理由正确吗？如果阿基里斯追上了乌龟，那么他是在赛程的哪一点追上呢？（见附录“阿基里斯与乌龟”的解答 ）欧布利德悖论与芝诺悖论希腊哲学家欧布利德断言，一个人绝不可能有一堆沙.他的见解是：一粒沙 不能构成一堆沙，如果在一粒沙上加上一粒沙它们也不能构成一堆.如果你没有 一堆沙，那么即使给你加上一粒沙，也同样没有一堆，从而你永远不会有一堆沙.依着同样的思路，芝诺把眼光瞄在线段上.他断言，如果点是没有大小的， 那么加上另一个点依然不会有大小.这样人们就绝不可能得到一个有大小的

3、物体， 因为这些物体是由点结合而成的.接着他进一步推断说，如果一个点有大小，那 么一条线段就必然有无限的长度，因为它是由无穷数量的点所芝诺的悖论芝诺是古希腊著名的数学家和哲学家，他曾提出过三个著名的诡辩，其中最具迷惑性的一个是"阿基里斯追不上乌龟"，大意如下：阿基里斯是希腊神话里跑得最快的人，但如果在他前面有一只乌龟（正从A点向前爬），他永远也追不上这只乌龟，理由如下：他要 追上乌龟，必须要经过乌龟出发的地方 （A点），但是在他追到这个地方的时候 ，乌龟又向前 爬了一段距离，到了 B点，他要追上乌龟，又必须经过B点，但当他追到 B点的时候，乌龟 又爬到了 C点，他追到C点的

4、时候，乌龟又到了 D点.阿基里斯永远也追不上乌龟 !这只是一个诡辩，当然是错误的，但你知道问题出在哪儿吗？意想不到的老虎公主：父亲，你是国王.我可以和迈克结婚吗？国王：我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚.迈克必需顺次序开门，从一号门开始.他事先不知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道.这只老虎将是料想不到的.迈克看着这些门对自己说 -迈克：如果我打开了四个空房间的门，我就知道老虎在第五个房间.可是，国王说我事先不可能知道它在哪里.所以老虎不可能在第五个房间里，五被排除了 ，所以老虎必然在其余的四个房间之一，那么在我开了三个空房间以后，又怎么样了？老虎必然在第四

5、个房间里。可是，这样它就不是料想不到的了.所以四也被排除了，按同样的道理，迈克证明了老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克：哪个门后也不可能有老虎 .如果有，它就不是料想不到的了 ，这不符合国王的允诺， 国王总是遵守诺言的。那到底问题在哪儿呢？人口爆炸M: 近来，我们听到很多关于地球上人口增长多么快的讨论了。M:宁尼夫人不同意这种说法。她认为世界上的人口正在减少，很快的，每个人都会有更多的空间。M: 她的观点是每个人生来都有父母双亲。这父母二人中每一个又有一父一母。这就有四个祖父母辈的人。每个祖父或祖母又有父母二人，所以就有八个曾祖父母。你每往上数一辈，祖宗的数目就会增加一倍。如果你回到2。代

6、以前，你就会有1 0 4 8 5 7 6个祖宗。把这个道理应用到今天每个活着的人身上，那么2。代以前的人口会是现在的一百多万倍！宁尼夫人的说法肯定不对，可是她的推理哪儿出了错呢?第三章数学与哲学第一节数学与哲学随想数学的领域在扩大。 哲学的地盘在缩小。 哲学曾经把整个宇宙作为自己的研究对 象。那时，它是包罗万象的，数学只不过是算术和几何而已。17世纪，自然科学的大发展使哲学退出了一系列研究领域，哲学的中心问题从“世界是什么样的”变成“人怎样认识世界”。这个时候，数学扩大了自己的领域，它开始研究运动与变化。今天，数学在向一切学科渗透， 它的研究对象是一切抽象结构一一所有可能的关系 与形式。可是西

7、方现代哲学此时却把注意力限于意义的分析，把问题缩小到“人能说出些什么”。哲学应当是人类认识世界的先导，哲学关心的首先应当是科学的未知领域。哲学家谈论原子在物理学家研究原子之前，哲学家谈论元素在化学家研究元素之前，哲学家谈论无限与连续性在数学家说明无限与连续性之前。一旦科学真真实实地研究哲学家所谈论过的对象时，哲学沉默了。它倾听科学的发现，准备提出新的问题。哲学，在某种意义上是望远镜。 当旅行者到达一个地方时， 他不再用望远镜观察 这个地方了，而是把它用于观察前方。数学则相反，它是最容易进入成熟的科学， 获得了足够丰富事实的科学， 能够提 出规律性的假设的科学。 它好像是显微镜，只有把对象拿到手中， 甚至切成薄片，经 过处理，才能用显微镜观察它。哲学从一门学科退出，意味着这门学科的诞生。数学渗入一门学科，甚至控制一 门学科，意味着这门学科达到成熟的阶段。哲学的地盘缩小，数学的领域扩大，这是科学发展的结果，是人类智慧的胜利。但是，宇宙的奥秘无穷。向前看，望远镜的视野不受任何限制。 新的学科将不断 涌现，而在它们出现之前，哲学有许多事可做。面对着浩渺的宇宙，面对着人类的种 种困难问题，哲学已经放弃的和数学已经占领的，都不过是沧海一粟。哲学在任何具体学科领域都无