中值定理与导数的应用导数微分习题及答案

1、第三章 中值定理与导数的应用(A)1在下列四个函数中,在上满足罗尔定理条件的函数是( ) A B C D 2函数满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A B C D3方程在内根的个数是 ( ) A没有实根 B有且仅有一个实根 C有两个相异的实根 D有五个实根4若对任意，有，则 ( ) A对任意，有 B存在，使 C对任意，有(是某个常数) D对任意，有(是任意常数)5函数在上有 ( ) A四个极值点； B三个极值点 C二个极值点 D 一个极值点6函数的极大值是 ( ) A17 B11 C10 D97设在闭区间上连续，在开区间上可导，且，则必有 ( ) A B C D8若函数在上连续，在可导，

2、则 ( ) A存在，有 B存在，有C存在，有D存在，有9若，则方程( ) A无实根 B有唯一的实根 C有三个实根 D有重实根10求极限时，下列各种解法正确的是 ( ) A用洛必塔法则后，求得极限为0 B因为不存在，所以上述极限不存在 C原式 D因为不能用洛必塔法则，故极限不存在11设函数，在 ( ) A单调增加 B单调减少C单调增加，其余区间单调减少D单调减少，其余区间单调增加12曲线 ( ) A有一个拐点 B有二个拐点 C有三个拐点 D 无拐点13指出曲线的渐近线 ( ) A没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D 只有水平渐近线

3、14函数在区间上最小值为 ( ) A B0 C1 D无最小值15求16求17求18求19求20求函数的单调区间。21求函数的极值。22若，证明/23设，证明。24求函数的单调区间与极值。25当为何值时，在处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值。26求内接于椭圆，而面积最大的矩形的边长。27函数的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。28试证的拐点在曲线上。29试证明曲线有三个拐点位于同一直线上。30试决定中的的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。 (B)1函数，则 ( ) A在任意闭区间上罗尔定理一定成立 B在上罗尔定理不成立 C在上罗尔定理成立 D 在任意闭区间上，罗尔定理都不成立2下列

4、函数中在上满足拉格朗日定理条件的是( ) A B C D3若为可导函数，为开区间内一定点，而且有，则在闭区间上必有 ( ) A B C D 4若在开区间内可导，且对内任意两点，恒有则必有( ) A B C D(常数)5设为未定型，则存在是也存在的 ( ) A必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D 既非充分也非必要条件6已知在上连续，在内可导，且当时，有，又已知，则 ( ) A在上单调增加，且 B在上单调减少，且 C在上单调增加，且 D在上单调增加，但正负号无法确定7函数的图形，在 ( ) A处处是凸的 B处处是凹的 C为凸的，在为凹的 D为凹的，在为凸的 8若在区间内，函数的一阶导数，二阶导

5、数，则函数在此区间内是( ) A单调减少，曲线上凹 B单调增加，曲线上凹 C单调减少，曲线下凹 D单调增加，曲线下凹9曲线 ( ) A有极值点，但无拐点 B有拐点，但无极值点 C有极值点且是拐点 D 既无极值点，又无拐点10设函数在的某个邻域内连续，且为其极大值，则存在，当时，必有( ) A B C D11抛物线在顶点处的曲率及曲率半径为多少？正确的答案是 ( ) A顶点处的曲率为，曲率半径为2B顶点处的曲率为2，曲率半径为C顶点处的曲率为1，曲率半径为1D顶点处的曲率为，曲率半径为212设函数在处有，在处不存在，则 ( ) A及一定都是极值点 B只有是极值点 C与都可能不是极值点 D与至少有

6、一个点是极值点13求极限。14求15求16试证当时，取得极值。17求由轴上的一个给定点到抛物线上的点的最短距离。18设在上可导，且，对于任何，都有，试证：在内，有且仅有一个数，使。19设在上具有二阶导数，且，如果，证明至少存在一点，使。20设在上连续，在内二阶可导且，且存在点，使得，试证至少存在一点，使得。(C)1函数它在内 ( ) A不满足拉格朗日中值定理的条件 B满足拉格朗日中值定理的条件，且 C满足中值定理条件，但无法求出的表达式 D不满足中值定理条件，但有满足中值定理结论2若在区间上二次可微，且，()，则方程在上 ( ) A没有实根 B有重实根 C有无穷多个实根 D 有且仅有一个实根3

7、设有二阶连续导数，且，则 ( ) A是的极大值 B是的极小值 C是曲线的拐点 D不是的极值，也不是曲线的拐点4求5求6设函数二次可微，有，证明函数，是单调增函数。7研究函数的极值。8若在上有二阶导数，且，试证在内至少存在一点，满足。9设在上具有二阶导数，且，证明：存在一点使。10设是一向上凸的连续曲线，其上任意一点处的曲率为，且此曲线上点处的切线方程为，求该曲线方程，并求函数的极值。第三章 中值定理与导数的应用(A)1在下列四个函数中,在上满足罗尔定理条件的函数是( B ) A B C D 2函数满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( C ) A B C D3方程在内根的个数是 ( B ) A没

8、有实根 B有且仅有一个实根 C有两个相异的实根 D有五个实根4若对任意，有，则 ( D ) A对任意，有 B存在，使 C对任意，有(是某个常数) D对任意，有(是任意常数)5函数在上有 ( C ) A四个极值点； B三个极值点 C二个极值点 D 一个极值点6函数的极大值是 ( A ) A17 B11 C10 D97设在闭区间上连续，在开区间上可导，且，则必有 ( C ) A B C D8若函数在上连续，在可导，则 ( B ) A存在，有 B存在，有C存在，有D存在，有9若，则方程( B ) A无实根 B有唯一的实根 C有三个实根 D有重实根10求极限时，下列各种解法正确的是 ( C ) A用洛

9、必塔法则后，求得极限为0 B因为不存在，所以上述极限不存在 C原式 D因为不能用洛必塔法则，故极限不存在11设函数，在 ( C ) A单调增加 B单调减少C单调增加，其余区间单调减少D单调减少，其余区间单调增加12曲线 ( D ) A有一个拐点 B有二个拐点 C有三个拐点 D 无拐点13指出曲线的渐近线 ( C ) A没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D 只有水平渐近线14函数在区间上最小值为 ( D ) A B0 C1 D无最小值15求解：原式16求解：原式 17求解：原式18求解：令，则 原式19求解：令，则 故原式 令，则

10、 原式20求函数的单调区间。解： 当时， 当时， 当时， 故在及单增，在单减。21求函数的极值。解： 令得 当时，从而单减 当时，从而单增 故时，取极小值022若，证明证明：令，则 当时，从而在单增 因为，故，即 23设，证明。证明：10：令，则 因，则，从而在单减。 故，即20：令，则 当时，从而在单减 故，即由100、20知，24求函数的单调区间与极值。解： 令，得或 故可疑极值点1，1-+-极小值0极大值25当为何值时，在处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值。解：由于在处有极值，则，从而 当时，从而单增 当时，从而单减 故在处取得极大值。26求内接于椭圆，而面积最大的矩形的边长。

11、解：设矩形在第一象限的顶点坐标为，则 故矩形面积为 当时，取最大值， 矩形边长分别为和。27函数的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。解：，因，则是开口向上的抛物线 要使没有极值，则必须使在是单增或单减 即必须满足或 故只有时，才能使成立 即时，没有极值。28试证的拐点在曲线上。证：， 设是的拐点，则 即 的拐点在曲线上。29试证明曲线有三个拐点位于同一直线上。证：， 令得：， ， 故三个拐点， 容易验证：、在同一直线上。30试决定中的的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。解：， 令，得或-1 则拐点为及 10在拐点处切线斜率为 从而在拐点处法线斜率为，这样法线方程为，因法线过原点，所以 20

12、在拐点处切线斜率为，这样法线方程为，因法线过原点，所以。 故时，曲线的拐点处的法线通过原点。 (B)1函数，则 ( C ) A在任意闭区间上罗尔定理一定成立 B在上罗尔定理不成立 C在上罗尔定理成立 D 在任意闭区间上，罗尔定理都不成立2下列函数中在上满足拉格朗日定理条件的是( B ) A B C D3若为可导函数，为开区间内一定点，而且有，则在闭区间上必有 ( D ) A B C D 4若在开区间内可导，且对内任意两点，恒有则必有( D ) A B C D(常数)5设为未定型，则存在是也存在的 ( B ) A必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D 既非充分也非必要条件6已知在上连续，在内可

13、导，且当时，有，又已知，则 ( D ) A在上单调增加，且 B在上单调减少，且 C在上单调增加，且 D在上单调增加，但正负号无法确定7函数的图形，在 ( B ) A处处是凸的 B处处是凹的 C为凸的，在为凹的 D为凹的，在为凸的 8若在区间内，函数的一阶导数，二阶导数，则函数在此区间内是( D ) A单调减少，曲线上凹 B单调增加，曲线上凹 C单调减少，曲线下凹 D单调增加，曲线下凹9曲线 ( D ) A有极值点，但无拐点 B有拐点，但无极值点 C有极值点且是拐点 D 既无极值点，又无拐点10设函数在的某个邻域内连续，且为其极大值，则存在，当时，必有( C ) A B C D11抛物线在顶点处

14、的曲率及曲率半径为多少？正确的答案是 ( B ) A顶点处的曲率为，曲率半径为2B顶点处的曲率为2，曲率半径为C顶点处的曲率为1，曲率半径为1D顶点处的曲率为，曲率半径为212设函数在处有，在处不存在，则 ( C ) A及一定都是极值点 B只有是极值点 C与都可能不是极值点 D与至少有一个点是极值点13求极限。解：令，则 原式14求解：原式 15求解：令，则在上连续，在可导，故由拉格朗日定理知，存在一点，使 当时，则 故原式16试证当时，取得极值。证： 故时，有解 当时，从而单增 当时，则单减 当时，则单增 故在处取得极大值 在处取得极小值17求由轴上的一个给定点到抛物线上的点的最短距离。解：

15、设是抛物线上任一点，则到的距离为 从而 令，得或 10当时，只有一个驻点 当时，从而单减 当时，从而单增 故是的极小值点，极小值为2当时，有三个驻点， 当时，从而单减 当时，从而单增 当时，从而单减 当时，从而单增 故是极小点，极小值为18设在上可导，且，对于任何，都有，试证：在内，有且仅有一个数，使。证：令，因为在上连续，且，则由零点存在定理在内至少存在一点，使，即。 下证唯一性。设在内存在两个点与，且，使，在上运用拉格朗日中值定理，则有，使得 这与题设矛盾，故只有一个使。19设在上具有二阶导数，且，如果，证明至少存在一点，使。证明：由题设知在上满足洛尔定理条件，则至少存在一点，使得。因为，

16、则由题设知在上连续，在内可导，且，故在上满足洛尔定理条件，则至少存在一点，使，20设在上连续，在内二阶可导且，且存在点，使得，试证至少存在一点，使得。证：在及上都满足拉格朗日定理条件，则存在，使得因为，则，因在内二阶可导，则在上满足拉格朗日定理条件，故至少存在一点，使。(C)1函数它在内 ( B ) A不满足拉格朗日中值定理的条件 B满足拉格朗日中值定理的条件，且 C满足中值定理条件，但无法求出的表达式 D不满足中值定理条件，但有满足中值定理结论2若在区间上二次可微，且，()，则方程在上 ( D ) A没有实根 B有重实根 C有无穷多个实根 D 有且仅有一个实根3设有二阶连续导数，且，则 (

17、C ) A是的极大值 B是的极小值 C是曲线的拐点 D不是的极值，也不是曲线的拐点4求解：令，则，从而 故原式 5求解：令，则 故原式 6设函数二次可微，有，证明函数，是单调增函数。证：当时，连续 由于 故 因为 所以在处连续，故在上连续。 令，则 当时，单增，从而 当时，单减，从而 故时，从而因为，则，从而有， 故是单调增函数7研究函数的极值。解：10当时， ，从而 令得 当时，则单增 当时，则单减 故是的极大值点，极大值为 20当时，从而 说明单增，故是极小值点，极小值为0 30当时，从而 说明单减，故是极大值点，极大值为18若在上有二阶导数，且，试证在内至少存在一点，满足。证：由泰勒展式，有， ， 令，得 于是 令  ，则 故结