坐标系与参数方程

1、专题20坐标系与参数方程1考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化.2考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系.、直角坐标与极坐标的互化如图，把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设 M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x, y)和(p 0),贝U【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性.二、直线、圆的极坐标方程(1) 直线的极坐标方程若直线过点M(p,0o)，且极轴到此直线的角为a,则它的方程为：pin(0a)=posin( 0一 a.几个特殊位置直线的极坐标方程

2、直线过极点：0= a； 直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：pcos 0= a; 直线过点M b, n且平行于极轴：psin 0= b.(2) 几个特殊位置圆的极坐标方程 圆心位于极点，半径为 r: p=r; 圆心位于 M(r,0)，半径为r: p= 2rcos 0; 圆心位于 Mr, n，半径为r： p= 2rsin 0.【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式.三、参数方程（1）直线的参数方程X= Xo+ tcos a,过定点M（Xo, y°）,倾斜角为a的直线l的参数方程为c.

3、（t为参数）.y= yo十 tSin a（2）圆、椭圆的参数方程x= xo+ rcos 0, 圆心在点M（xo,yo），半径为r的圆的参数方程为.n （0为参数，02 n ）|y = yo十 rsin 022产x2 yx= acos 0, 椭圆-7十7= 1的参数方程为a by= bsin 0（0为参数）.【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使 x, y的取值范围保持一致.高频考点突破考点一坐标系与极坐标例1.【2017天津，理11】在极坐标系中，直线 4Tcos（二） 1 =0与圆T二2sin二6的公共点的个数为.【答案】2【解析】直纟妫2的卄2严1 = 0 ,圆为x;+（y-l）

4、*=l，因=-<1 ,所臥有两个交点4【变式探究】【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线'cost - 3?sinv -1 = 0与圆'=2cos交于A, B两点，则 |AB|=.【答案】2【解析】直线x-. 3y-1=0过圆（x1）2，y2=1的圆心，因此 AB =2.P= 2cos 0的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）【变式探究】在极坐标系中，圆A. 0= 0( p R)和 pcos 0= 2nB. 0= 2( p R)和 pcos 0= 2nC. 0= 2( p R)和 pcos 0= 1D. 0= 0( p R)和 pcos 0= 1解析 由 p= 2co

5、s 0得 x2 + y2 2x= 0.(x- 1)2+ y2= 1,圆的两条垂直于 x轴的切线方程为 x= 0和x= 2.一、n故极坐标方程为 0= 2（ p R）和pcos 0= 2，故选B.答案 B考点二参数方程例2 .【2017 江苏】选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10 分）在平面坐标系中xOy中，已知直线I的参考方程为x - -8 tt（t为参数），曲线C的参数方 2程为x =2s ,y =2. 2s(s为参数）.设P为曲线C上的动点，求点 P到直线I的距离的最小值【答案】4 .55【解析】直线？的普通方程为x-2v+8=0因为点P在曲线C上，设鬥2代2妊卜2八4任+ $2$

6、-血+ 4从而点尸到直线的的距离d = =亠_百当占=血时，£決=士£ 因此当点尸的坐标为（4 4）时，曲线C上点尸到直线f的距离取到最小值婪【考点】参数方程化普通方程【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4 4 :坐标系与参数方i x = a cost在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为错误！未找到引用源。(ty =1 + as int为参数,a > 0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中 ，曲线C2：尸4cosv.(I) 说明Ci是哪一种曲线，并将C的方程化为极坐标方程；(II) 直线C3的极坐标方程为v - :-0,其

7、中:-0满足tan : 0=2若曲线Ci与C2的公共点都 在C3上，求a.【答案】(I)圆，評 _2 3n1-a2 =0 (II) 1【解析】解：(I)消去参数得到q的普通方程f+0-1)圧G是法(Q1)为圆心，口为半径的圆ix=pcoy代入C；的普通方程中,得到C；的极坐标方程为p sin 3 + 1 a' = 0.< ii)曲线GG的公共点的极坐标満足方程组pz -2jsin & + 】-/ = 0p = 4 cos 仇若由万程组得 16cos: -8siiicosi?+l-(7: = 0?由已知tan = 2 ,16COS2<9-8smcos(9 = 0,从而

8、 1-=0,解得a = -l (舍去)，a-1口=1时，极点也为的公共点，在G上所以2“ 一I x = 1 +1【变式探究】(2015重庆，15)已知直线I的参数方程为'(t为参数)，以坐标I十t原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2cos 2 0 =4p> o, 3n< e<于丿，则直线I与曲线C的交点的极坐标为.解析 直线I的直角坐标方程为 y= x+ 2，由p2cos 2 e= 4得p(cos2 0 sin2 0) = 4,直角 坐标方程为x2 y2= 4，把y= x + 2代入双曲线方程解得 x= 2，因此交点为(一2, 0)，其

9、极 坐标为(2, n)答案（2, n）【变式探究】（2014江西，11（2）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y= 1 x（0 X 1的极坐标方程为（）A.P=cos 0+ sinB.1cos 0+ sin 0， n0<0tnC. p= cos 0+ sin 0, 0<02n解折X p cos &=psinD. p= cos 0+ sin 0, 0<0壬-y 1x化为极坐标方程対严皿*+1 f即P= 丄口- +-'0SrSl jcos p-f- sin p二线段在第一象限内倍端点）八-虫界殳故选A答案 A1. 【2017天津，

10、理11】在极坐标系中，直线 4：、cosC）7=0与圆r二2sin二的6公共点的个数为.【答案】2【解析】直线为273x +2y +1 = 0 ，圆为x2十（y -1）2 = 1，因为d =§ c 1，所以 4有两个交点22. 【2017北京，理11】在极坐标系中，点 A在圆 -2'cosv -4，sin，4 = 0上,点P的坐标为（1,0），则| AP|的最小值为 .【答案】1【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为x2 y2 -2x-4y 4 = 0，整理为（x1 ）+（2 ）=1 ,圆心C（1,2 ），点p是圆外一点，所以|AP|的最小值就是|AC|-r =2-1=1.x

11、= 3cos v,3. 【2017课标1，理22】在直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为.（0j =si n为参数），直线I的参数方程为乂乩4辱为参数）.y J -t.(1若a=-1，求C与I的交点坐标;(2)若C上的点到I的距离的最大值为,17，求a.【答案】(1)C与I的交点坐标为3,0 ,(21 24 25,25；(2) a = 8 或 a = -16.【解析】(1)曲线C的普通方程为2X 2彳 y =1.9当a - -1时,直线I的普通方程为解得X "或y = 021x 二2524 y 二25x 4y -3 =0由 X 21y 19从而C与I的交点坐标为 3,0 ，21

12、24 直线/的普通方程为尤+卄-口-故C上的点迢血刃到/的距离为方 |3c% +Asin®-口一当时，£的最丈值为萧一由题设得斧二圧，所以“恥当X"时川的最大值为耳里曲题i殳得害二加，所決"76W'-yl 7【2017 江苏】选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）jx = -8 ' t在平面坐标系中xOy中，已知直线I的参考方程为t（t为参数），曲线C的参数方厂2ix =2s2程为X 2sl (s y =2 2s为参数）.设P为曲线C上的动点，求点 P到直线I的距离的最小值【答案】竺55【解析】直线I的普通方程为x _2y 8

13、=0.因为点P在曲线C 上，设 P 2s2,2、2s ,从而点P到直线I的的距离d =2s2 4>/2s+82(s-72 ) +4/ 2 2-1 -2；5当s *2时,4/5dm in5因此当点P的坐标为 4,4时，曲线C上点P到直线I的距离取到最小值 乞551. 【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线 cost -込tsi-1=0与圆p=2cos日交于 A, B两点y | AB|=.【答案】2【解析】直线xJ3y1=0过圆（x1）2+y2=1的圆心，因此|ab|=2.2. 【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4 4 :坐标系与参数方程一X = a cost在直角坐标

14、系xOy中，曲线G的参数方程为错误！未找到引用源。（t=1 十 as int为参数,a > 0）.在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中 ，曲线C2：尸4 cost.（I）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II） 直线G的极坐标方程为v - -0,其中：-0满足tan 0 =2若曲线C1与C2的公共点都 在C3上，求a.【答案】(I)圆，P2-2 Psin8+1_a2=0 (II) 1【解析】解：(I)消去参数t得到CJ的普通方程/+O-1)八G是以(o；i)为圆心，曰为半径的圆将"P g矽y=p sing代入q的普通方程中，得到q的极坐标方程为p

15、* -2psin & + l-a: =0(n)曲线CC2的公共点的极坐标满足方程组P2 2Psi n 日 +1 -a2 =0,kP = 4cosT,若 P 工0，由方程组得 16cos2 0 -8sincos日+1a2 =0，由已知 tan6=2,可得 16cos2 v -8sin rcosv - 0，从而 1 -a2 =0，解得 a - -1 (舍去)，a =1.a =1时，极点也为 G,C2的公共点，在C3上所以a=1.3. 【2016高考新课标2理数】选修4 4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x 6)2 y2 = 25.(I)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极

16、轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；X = t COSG(n)直线丨的参数方程是(t为参数)，丨与C交于A,B两点，ly =tsi na| AB|"0，求丨的斜率.J15【答案】(I)2 12cost *11=0 ； (n)3【解析】（D由xp6.ry = pe可得C的极坐标方程p:+12pcos4-ll = 0.（II）在 中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为日二氐3总盘）由4 B所对应的极径分别为久将/的极坐标方程代入C的极坐标方程得X?: + 12pcosa+ll = 0.于是 p + Pi 12久角 2 =11I AB |=| 角一 p. |= J(Q + 角) -= V14

17、4cos;a-44.由 4-8 J10 得 cos * Of = . tan 金二土 ".*所以丿的斜率为学或-芈4. 【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为 x二3cos（：.为参数），以坐标原点为极 y =s in:点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为：、si nC ）=2 2 .4（i）写出G的普通方程和C2的直角坐标方程；（II）设点P在Ci上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标【答案】（I） G的普通方程为y2=1 , C2的直角坐标方程为x y-4=0；

18、(n)【解析】（I） G的普通方程y+y:=h G的直角坐标方程为x+y-4=0（ID由题竄可设点戸的直角坐标为（的8存血如 因为Q提直线所以|尸0的最小值即为P 到G的距离dd）的最小值，班比）=归也严 P = V? |血（比+手）-2 |J23丁21当且仅当住=2归T+?娥EZ）时，必取得最小值，最小值为J5,此时尸的直甬坐标为1. （2015广东，14）已知直线I的极坐标方程为2 pin ；0才戶迪，点A的极坐标为A7 n,，则点A到直线I的距离为化为 I: x y+ 1 = 0 和 A(2,解析依题已知直线I: 2 pin J一4卜、2和点AI -2），所以点A到直线1的距离为d=加+

19、（一 1）型答案5222. （2015北京，11）在极坐标系中，点J直线p(cos 0+ 3sin 0) = 6 的距离为n化为(1，翻,3)到直线的距离为d= 11 +3? 3 61 = 1 21 = 1.解析在平面直角坐标系下，点2直线方程为：x+ 3y= 6 ,点（1,答案 1冗3. （2015安徽，12）在极坐标系中，圆 p= 8sin 0上的点到直线 0= §（p R）距离的最大值解析 由 p= 8sin 0得 x2 + y2= 8y,即 x2 + (y 4)2= 16，由 0= J得 y= 3x,即 3x y=0,圆心（0, 4）到直线y=/3x的距离为2，圆p= 8si

20、n 0上的点到直线0= 3的最大距离3为 4+ 2 = 6.答案 624. （2015江苏，21）已知圆C的极坐标方程为p +2 2 psin 0 4 4 = 0,求圆C的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2 2 p 22sin 0 22cos 0 4 = 0, 化简，得 p2 + 2 psin 0 2 pcos 04= 0.p? +则圆C的直角坐标方程为X2+ y2 2x+ 2y 4 = 0,即(x 1)2+ (y+ 1)2 = 6,所以圆C的半径为 6.5. (2015新课标全国I, 23)在直角坐标系xOy中

21、，直线Ci： x=- 2,圆C2： (x 1) +(y 2)2= 1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求Ci, C2的极坐标方程；n若直线Q的极坐标方程为 0=4(p R),设C2与C的交点为M , ”，求厶QMN的面积.解 因为工=呻為爲所以O的根坐标方程为由二-2,Ci 的极坐标方程为 p- 2pcos &-4psin +4=0.等&弓弋入沪-Qco"-伽n B+斗=山得，一3问十斗=讪解得卩】=恋5*'故0-刃=迈, 即临=©由于G的半径为1,所以UA£V为等腰直角三角形，所以2鸟的面积为丄一一 x = 1+3

22、cost,6. (2015福建，21(2)在平面直角坐标系 xOy中，圆C的参数方程为(ty= -2 + 3si nt为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线I的方程为pepsin(0才丿=m(m R). 求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程； 设圆心C到直线I的距离等于2,求m的值.解 消去参数t，得到圆C的普通方程为(x 1)2+ (y+ 2)2= 9.由 2 psin 0- ； = m,得pin 0 pcos 0 m = 0.所以直线l的直角坐标方程为 x y + m = 0.依题意，圆心 C到直线l的距离等于2,即

23、|1 ( 2)+ m| = 2,勺2解得 m = 3±2 2.7. (2015 湖南,16 n )已知直线I:(t为参数),以坐标原点为极点,的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 P= 2cos 0.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；设点M的直角坐标为(5,. 3)，直线I与曲线C的交点为A, B,求|MA| |MB|的值.解 卫汀等价干p2=2pc&.将沪= 代入即得曲线C的直甬坐标方程为庄+严抵=0叫 2代入式，得Q+ 53f+ 18=0. y 十f设这个方程的两个实根分为贝U由裁数f的几何意义惧闻bL4. ' IS.1. 【2014高考安徽

24、卷理第4题】以平面直角坐标系的原点为极点，X轴的正半轴为极(X = t 讦'1轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线I的参数方程是(tly = t3为参数)，圆C的极坐标方程是 t =4cosr，则直线I被圆C截得的弦长为()A.、14 b.214 c. 2 D2 2【答案】D【解析】将直线l的参数方程消去参数t,化成直角坐标方程为 x-y-4 = 0,圆C的极坐标方程=4cosv两边同乘为2 =4cost，化成直角坐标方程为(x-2)2 y2二4,则圆心 (2,0) 到直线I的距离d二|2 二42,所以直线I被圆C截得的弦长LR2 -d2二2.2，故选D.x = T

25、 cos 丁2. 【2014高考北京卷理第 3题】曲线.，(：为参数)的对称中心()L y = 2 = sin 廿A.在直线y = 2x上B.在直线y =-2x上建立极坐标系，则线段y=1-x 0_x_1的极坐标为（）【答案】B"x = 1 + cose【解析】参数方程所表示的曲线为圆心在 (1,2)，半径为1的圆，其y =2 +si n 日对称中心为(-1,2)，逐个代入选项可知，点(-1,2)满足y = _2x，故选B.3. 【2014高考湖北卷理第16题】已知曲线 G的参数方程是坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是=2，则C1与 C2交点 的直

26、角坐标为 .【答案】(.3,1)【解析】x2 + V* =4岳消去嗎x7 =3yx> ftjazO),由"2得/+八4,解方程组=3/得G与X* =3yG的交点坐标为(3=1).4. 【2014高考湖南卷第11题】在平面直角坐标系中，倾斜角为'的直线I与曲线4x = 2 cos-：C：，C-为参数)交于 A、B两点，且 AB =2，以坐标原点 0为极点，xy =1 +si n。轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线I的极坐标方程是.【答案】、cos： -sin v -1【解析】试题分析：利用 sin2 cos2，、=1可得曲线C的普通方程为2 2 (x2 ) +(y T )

27、 =1，即曲线C为直角2r =2的圆，因为弦长 AB =2 = 2r，所以圆心在直线l上,又因为直线的斜率为1，所以直线的直角坐标方程为y = x -1,则根据直角坐标与极坐标之间的转化可得y = x-1= sin :?co -1 ：cos - sin ： -1 ，故填 P (cossin 日)=1.x轴的非负半轴为极轴5. 【2014江西高考理第12题】若以直角坐标系的原点为极点,、|兀 ： ,0 -cos v si n2TtC.- cost sin_-2【答案】AB：,0cos v sin vjiD. J 二 cost sinv,0 _-4ji< 【解析】根据 'cosv -

28、 x, 'sinv - y 0j 0,2二,y =1 x 0_ x _1 得:y 0,1,sin v -1 -）cosv,（0 _ :： cos： : 1,0 _ ： sin）: 1,）解得1H,0 ，选 A.cos v si n2x = 2+t6. 【2014重庆高考理第15题】已知直线I的参数方程为丿（t为参数），以坐y = 3 +t标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2Sin二-4cosv - 0 t _0,0 w : 2二，则直线l与曲线C的公共点的极径P =【答案】5X = 2+r【解析】由蟄数方程.消法参数得直线的一般式方程为:x-v + l=

29、0（1）y = 3+r由曲线的极坐标方程psm:-4coi = 0两边同乘叹Q得，斗冰 = 0,所以，曲线C在直角坐标系下的方程为F =4x解由方程（1） （2能成的方程级得所IX直线严1=0与曲线C：的交点坐标为（1,2）,极径尸石弔二花所以答案应为：a/5jin7. 【2014陕西高考理第15题】在极坐标系中，点 （2,）到直线? si n ）=1的距66离是.【答案】1【解析】直线rsin)=1化为直角坐标方程为3y_1x-1=0，点(2,二)的直6 2 2 6角坐标为(-、3,1)，点(-、3,1)到直线一3 y _ 1 x _ 1 = 0的距离2 2=1，故答案为1.严 1 -1、3

30、 一1 =0| d 二 2 J（1、23 2心%）8.【2014天津高考理第13题】在以O为极点的极坐标系中，圆 r = 4sinq和直线r sinq二a相交于AB两点.若DAOB是等边三角形，贝U a的值为【答案】3.【解析】圆的方程为 x+ （y- 2） = 4，直线为 y = a :DAOB是等边三角形，其中一个交点坐标为»>-，代入圆的方程可得 a= 3.9.【2014高考福建理第21 (2)题】 已知直线I的参数方程为x = a2t ，厶“,（t为参数），l y = 4t圆C的参数方程为X =4cos 日y =4si n 日V为常数)(I)求直线I和圆C的普通方程;(

31、II)若直线I与圆C有公共点，求实数 a的取值范围.【答案】（I） 2xy2a =0,x2 y2 =16; （II） -2、5 乞 a 乞 2.5【解析由已知直线/的参数方程为:二二(幼参数皿去参数瑯可得直线的普通方程一I x 4cos 3由圆c的些数方程为 . c(&为常数)消去兹数氏即可得圆的普通方程-I y = 4 sm &(II)由直线f与圆C有公共点:等价于圆心到直线的距离小干或等干圆的半径t由点到直线的距离公式即可得到结论一试题解析：(I)直线l的普通方程为2x-y-2a=0.圆C的普通方程为x2，y2=16.(II)因为直线I与圆有公共点，故圆C的圆心到直线I的距

32、离d=<4，解得、怎10.【2014高考江苏第21C题】在平面直角坐标系 xoy中，已知直线I的参数方程(t为参数)，直线I与抛物线y = 4x相交于AB两点，求线段AB的长.【答案】8 2【解析】直线I的普通方程为x-1(y-2)=0，即y=3-x，与抛物线方程联立方程组解得 严 一1不妨设P(1,O),F2(O,2),则线段RP2的中点坐标为(一，1),所求直线的斜率为k=，于,卜 _9, ,. |ab|=J(9_1)2 +(_6_2)2 =8血.% =2, $2 =-611.【2014高考辽宁理第23题】将圆x2 y1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为原来的2倍，得曲线C.(I

33、)写出C的参数方程；(n股直线l:2x+y-2=0与C的交点为P, F2，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段PP2的中点且与I垂直的直线的极坐标方程.x= cost、3【答案】(1)( t为参数)；(2) :T .y=2si nt4si n 2cos【解析】设(珂)为圆上的馬在已知变换下位C上点依题意，得工=： 由春+>?=1 y = ->得云十(今=1,即曲线C的方程为云十工=1,故C得參数方程为讥为参数)一24y=2sinf2或壮x2y = 1( X = 1(2)由X 41解得：,y = 02x y _2 =0"11是所求直线方程为y _1

34、= 1 (x - ，化极坐标方程，并整理得22312.【2014高考全国1第23题】4sin v - 2cos vx2y2x = 2 + t,已知曲线C1 :1,直线1 :(t为1 49ly = 2 2t,2cost -4sin - -3，即参数)(I) 写出曲线C的参数方程，直线I的普通方程；(II) 过曲线C上任意一点P作与I夹角为30的直线，交I于点A， PA的最大值与最小值.【答案】(I) x -2cosr 2x y _6 =o ；(II)最大值为 2-5，最小值为 匸5 . =3si n。，55【解析】工=J 0(I)曲线C的夢数方程为 一；J 为參数)-直线F的普通方程为2x+&g

35、t;-6 = 0. y = ? sin 仇(H)曲线C上任意一点P(2cos(93sin)到F的距离为出二玺|4s胡+ 3血0 6|.则|/y| = =|5sm( + a)-6|.其中映为锐角，且 tana = |.当sin(&+a) = -l时|皿|取到最大值，最大倩为三匕当血(0+=1时，旧|取到最小值，最小值为 洋.13. 【2014高考全国2第23题】在直角坐标系 xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆 C的极坐标方程为 T二2COS d ,n n 1 °2(I)求C的参数方程；(n)设点D在C上，C在D处的切线与直线I : y = . 3x 2垂直

36、，根据(I)中你得 到的参数方程，确定 D的坐标.【答案】()十是参数，0邛S) ； (n) (-3)y=si nP2 2【解析】(1)设点M (x, y)是C上任意一点，则由亍二2cos二可得C的普通方程为：2 2x y = 2x，即(x-1)2 y2 =1(0y 叮)，X=1+C0sB cfy所以C的参数方程为一,(:是参数，0 v L:：).y =sin P 设D点坐标为(1 +皿0,晶由 知C是以G0)为圆心，1为半径的上半圆, 因为C在点D处的切线与f垂直，所法直线GD与f的斜率相同，tanQ=J5,卩=眷 故d点的直角坐标为(1+g召血9即6史).-J'-J亠 仝14. 【

37、2014高考上海理科】已知曲线 C的极坐标方程为 P(3cosv -4sin“=1，贝U C与极轴的交点到极点的距离是 .1【答案】1311【解析】令v - 0，则(3cos0-sin0) =1,=，所以所求距离为 一.3 3(2013 新课标I理)(23)(本小题10分)选修44 :坐标系与参数方程x=4+5cost已知曲线 G的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴|y=5+5s int为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 p =2sin。(I)把G的参数方程化为极坐标方程；(n)求C1与C2交点的极坐标(p>0,0< 0<2n)"x=4

38、+ 5cost22【答案】(1)因为，消去参数，得(X-4)2 (y-5)2 = 25，即ly =5 +5s in tx2 y2 -8x -10y 16 =0,故C1 极坐标方程为2 -8cost -10sin *16=0；22X=1,X=0（2） C2的普通方程为x2 y2 -2y =0,联立G、C2的方程，解得或,y=1 y = 2所以交点的极坐标为 C、2）,（2）.4 2【解析】（1）先得到Ci的一般方程，进而得到极坐标方程；（2）先联立求出交点坐标，进而求出极坐标.【考点定位】本题考查极坐标方程的应用以及转化，考查学生的转化与化归能力.（2013 新课标n理）（23）（本小题满分10

39、分）选修4 4;坐标系与参数方程x = 2cos P已知动点P , Q都在曲线C：一 （ B为参数）上，对应参数分别为3 =ay= 2sin P与 a =2n （ 0 VaV 2 n ） , M 为 PQ 的中点。（I）求M的轨迹的参数方程（n）将M到坐标原点的距离 d表示为的函数，并判断 M的轨迹是否过坐标原点。【解析】< I）由题意有（25久2血a）； G（2cos2a12sin2a）.因此 AZ （cos a +cos 2 ct, sin（z +sin 2a）;¥ =住 + COS 3OfM的轨迹的参数方程为 . JG为蔘数L* 二 sin a + sin laCII）

40、M点到坐标原点的距离为d =+'=2+2cosof（0 <a< 2）,当a二扭时，d=Qf故【的轨迹过坐标原点一【解题思路与技巧】本题第（I）问，由曲线 c的参数方程，可以写出其普通方程，从而得出点P的坐标,求出答案；第（n）问，由互化公式可得 .【易错点】对第（I）问，极坐标与普通方程之间的互化，有一部分学生不熟练而出错:对第（2）问，不理解题意而出错.【考点定位】本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识，熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.（2013 陕西理）C.（坐标系与参数方程选做题 ）如图，以过原点的直线的倾斜角 二为参数，则圆x2 y2 -x=0的参数方程为 .ysin r cos ：, 0 ：）:二.【解析】x? +y2 _x = 0,（ x-丄）2 + y? =1,以（,0）为圆心，-为半径，且过原点2422111的圆它的标准参数方程为x= + cos。，y = si na,0兰口 c2兀,由已知，以过原点的直222线倾斜角0为参数，则0 ： v :二，所以0乞2：2二。所以所求圆的参数方程为x二cos2 , y二si nr cos , 0 w :-.【考点定位】本题考查与圆的参数方程有关的问题，涉及圆的标准方程和参数方程等知识，属于容易题。（2013 江西理）15 （1）