南航信号与系统连续时间系统的频域分析理想低通滤波器

1、任课教师：王旭东任课教师：王旭东电话电话12510（办）（办）Email: 上讲回顾上讲回顾一般信号f(t)作用于LTI系统的响应j te()j tH je1()2j tE jd e1()()2j tE jH jd e1()2j tE jed1() ()2j tH jE jed( )e t1( )() ()r tH jE j F()() ()R jH jE j齐次性叠加性则依卷积定理有则依卷积定理有()()()R jE jH j() (j)()R jHE j所所以以频域分析法步骤频域分析法步骤设设( )(),e tE j ( )(),r tR j ( )(),h t

2、H j 1( )()r tR j F零状态响应为：零状态响应为：()0( )cos,: ()()()( )je ttH jH jeR jr t 设若，求0000000012()()( )()() cos()jtjjtjr tH jeeeeH jt ( )cos01 2TnnnaftAnt若若 0102( )( )()cos() nnnar tHA H jnn tn 则则对周期信号还可用傅里叶级数分析法对周期信号还可用傅里叶级数分析法频率响应H(j)的求法1. H(j) = -1h(t)2. H(j) = R(j)/E(j)(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由微分方程求，对微分方程

3、两边取傅里叶变换。 )(1tv)(2tvRC)()(d)(d122tvtvttvRC 221RCjVjVjVj(2)由电路直接求出。由电路直接求出。主要内容主要内容理想低通的频率特性理想低通的频率特性 理想低通的冲激响应理想低通的冲激响应 理想低通的阶跃响应理想低通的阶跃响应 重点重点 理想低通的频率特性理想低通的频率特性 难点难点 理想低通的阶跃响应理想低通的阶跃响应 理想频率选择性滤波器理想频率选择性滤波器1.1.频率成形滤波器（改变各分量的幅度与相位）频率成形滤波器（改变各分量的幅度与相位）2.2.频率选择性滤波器（去除某些频率分量）频率选择性滤波器（去除某些频率分量）The Ideal

4、 Frequency-Selective Filters一一. . 滤波滤波 通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波滤波。滤波器可分为两大类：滤波器可分为两大类：理想频率选择性滤波器的频率特性理想频率选择性滤波器的频率特性 理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内几个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率响应等于零。频率响应等于零。理想滤波器可分为理想滤波器可分为低通、高通、带

5、通、带阻。低通、高通、带通、带阻。 滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带（通带（pass band ），完全不允许信号通过的频，完全不允许信号通过的频段称为段称为阻带（阻带（stop band）。连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性低通低通cc01高通高通cc01带阻带阻011122带通带通011122 010j tcceHj 一理想低通的频率特性一理想低通的频率特性 0t 即：即：C C O )( HC C O )( 的低频段内，传输信号无失真的低频段内，传输信号无失真(只有时移只有时移t0 )0 在在C

6、C 为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简称频带。称频带。 C 10ccHj dejHthtj)(21)(012CCjtjteed 0()CCSatt 二、理想低通的单位冲激响应二、理想低通的单位冲激响应方法方法1：利用傅氏变换定义来做：利用傅氏变换定义来做：由对称性：由对称性： 2()()CCCCttSa 方法方法2：利用傅氏变换性质来做：利用傅氏变换性质来做由变换对：由变换对： ()()CCCCSat 最后考虑时移因子，得最后考虑时移因子，得0( )()CCh tSatt )(tht0tc C 0Sattthcc 波形波形t 1 t FF1 1

7、比较输入输出，可见严重失真；比较输入输出，可见严重失真；2 2理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统几点认识几点认识 当当 经过理想低通时，经过理想低通时， 以上的频率成分都衰以上的频率成分都衰 减为减为0,0,所以失真。所以失真。 t c 信号频带无限宽信号频带无限宽， 1t 而理想低通的通频带而理想低通的通频带( (系统频带系统频带) )有限的有限的 c 0 当当 ， ，系统为全通网络，可以，系统为全通网络，可以 无失真传输无失真传输。 c )()(tth 原因：从原因：从h(t)看，看，t0时已有值。时已有值。续续3. 3. 信号边沿变缓信号

8、边沿变缓高频分量有损失。高频分量有损失。 系统截止频率越高，边沿变化越陡峭。系统截止频率越高，边沿变化越陡峭。4. 4. 信号有延时信号有延时系统相频特性的影响。系统相频特性的影响。理想低通滤波器的冲激响应与带宽的关系理想低通滤波器的冲激响应与带宽的关系cccc10t)(0tt 010( ) jtcceh tH 01jtR jej )(cc 01112( )()( )dCCjtjtu tFR jeej 三理想低通的阶跃响应三理想低通的阶跃响应 001122ddccccjt tjt teej dsin222100 ctt 0ttx 令令 xxxttcdsin12100 激励激励 1( )( )

9、e t =tj 系统系统响应响应 ( )( )( )u tth t 3. .最大值出现在最大值出现在 ， 最小值出现在最小值出现在 。 y y xxsinx1O 2 3 4 ySiyO2 2 1. 下限为下限为0 0； 2. 奇偶性：奇函数。奇偶性：奇函数。 正弦积分正弦积分 ydx0 xsinx=Si(y)tOSi011( )()2cu ttt )(t阶跃响应波形阶跃响应波形t( )u t0t0t 1 1 最最最最最最大大大大大大值值值值值值位位位位位位置置置置置置：ct 0，最最小小值值位位置置：ct 0 12rCtB 2CCBf B是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。是将角频率

10、折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。几点认识几点认识1 trtO210trtC C 2 2上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间，上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间， ： rt 记记作作3 3阶跃响应的上升时间阶跃响应的上升时间tr与网络的截止频率与网络的截止频率B（带宽）（带宽） 成反比。成反比。 rt1 rtB例：已知系统图，试画出例：已知系统图，试画出A,B,C和和D点的频谱。点的频谱。H1( )H2( )HKCC10()x t ( )y t ( )tCcostC)cos(1ABCDHKCC20()X ()11A解：解：FA()CC12AFB()CC12AKFC()C1()C

11、114AK由卷积定理由卷积定理FD()142AK3.在工程应用中，当要设计一个滤波器时，必须在工程应用中，当要设计一个滤波器时，必须对对时域特性和频域特性作出恰当的折中时域特性和频域特性作出恰当的折中。1.理想滤波器理想滤波器是非因果系统是非因果系统。因而是。因而是物理不可实物理不可实现现的；的；( )h t( )h n2.尽管从频域滤波的角度看，理想滤波器的频率尽管从频域滤波的角度看，理想滤波器的频率特性是最佳的。但它们的时域特性并不是最佳的。特性是最佳的。但它们的时域特性并不是最佳的。 或或 都有起伏、旁瓣、主瓣，这表明理想滤波都有起伏、旁瓣、主瓣，这表明理想滤波器的器的时域特性与频域特性

12、并不兼容时域特性与频域特性并不兼容。小结小结一一.佩利维纳准则佩利维纳准则 就时域特性而言，一个物理可实现系统的冲激响应就时域特性而言，一个物理可实现系统的冲激响应h(t)在在 t 0时，时，必须为零必须为零。 或者说或者说h(t)波形的出现，必须是有起因的，不能在冲激作波形的出现，必须是有起因的，不能在冲激作 用于系统之前就产生响应。这就是所谓的用于系统之前就产生响应。这就是所谓的“因果条件因果条件”。 上述为线性时不变系统为因果系统的一个时域判据，即上述为线性时不变系统为因果系统的一个时域判据，即 h(t)在在t 0时，时，必须为零必须为零。 从频域上来讲，从频域上来讲，Paley 和和

13、Winner 证明了对于幅频特性证明了对于幅频特性|H(j)| 物理可实现的物理可实现的必要必要条件是条件是 2 2Ln H jLn H jd d1+1+而且而且|H(j)|必须平方可积，即必须平方可积，即 2H jdjd这就是佩利这就是佩利 维纳准则维纳准则续续 若系统函数幅频特性在某一频段为零，即若系统函数幅频特性在某一频段为零，即|H(j)|0， 则有则有|Ln |H(j)|。则不满足佩利维纳准则，是物理。则不满足佩利维纳准则，是物理 不可实现的系统。显然，理想低通，高通，不可实现的系统。显然，理想低通，高通， 带通和带阻都带通和带阻都是物理不可实现的系统。是物理不可实现的系统。例如：理

14、想低通滤波器例如：理想低通滤波器 0|,cHj时时，违反了佩利维纳准则违反了佩利维纳准则 ，则系统不可实现。，则系统不可实现。 21ln Hjd 于于是是不收敛不收敛 ln,Hj 因为因为续续讨论一高斯函数讨论一高斯函数(钟形钟形)幅频特性的物理可实现性，即幅频特性的物理可实现性，即 2He j j解：解： 钟形频谱对应的时间信号也是钟形信号，即系统的冲激钟形频谱对应的时间信号也是钟形信号，即系统的冲激 响应为高斯函数。则在响应为高斯函数。则在t = 时信号就不为零，是非因果时信号就不为零，是非因果系统。系统。下面讨论利用佩利维纳准则来判断系统的因果性。下面讨论利用佩利维纳准则来判断系统的因果

15、性。241( )2tf te 续续 LnLnjddddtgtg2-2222211111111lim2limBBBBeHBB 所以系统非因果。所以系统非因果。说明：说明：若系统的幅频特性满足佩利维纳准则，但相频特性是一若系统的幅频特性满足佩利维纳准则，但相频特性是一 斜率为正的直线，则也是非因果系统，因为响应提前。斜率为正的直线，则也是非因果系统，因为响应提前。所以，佩利维纳准则只是因果系统的必要条件。而希尔伯特所以，佩利维纳准则只是因果系统的必要条件。而希尔伯特变换是因果系统的充分且必要条件。变换是因果系统的充分且必要条件。二、非理想滤波器二、非理想滤波器 对理想特性逼近得越精确，实现时付出的

16、代价对理想特性逼近得越精确，实现时付出的代价越大，系统的复杂程度也越高。越大，系统的复杂程度也越高。 由于由于理想滤波器是物理不可实现的理想滤波器是物理不可实现的，工程应用，工程应用中就必须寻找中就必须寻找一个物理可实现的频率特性去逼近一个物理可实现的频率特性去逼近理想特性，这种物理可实现的系统就称为理想特性，这种物理可实现的系统就称为非理想非理想滤波器。滤波器。非理想滤波器的频率特性以容限方式给出。非理想滤波器的频率特性以容限方式给出。 通常将偏离单位增益的通常将偏离单位增益的 称为称为通带起伏通带起伏（或（或波纹），波纹）， 称为称为阻带起伏阻带起伏（或波纹），（或波纹）， 称为称为通通带边缘带边缘， 为为阻带边缘阻带边缘， 为为过渡带过渡带。12spsp非理想低通滤波器的容限非理想低通滤波器的容限12非理想滤波器特性非理想滤波器特性1.1.通带绝对平坦，通带通带绝对平坦，通带内衰减为零。内衰减为零。理想滤波器特性理想滤波器特性2.2.阻带绝对平坦，阻带阻带绝对平坦，阻带内衰减为内衰减为 。通带内允许有起伏，通带内允许有起伏，有一定衰减范围有一定衰减范围3.3.无过渡带。无过渡带。阻带内允许有起伏，阻带内允许有起伏，有一定衰减范围有一定衰减范围有一定的过渡带宽度有一定的过渡带宽度