导数在中学数学解题中的应用

1、导数在中学数学解题中的应用摘 要导数不仅是中学教材中必不可少的一部分，也是历年高考的考点。导数在中学数学解题中的应用是十分广泛的，它包含了导数对不等式的证明、求曲线在某一点的切线斜率、分析函数的图像、极值与最优化、函数单调性等方面的应用。应用导数知识解决中学数学问题不仅可以锻炼学生的思维，同时也简化了解题的难度，因此对导数知识进行整理是十分有必要的。本文对导数在中学数学解题中的应用进行了归纳整理，同时也对导数应用中需要注意的几点事项做出了标注，分析了导数应用中的易错点。从而为初学者查询导数相关知识提供了资料。关键词：导数 中学数学应用精选文库ABSTRACTDerivative is not

2、only an essential part of the middle school textbooks, but also the college entrance examination over the years. The application of derivative in high school in mathematics is very extensive, it contains a proof, derivative of inequality in the analysis of the demand curve, tangent at a point in the

3、 application of function optimization, image, extremum and monotony of function etc. The application of derivative knowledge to solve mathematical problems in middle school can not only train the students' thinking, but also simplify the difficulty of solving the problem. This paper summarizes t

4、he application of derivative in the middle school in mathematics, but also on some matters needing attention in the application of derivative made annotation, analyzes the application of derivative in error prone points. So as to provide useful information for beginners to query derivative knowledge

5、.Keywords:Derivatives ；Middle school mathematics ；application2精选文库1.绪论导数是微积分中一个重要的核心内容，导数的推广已经十分广泛，大多数的国家已经将导数列入到了中学教材中。在我国，导数也是历年高考常常出现的考点。导数是解决许多数学问题的有力工具，利用导数知识可以解决中学的很多数学问题。可以解决中学数学中计算曲线在某一点的切线斜率、分析函数的性质与图像、求解方程的根、证明不等式、判断函数的单调性、求解最值的最优化问题等。2导数在中学数学解题中的应用2.1 导数在计算曲线在某一点的切线斜率中的应用在计算曲线在某一点的切线斜率的问题

6、时，主要就是利用到导数的几何意义：fx 在某一点p x0 , y0 的导数 fx0 就是曲线 yfx 在 xx0 处切线的斜率。例 2.1 已知曲线L： yx22x1，求经过点p 2,1 的曲线 L 的切线方程。分析：主要是计算出曲线L 在 P 点处的斜率K，又因为点p 2,1 ，此时便可根据点斜式能够计算出过点P 的曲线 L 的切线方程了。解：由题意可知：曲线 L：yx22x1y2x2 Q p 2,1过点 P的斜率 K为：kyx 22222曲线 L 过 P 点的切线方程为：y12 x2化简得：2xy30点评：本题在计算曲线L 的切线方程时，主要考查的对象是导数的几何意义。3精选文库例 2.2

7、 在 x22y 上求一点 P，使 P 到直线 yx4 的距离最短。分析：本题的解法有多种，它可以利用初等解法，也可以利用导数的几何意义进行计算。下面我将用不同的解法进行作答，进行对比。便可以充分的体现出导数解题时的便利性。解法 1：平移直线 yx4 ，使其与曲线x22 y 相切，可知 P 点即为所求。设切线 yxb ，代入曲线方程x22 y ，得：1x2x b（1）2又因为直线 y xb 与曲线 x22 y 相切，12b0解得：b12（1）式为 1 x21x022故切点为1, 12解法 2：设点 p x0, y0 则点 P 到直线的距离为：127127x0y 4 x02x0 24x012x0

8、1d02222222由上式可知，当x01时 d 取得最小值724故点 P为 1,12解法 3：由题可知，点P 必为平行于直线y xb 的直线与抛物线x22 y 的切点 。因此过 P 点的切线必定平行于直线yx44精选文库由导数的几何意义可知，y1 x2 在 P 点的数值为 12又 Q yx 设 p x0 , y0则 y x01x01y01 ，故 p 1, 122点评：利用不同的解法，我们可以清楚地认识到利用导数工具进行求解的简洁性与便利性，掌握导数这一工具，可以提高我们解题的效率。本题在导数方面主要运用的是导数求解曲线的斜率的知识，即利用导数的几何意义进行求解。2.2 导数在分析函数的性质与图

9、像中的运用在利用导数分析图像时应着重注意其切线变化的大小关系。理清导数与函数图像之间的关系。倒数图像与函数的图像有者密不可分的联系，下面我将用3 个例题来简单讲解他们之间的关系。2.2.1已知函数图像，画出其导函数的图像例 2.3已知函数 f x 的图像如图 2.1 、图 2.2所示，请画出其导函数f x 图像的大致情况yy00x图 2.1函数图像图 2.2函数图像分析：根据导数与函数图像之间的关系，在已知函数图像的情况下要求其导函数的图像，我们就只需判断出其函数图像在其各个切点的斜率的变化情况，便可以得出其导函数图像的大致情况。解：图2.1 的 fx 的曲线上的切点的斜率变化是越来越大，当

10、x0时，斜率大于 0；当 x 0时，斜率等于0；当 x0 时，斜率小于 0. 其图 2.1 的导函数图像如图2.3所示。图 2.2的 f x的曲线上的切点的斜率变化是各切点每处都不小于0，当 x0时斜率越来越5精选文库大；当 x0 时，斜率等于0；当 x0时斜率越来越小。其图2.2 的导函数图像如图2.4 所示。yyx0x0图 2.3导函数图像图 2.4导函数图像点评：此类题目在解题时主要应用的是导数与函数图像之间的关系以及利用到导数的几何意义，在解决此类问题时要紧紧抓住切线的斜率的大小变化的情况。已知导函数图像，画出其原函数的图像例 2.4 已知函数yxfx 的图像如图 2.5 所示，下面

11、4 个图像中能大致表示yfx 的图像是（）y-101x图 2.5导函数图像yy-1023x-1012x6精选文库分析：根据 x 的符号变化，可以得到fx 的符号变化。因此而得到其fx 的单调性的变化，便能够以此来画出其原函数的大致图像。解：由图 2.5 可知，当 x1 时xfx0 ，则 f x0 ，原函数为增函数，图像上升；当1x0时 xf x0，则 fx0 ，原函数为减函数，图像下降；当0 x1时 xf x0 ，则 fx0，原函数为减函数，图像下降；当x1时 xfx0，则 fx0 ，原函数为增函数，图像上升。综上所述，只有 C 选项满足上述条件，故选C。点评：本题解题时所用方法与例2.3相同

12、，但例2.3 与例 2.4是两个完全相反的问题，在做此类题目时要注意题目要求，分清两个题目类型之间的区别。2.2.3已知导函数图像，求解原函数例 2.5 已知函数 fx ax3bx2cx 在点 x0处取得极大值5，其导函数 yf x 的图像经7精选文库过点 1,0 ， 2,0 如图 2.6 所示，求：（1） x0 的值；（2）函数的解析式。y012x图 2.6导函数图像分析：首先根据图像信息，判断出其极大值点即x 0 的值。再利用题干信息，找出三个已知点，再分别代入其相应的函数式中，解出待定系数，从而得到函数的解析式。解：（ 1）由图像可知， 当 x1时 fx0 ， fx 在,1 上递增；当1

13、x 2 时 f x0 ，f x 在 1,2 上递减；当 x2 时 fx0， fx在 2,上递增。因此 f x 在 x 1处取得极大值。x01（2）由题意可知：f xax3bx2cxf x3ax22bx c 又Q f10f2 0 f153a2bc0a212a4b c0 解得 b9abc5c12故函数的解析式为fx2x39x212x点评：本题主要利用的是导函数的性质，结合图像信息来进行解题的。在利用导数解题时，我们不仅要找寻题干中蕴含的信息，同时也不能忽视图像中所包含的信息。2.3 导数在求解方程的根中的应用利用导数求解方程的根可以分为以下几个方面:1. 利用导数解决根的唯一性。2. 利用导数求方

14、程8精选文库根的个数。 3. 利用导数求解待定系数的取值范围。4. 利用导数求解有关超越方程的根。下面本人将结合实例对以上几个方面进行分析。利用导数解决根的唯一性判断方程 fx0 在某区间内有唯一实根，即判断函数yfx 在该区间上有唯一零点。我们可以通过探究函数的单调性，利用零点存在定理进行判断。例 2.6证明函数 f x1 x Inx x 0 在区间0,e 上有唯一零点。3分析：对于证明函数有唯一零点（方程有唯一实根）的问题上，首先应考虑的是零点是否存在，利用导数研究函数区间的单调性， 证明函数在该区间上单调就可证明出函数在该区间上有唯一零点。证明：对函数 f x1 xInx 进行求导，得：

15、fx11x 333x3x在区间 0,e上 fx0 ， fx 为减函数又Q f 0f 11e1 030 f e3f0fe0故函数 yfx 在区间o,e 上有唯一零点点评：在此问题上，如果区间两端的函数值是一正一负且函数单调，则在该区间内函数必有唯一零点（方程有唯一实根）。利用导数求解方程根的个数用导数来求解方程根的个数，实际上用导数来探究函数yfx 的图像与函数yg x 的图像有几个交点的问题。例 2.7 已知 fx4In 1x ， g xx2k1，若 fx 与 g x 在 0,有两个不同9精选文库的交点，求 k 的取值范围。分析：此题主要考查的是对数函数与二次函数的交点问题且含有参数k ，因为

16、对数函数与二次函数曲线结构的特点，我们很难具体有效地把握它们交点的情况，所以对于此类问题我们可以用导数将曲线交点的问题转化为fxg x在 0,有实根的问题。解：令 fxg x 则 4In 1xx2k14In 1xx2k 1构造函数 h x4In 1xx2hx2x4x1要让 hx0则 x0,1x0,1时 hx0 ， hx在 0,1上递增；x1,时 hx0 ， hx在 1,上递减。故 h x的极大值点为1，极大值为 h 14In2 1又Q h00 且 4In 1 xx2k1（1）转化为 h x 与 yk1的交点问题。要使（ 1）式在 0,有两个不同的实根，则0 k14In2 1解得 1 k 4In

17、2 2当 1k4In22 时（ 1）式有两个不同的实根，即在该区间f x 与 gx 有两个不同的交点。10精选文库点评：用导数工具来探究fx 与 g x 的交点问题时有下面五个步骤：1. 构造函数h xfxg x ；2. 求 hx ；3. 求出 h x 的单调性与极值 ;4. 找出 h x 与 x 轴的交点情况 ,列出不等式 ;5. 求解不等式 , 得出结论。利用导数求解待定系数的取值范围例 2.8 ： a取何值时，关于x 的方程 x 2ax2 0在 0,1上有解？分析：可以先将a 与 x 分离开，再利用导数求函数的值域。解：x 2ax20 则 ax2将 a 看作是 x 的函数xQ x0,1

18、， a201x2ax2在 0,1上是增函数x故 a1231点评：此题也可以结合二次函数fxx2ax2 的图像，使其问题转变为区间根的分布问题，但需分类讨论，然而利用导数来求其函数的值域，就可以将其运算量减少，从这个方面看，也可以看出其导数解题的简洁性。11精选文库利用导数求解有关超越方程的根例 2.9 证明方程x22Inxx2x2 有唯一解。分析：此方程由观察易知x1是其一个实根，但我们无法说明此方程根的唯一性。我们可以利用导数工具来解决这一问题，在解题过程中我们应注意函数的定义域，必须要在定义域范围内进行求解。证明：x22Inxx2x2移项得：x22Inxx2x20令f xx22Inxx2

19、x 2x0f x212x22xxx12x x 2xx 22x1xxxxQ x02xx2xx 20x当x10 即 x1时 f x0 ， fx为增函数；当x10 即 0x1时 fx0， fx 为减函数 .y12精选文库fx 极小值f10如图 2.7 所示，此时图像与 x 轴相切，与 x 轴只有唯一的一个交点。故方程 x22Inxx2x2 有唯一解 x 1点评：在解决有关超越方程根时，我们很难进行猜根求解，但我们可以通过构造函数后，进行求导，画出草图。结合图像，便可以找出其交点，使我们能够较快地解决问题。2.4 导数在证明不等式中的应用利用导数证明不等式，可以根据导数的定义、函数的单调性、最值性以及

20、构造函数来证明不等式。其中构造函数可以通过作差法、换元法、取对数等方法进行构造，然后再通过求导的方法加以证明。在构造函数证明不等式方面我将以其中的换元法来进行叙述。利用导数的定义证明不等式例 2.10已知函数 f x1 x2Inx ，求证 x1时，2 x31 x2Inx23213精选文库分析：令 gx2 x31 x2Inx ，x1,.因为 g 110 要证当 x1 时，g x 0326即 g xg 10，只需证 gx 在 1,上单调递增。证明：令 gx2 x31 x2Inx 则32gx2x2x1当 x1时xgx2x2x1x12x2x1xxQ x 1x 1 02 x 2x 1 4gx0 ， g

21、x 在 1,上单调递增故gxg 11062121x3x2Inx0 即x3x2Inx3232点评：在利用导数的定义来证明不等式时，先要将函数的一阶导数给计算出来，然后在确定函数在某点的导数值和函数值，接着便利用导数的定义来证明其不等式。14精选文库利用函数的单调性来证明不等式例 2.11已知 mn0，a, bR . 且 a1b10 ，求证： anbnmambmn分析：anbnmambmnInanbnmInambmnmInanbnnInambmIn annInammIn a xbxbbfnfmfxx，在 0,上单调递nmmn0减。证明：令 fxInaxb xx0则xxax Inabx InbIn

22、a xbxxaxInaxInbaxbxInaxbxxxfxabbx2x2a xbxx axx bxxxxxax Inbxbx Inbxax In axbxbx In axbxaaabab0x2 axbxx2 axbxfxIna xbx在 0,上单调递减x15精选文库又Q mn0f nf m即In anbnIn ambmmIn anbnnIn ambmnmIn anbnmIn ambm nanbnmambmn点评：利用函数的单调性证明不等式，首先是利用导数工具先计算出函数的导函数，再利用导函数的性质判断出函数的单调性，再证明不等式。利用最值性证明不等式x2b2例 2.12 ： g Ax11的定义

23、域是 Aa,b ，其中 a, bR ， ab，若axx1 I kk 2 , k12， x2I k 1k12, k 22求证： gI i x1gIi 1x2k4k 1kN分析：首先构造一个函数，然后求出在某区间中的全部驻点和不可导之处的函数的极值和区间两个端点之处的函数值，将它们进行比较，证明不等式成立。16精选文库证明：x2b2Q g Ax11axgA x2x22b2b2x0 时，a2ax3x3 令 gA则x4ax 3a 2 b 2a 2 bx 0即x4a2b2ax x2ab 0化简得x2abx2axab0x2ax ab 0 或 x2ab0Q 0ab2axab0无解x由 x 2ab0 解得：

24、xab 或xab 舍去g x0 时 xab ,b， gx在ab ,b上单调递增；g x0时 xa, ab，g x在 a,ab上单调递减x ab 是 gA x 的极小值点又Q gAx 在 a,b 上只有一个极值点b3gA1是 gAxab 2的最小值a故 gI Ix1的最小值为：2222kgI i1k 12 k 1 123 ，k32k31kkgI i 1x2 的最小值为：k22212211kk又17精选文库22224Q2k3k 1 3k k 1k 2k 1 3x1 I kk32I k 122, k 1 ， x2k 1 , k 2时gI i x1gI i 1x24k N 成立k k1点评：根据连续函

25、数在封闭区间上的连续性、顺序性等可得到如果函数在封闭区间a,b 上连续时，则一定存在其最大（最小）值。这就是我们用来求解连续函数的最大（最小）值的理论依据。如果函数 fx 在 x0 处可导。那么x0 还是其稳定点。因此我们只需通过比较fx 的稳定点、区间端点和不可导处的所有函数值，便可以找出fx 在区间上的最大（最小）值，从而证明不等式的成立。利用构造函数证明不等式（换元法）例 2.13 已知函数fxInx ， g xfxax23x ，函数 g x 的图像在点1, g 1处的切线平行于x 轴（ 1）求 a 的值；（ 2）求函数 g x 的极小值；（ 3）设斜率为 k 的直线与函数fx18精选文

26、库的图像交于两点 A x , y,B x , y，其中 x111x2 ，证明k1122x2x1分析：此题是一道综合性较强、难度较大的题目，它属于函数与导数的综合性题目，主要运用到导数的几何意义以及导数的性质等方面来证明不等式，下面是利用换元法来构造函数，再利用导数知识对不等式进行证明。解：（1） a1（ 2） gx的极小值为g 12（3）由题意，可得： ky2y1Inx2Inx1 即 Inx2 kx2 Inx1 kx1x2x1x2x1令 h xInxkx 则 hx1kx当 x1 时 h x0 ， h x 在 1 ,kk当 0 x1 时 h x0， h x 在 0, 1kk上为减函数；上为增函数

27、。又19精选文库Q h x1 h x2x11x2k故1 1kx2x1点评：此题运用导数求函数的单调性、极值、柯西不等式的应用及不等式证明等方面的知识进行解题，在本题的处理上运用换元法便大大减小了计算时的难度。2.5 导数在判断函数单调性中的应用如果函数 fx 是连续函数，若fx 在 xx0 处其导函数fx0 ，也就是指其该点处切线的斜率大于0，那么函数fx 在点 x0 处附近单调递增；若fx 在 xx0 处其导函数fx0 ，也就是指其该点处切线的斜率小于0，那么函数fx 在点 x0 处附近单调递减。例 2.14 讨论函数fx3x2x3 的单调性。分析：函数的单调性与其导函数的正负有关。如果导函

28、数为正，则函数为增函数；如果导函数为负，则函数为减函数。解：Q fx3x2x3fx6x3x23x 2x令 fx0 解得： x0,2令 fx0 解得： x,02,fx3x2x3 在 0,2 上单调递增，在,02,上单调递减。点评：假设fx 在 a, b 上连续，在a,b 内处处可导，则有如果在a, b 内 fx0 ，则函数 fx 在 a,b 上为增函数；如果在a, b 内 fx0，则函数 fx 在 a,b 上为减函数；如果函数 fx 在 a,b 内 fx0 ，则函数 fx 在 a,b 上为常函数。2.6 导数在求解最值和最优化问题中的运用导数在求解函数的最大( 小) 中的应用例 2.15 求函数

29、fx2x33x212x14在闭区间3,4 上的最大值和最小值。分析：先将函数fx 进行求导，再找出其极值点，最后对所有的极值点、区间端点的函数值进行对比找出其最大值和最小值。20精选文库解：Q fx2x33x2 12x14f x 6x26x 126 x 2 x 1令 fx 0解得： x12, x2 1且没有不可导的点存在x12, x21是 fx的极值点又Q f323f2 34f 17 f 4 142比较上述四个值：f 1f3f2f4f x 在 3,4 上的最大值为 142，最小值为 7点评：在求解可导函数的最值问题时要将所有的极值点、不可导点、区间端点的函数值进行对比，要做到不重不漏。导数在求

30、解最优化问题中的应用例 2.16 某新农村需要围建一个面积为 512 m2 矩形晒谷场，一边可以利用原来的石条沿，其它三边也需要砌新的石条沿。问：晒谷场的长和宽各为多少，才能使材料用得最省？分析：在求解本题时，首先设出晒谷场的宽为xm ，则长为 512 m 。因此，便可以设出一个关x于 x 的函数 f x ，再利用导数工具便可以算出材料最省的方案。解：设晒谷场的宽为xm ，则长为 512mx令石条沿的总长为512x 0f x 2xx25122 x16Q fx2x2x2fx 在 0,内只有一个极值点x16 即 fx 的极小值点为16又512Q 3216当晒谷场的长为32m，宽为 16m ，才能使材料用得最省。点评：在求解最优化问题时，应利用导数求出极值点，找出其最值。从中找到解决问题的最佳21精选文库方案。3导数在中学数学解题时的几点评注及易错点3.1 对导数的几何意义不明确而导致在应用中的错误对导数