导数应用中的两个误区

1、导数应用中的两个误区 山东莘县观城中学 郭银生导数的应用在高考中的位置越来越重要，每一套高考试题都有一个解答题。导数是研究函数性质中强有力的工具，特别在研究函数的单调性、最值方面有着独特的作用，但有两个地方学生容易发生知识性的错误，下面归纳如下：一. 求曲线的切线的方程例1. 已知曲线y=求曲线在点P(1，1)的切线方程求曲线过点Q（1，0）的切线方程求满足斜率为-的曲线的切线方程解：=-，又P（1，1）在曲线上P为切点，所求切线方程的斜率是k=-1，曲线在点P(1，1)的切线方程为y-1= -(x-1),即y=-x+2显然Q（1，0）不在曲线上，则设过该点的切线的切点为A（a,）,该切线的斜

2、率是k= -则切线方程是y-= -(x-a) 将点Q（1，0）代入方程得：0-= -(1-a)解得a=,故切线方程为y=-4x+4设切点为B（b,）则切线的斜率为k= -= - ,解得a=, B（,）或(-,- ),所以所求的切线方程是y-=-(x-)或y+=-(x+)即x+3y-2=0或x+3y+2=0总结：求切线方程时应该注意判断已知点是否在曲线上，这一点容易忽略。点不在曲线上，而按在曲线上求，就会背道而驰。无论点是否在曲线上方法是一样的，先求函数的导数由切点（或设切点）求切线斜率，然后写出点斜式方程。二求函数的单调区间例2.已知函数=-ax-1。 (1).若a0，求函数的单调递减区间；(

3、2).若函数在R上单调递增，求实数a取值范围；(3).是否存在实数a，使在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围，若不存在说明理由。解：. 由已知=3-a,令0，则3（）（）0,解不等式，可得 函数的单调递减区间是.在上是单调增函数，=3-a0在上恒成立。即a3对xR恒成立.30, 只需a0,又a=0时，=30，=-1在R上单调递增，a0.由=3-a0在（-1，1）上恒成立,得：a3，x（-1，1）恒成立-1<x<1, 3<3, 只需a3当a=3时=3（-1）在x（-1，1）上，<0,即在x（-1，1）上为减函数， a3.故存在实数a3，使在（-1，1）上单调

4、递减.总结：1 方法对比：求函数在定义域内的单调递增区间，只需>0；求单调递减区间时，只需0。 若函数在某个区间单调递增，则0；在某区间上单调递减，则0.2 对比分析: 0，（或0）是函数在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，而在区间上为增函数（或减函数）的充要条件是0（或0）。因为在上不排除有一个或几个点=0，端点处的导数也可能是0，当然不能恒等0，即f(x)是常数函数，因此，在知道函数是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应该取0（0）。然后再转化成恒成立问题解决，检验解出的参数是否=0恒成立，若恒成立，舍去。例2. 若=在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）为增函数，试求实数a的取值范围。分析：这样的问题，学生容易得到的错误。原因是混淆了题目类型，若该题改为：若=在区间（1，4）内为减函数，在区间（4，+）为增函数，试求实数a的取值范围。则。暴露出的问题是函数极值的概念理解得不透彻，掌握了问题的“形式”，没有把握问题的“内容”。解：函数的导数=。令=0，解得x=1或x=a-1，当a-11，即a2时，函数在（1，+）上为增函数，不符合题意，舍去。当a-11，即a2时，函数在（-，1上为增函数，在（1，a-1）内为减函数，在（a-1，+）上为增函数。根据题意可知，4a-16，解得5a7所以a的取值