曾谨言量子力学课件第一章

1、质子在钯中的波函数http:/www.imr.salford.ac.uk/groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.shtml1.1 1.1 波函数的统计诠释波函数的统计诠释 n1.2 schrodinger1.2 schrodinger方程方程n1.3 1.3 态叠加原理态叠加原理（一）波动粒子两重性矛盾的分析（一）波动粒子两重性矛盾的分析（二）实物粒子的波动性（二）实物粒子的波动性 几率波几率波（三）动量分布几率（三）动量分布几率（四）测不准关系（四）测不准关系（五）力学量的平均值与算符的引进（五）力学量的平

2、均值与算符的引进（六）统计诠释对波函数提出的要求（六）统计诠释对波函数提出的要求（一）（一）波动粒子两重性矛盾的分析波动粒子两重性矛盾的分析 人们曾经将电子波理解为电子的某种实际结构，人们曾经将电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种物质波包，因而即看成三维空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出干涉与衍射等现象呈现出干涉与衍射等现象。波包的大小即电子的大。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。小，波包的群速度即电子的运动速度。 kpphkmhkhmkempe,222222222自由电子自由电子角频率角频率mkmhk22222221. 1. 粒子由波组成粒

3、子由波组成波包的群速度波包的群速度vmpmkdkdvg经典粒子的速度经典粒子的速度但vg依赖于k022mdkddkdvg自由粒子的物质包要扩散自由粒子的物质包要扩散 经历一段时间后经历一段时间后 窄很大窄很大实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小1 1 。2. 2. 波由粒子组成波由粒子组成电子源电子源感感光光屏屏oqqo如如水波，声波水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分由分子密度疏密变化而形成的一种分布布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单。这种看法是

4、与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。个电子衍射实验。 降低电流密度，电子一个一个的通过小孔，但只要降低电流密度，电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。 事实上，正是由于单个电子具有波动性，事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。动的稳定

5、性以及能量量子化这样一些量子现象。波由粒子组成的看法波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。性。电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ “ 电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波 ” ”，既不是经，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ “ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一矛盾的统一。” ” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经这个波不再是

6、经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。典概念中的粒子。经典概念中经典概念中 1.1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化; ; 波意味着波意味着 2.2.干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概念中经典概念中 1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; ; 粒子意味着粒子意味着 2.2.根据经验，有确定的运动轨道，每一时刻有一根据经验，有确定的运动轨道，每一时刻有一 定位置和速度。定位置和速度。我们再看一下电子的衍射实验我们再看一下电子的衍射实验（二）（二）实物粒子的波动性实物粒子的波动性 几率波

7、几率波s1s2电子源电子源感感光光屏屏经典粒子（如子弹）只开缝1 子弹密度分布只开缝2 子弹密度分布)()(21xx双缝齐开双缝齐开)()(21xx经典波（如声波）只开缝1 声波强度分布只开缝2 声波强度分布)()(21xixi2112iii电子双缝衍射（1 1）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样时间亦显示衍射图样; ;（2 2） 入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样. .在电子衍射实验中，在电子衍射实验中，吸音板上吸音板上 r r 点附近干涉花样的强度点附近干涉花样的强度 正比于该点附近感光

8、点的数目，正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在正比于电子出现在 r r 点附近的几率。点附近的几率。 可见，波函数模的平方可见，波函数模的平方 与粒子与粒子 时刻在时刻在 处附近出现的概率成正比。处附近出现的概率成正比。rt2, r t19261926年年, ,玻恩玻恩(m.born)(m.born)首先提出了波函数的统计解释：首先提出了波函数的统计解释： 波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率成比例。方）与粒子在该点出现的概率成比例。更确切地说，更确切地

9、说， 表示在表示在r r点处体积元点处体积元 中找到粒子的概率中找到粒子的概率。zyxr2)(zyx 这表明描写粒子的波是几率波这表明描写粒子的波是几率波( (概率波概率波) ), ,反映微观客体运反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数动的一种统计规律性，波函数 有时也称为几率幅。有时也称为几率幅。, r t)( 1),(33)(2dxdydzrdrdtr全根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子（不产生，根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子（不产生，不湮灭）在空间各点的几率之总和为不湮灭）在空间各点的几率之总和为1 1，即要求波函数满，即要求波函数满足下列要求：足下列要求：波函数的归一化条

10、件波函数的归一化条件221122( , )( , )(, )(, )cr tr tcr tr t相对几率分布( , )( , )r tcr t令令 和和 所描写状态的相对几率是相所描写状态的相对几率是相同的，这里的同的，这里的 是常数。是常数。, r t,cr tc可见，可见， 和和 描述的是同一几率波，所描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。以波函数有一常数因子不定性。, r t, r t 非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的几率等于一，所

11、以粒子在空间各点出现空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 和和 描述同一状态描述同一状态, r t,cr t 这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大一倍（原来的一倍（原来的 2 2 倍）时，则相应的波动能量将为原倍）时，则相应的波动能量将为原来的来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经

12、典波倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。无归一化问题。 为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利用粒子在全空间出现的几率等于一的特性，提出波函用粒子在全空间出现的几率等于一的特性，提出波函数的归一化条件：数的归一化条件：1),(1)( 0),(3)(23)(2rdtraardtr全全平方可积假设)(1)(rar同一个几率波未归一化已归一化归一化条件消除了波函数归一化条件消除了波函数常数因子常数因子的一种不确定性的一种不确定性。l注意：对归一化波函数仍有一个注意：对归一化波函数仍有一个模为一的相因子不定性模为一的相因子不定性。l若若

13、 (r , t ) (r , t )是归一化波函数，那么是归一化波函数，那么 lexpiexpi (r , t ) (r , t ) 也是归一化波函数（其中也是归一化波函数（其中是实是实数），与前者描述同一几率波。数），与前者描述同一几率波。对于一个由若干个粒子组成的体系，例如，n个粒子组成的体系，它的波函数表成),.,(21nrrr其中r1（x1，y1，z1），r2（x2，y2，z2）分别表示各粒子的空间坐标。此时nnrdrdrdrrr32313221.),.,(表示粒子1出现在（r1，r1dr1）中同时粒子2出现在（ r2，r2dr2）中同时粒子n出现在（ rn，rndrn）中的几率。为表

14、述简单，引进符号2)(*),(全dd波函数是否等价？两种情况，得到的两个取、对是否等价？和、波函数请问：已知下列两个波函数：2)()()(, 3 , 2 , 1|0|)(2sin)(, 3 , 2 , 1|0|)(2sin)() 1 (12121nxiixxinaxaxaxanaxnaxaxaxanax（三）动量分布几率（三）动量分布几率按照波函数 的统计诠释，在空间r点处找到粒子的几率 。那么，测量粒子的其他力学量，其几率分布如何？)(r2)(r下面以动量为例来讨论。与 表示粒子在坐标空间中的几率密度相似， 表示粒子的动量分布的几率密度。2)(r2)(prderprip323)()2(1)(

15、pdeprrip323)()2(1)(其逆表示式为 代表 中含有平面波 的成分，所以粒子动量为p的几率与 成比例是自然的。2)(p)(rripe2)(p d入射波下面来分析电子衍射实验。设电子（动量p）沿垂直方向射向晶体表面，即入射波为具有一定波长 的平面波，则衍射波将沿一定的角度 出射。phn.3 , 2 , 1,npanhansinn沿 方向出射的波的振幅 正比于入射波包中对应的fourier分波的幅度，因而沿 方向的衍射波强度)(f22)()(pf1)()(3232rdrpdp因此，对于一个粒子，它在 向被测到的几率 ，即粒子动量为p的几率 .22)()(pf2)(p（四）测不准关系（四

16、）测不准关系经典波的部分概念（波的叠加性）被保留下来经典粒子的部分概念（原子性、力学量之间某些关系）被保留下来q：由于粒子波动粒子两重性，经典粒子运动的概念究竟多大程度上适用于微观世界？ heisenberg的测不准关系对此做了最集中和最形象的概括。于1927年根据一些理想实验的分析以及de broglie关系而得出。 下面先分析几个简单的例子。例1 设一维粒子具有确定的动量p0，即动量的不确定度p0，相应的波函数为平面波xpipex00)(1)(20 xp即粒子在空间各点的几率都相同（不依赖于x）。换言之，粒子的位置是完全不确定的，即x=。例2 设一维粒子具有确切的位置x0，即位置的不确定为

17、x0。相应的波函数为)()(00 xxxx其fourier展开为pixipxxxedxexp00021)(21)(21)(20px表明粒子动量取各种值的几率都相同（不依赖于p），所以动量完全不确定，p。例3 考虑用gauss波包 描述的粒子， 可以看出，粒子位置主要局限在 的区域中，即222)(xex222)(xex1x1x的fourier变换为)(x222222121)(kikxxedxeek22221)(kek可以看出 ，因此对于gauss波包k1kxpxkp测不准关系0 x2)(x111 测不准关系表明，微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，这是粒子波动粒子两重性的反映。

18、在物理上可如下理解：按照de broglie关系 由于波长是描述波在空间变化快慢的量，是与整个波动相联系的量。因此，正如“在空间某一点x的波长”的提法没有意义一样，“微粒子在空间某一点x的动量”的提法也同样没有意义。这样，粒子运动轨道的概念就没有意义。hp 从宏观角度来看，由于h是一个很小的量，测不准关系和日常的生活并无什么矛盾。（五）力学量的平均值与算符的引进（五）力学量的平均值与算符的引进粒子处在波函数 所描述的状态下，虽然不是所有力学量都有确定的值，但他们都有确定的几率分布，因而有确定的平均值，如位置x的平均值为：)(rrxdrx32)(假定波函数已归一化势能v（r）的平均值为rdrvr

19、v32)()(那么动量p的平均值呢？? )()(32rdrprp给定波函数 之后，测得粒子动量在（p，pdp）中的几率为 ，其中)(rpdp32)(rderprip323)()2(1)(因此，可以借助于 来间接计算动量的平均值)(p)()()()()2(1)()()2(1)()()()(*323*3323*33*323rirrdpeirprddpperrpddppppdpppdpriprip令 ip )()(*3rprrdp动量算符p 同样，还有动能算符和角动量算符prlmtmpt2222,2)()()(xyyxipypxlzxxzipxpzlyzzyipzpylxyzzxyyzx 三三个个分

20、分量量：一般来说，粒子的力学量a的平均值可如下求出),()()(*3ararrdaaa 是与力学量 相对应的算符。hamiton量vth对应的算符)(222rvmh（六）统计诠释对波函数提出的要求（六）统计诠释对波函数提出的要求1 1）要求）要求 取取有限值有限值，但并不排除空间，但并不排除空间某某些孤立奇点些孤立奇点。2)(r2 2）满足归一化条件，但并不排除使用某些不）满足归一化条件，但并不排除使用某些不能归一的理想波函数。能归一的理想波函数。3）要求 单值。2)(r4 4）波函数及其各阶微商的连续性。）波函数及其各阶微商的连续性。 微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的

21、任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：(1)(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；函数； (2)(2)波函数如何随时间演化。波函数如何随时间演化。这些问题在这些问题在19261926年年schrodinger schrodinger 提出了波动提出了波动方程方程之后得到了圆满解决。之后得到了圆满解决。1.2 1.2 schrodinger schrodinger 方程方程 )(expetrpia描写自由粒子波函数描写自由粒子波函数:

22、 :应是所要建立的方程的解。应是所要建立的方程的解。将上式对将上式对 t t 微商，得：微商，得：）（1 etieitmpe22先讨论自由电子pkek,2222 ,ppi1.2.1 schrodinger schrodinger 方程的引入方程的引入0)2()2(2222mpemti描述自由粒子一般状态的波函数，具有波包的形描述自由粒子一般状态的波函数，具有波包的形式，即为许多平面单色波的叠加。式，即为许多平面单色波的叠加。pdeptretrpi323)()()2(1),(),(2),(22trmtrti（4）0)2( )()2(1)2(3)(222322pdempepmtietrpi通过引出

23、自由粒子波动方程的过程可以看出，通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，可见可见能量关系式能量关系式 写成如下方程形式：写成如下方程形式：mpe22),(2),(22trmtrti（4） 该方程称为该方程称为 schrodinger schrodinger 方程，也常称为波动方程。方程，也常称为波动方程。若粒子处于势场若粒子处于势场 v(r)v(r) 中运动，则能动量关系变为：中运动，则能动量关系变为：将其作用于波函数得：将其作用于波函数得：做算符替换得：做算符替换得：（一）（一） 定域几率守恒定域几率守恒考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的

24、产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即间找到它的几率总和应不随时间改变，即2|),(|),(),(),(trtrtrtr0),(32rdtrdtd 在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在间变化。粒子在 t t 时刻时刻 r r 点周围单位体积内粒子出现点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是的几率即几率密度是：1.2.2 schr

25、odinger schrodinger 方程的讨论方程的讨论证： 考虑考虑 schrodinger schrodinger 方程及其共轭式：方程及其共轭式：式式得得：将将)6()5( 取共轭取共轭dmddtdi22）（在空间闭区域在空间闭区域中将上式积分，则有：中将上式积分，则有：0jt其微分形式与其微分形式与流体力学中连流体力学中连续性方程的形续性方程的形式相同式相同dmiddtd2）（djdtrdtd),(使用使用 gauss gauss 定理定理2mijsds 闭区域闭区域上找到粒上找到粒子的总几子的总几率在单位率在单位时间内的时间内的增量增量j j是几率流密度，是几率流密度，是一矢量。

26、是一矢量。所以所以(7)(7)式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。令令 eq.eq.（7 7）趋于趋于 ，即让积分对全空间进行，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是 eq.eq.（7 7）变为：）变为：的表面。是体积）（strsdjdtrdtds),(7),(单位时间内通过单位时间内通过的的封闭表面封闭表面 s s 流入流入（面积分前面的负号）（面积分前面的负号）内的几率内的几率 0),(dtrdtd

27、0),(dtrdtd讨论：讨论：表明，波函数归表明，波函数归一化不随时间改一化不随时间改变，其物理意义变，其物理意义是粒子既未产生是粒子既未产生也未消灭。也未消灭。这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。设想在空间加上一堵墙，概率分布就变化。设想在空间加上一堵墙，概率分布就会很不相同。会很不相同。（二）（二） 初值问题初值问题 传播子传播子pdeptretrpi323)()()2(1),( 由于schr

28、odinger方程只含波函数 对时间的一次微商，只要在初始时刻（t0）体系的状态 给定,则以后任何时刻t的状态 原则上就完全确定了。换言之， schrodinger方程给出了波函数（量子态）随时间演化的因果关系。),(tr)0 ,(r),(trpdeprrip323)()2(1)0 ,(初态初态rderprip323)0 ,()2(1)(逆变换mpe22)0 ,()2(1),()(333rpedrdtretrripmpe22体系的初始状态 完全决定了以后任何时刻t的状态)0 ,(r),(tr取初始时刻为t)( ),(),;,(),()2(1),(3333)()(tttrtrtrgrdtrped

29、rdtrtterrip)(2)(exp)(2 )(2)(exp)2(1),;,(223233ttrrmittimttmpirrippdtrtrg传播子传播子),;,(trtrg)( ),(),;,(),(3tttrtrtrgrdtr对于自对于自由粒子由粒子mpe22)(),;,(limrrtrtrgtt),(),(2),(22trtrumttri（1） （2） ( , )( ) ( )r tr f t若若 与与 无关，则可以分离变量无关，则可以分离变量，令令)(rut (2)代入代入(1) 式，两边同除式，两边同除 ，得到，得到( ) ( )r f t)()()(222rerrum（3） (

30、)dfief tdt（4） 1.2.3 能量本征方程能量本征方程等式两边是相等式两边是相互无关的物理互无关的物理量，故应等于量，故应等于与与 无关的无关的常数常数r t、( )ietf tce（5） ( , )( )ietr tr e（6） (5)代入代入(2) 式，得到式，得到/e令令=ede broglie能量式 可见分离变量中引入的常数可见分离变量中引入的常数 为粒子的能量，当为粒子的能量，当粒子处在由波函数粒子处在由波函数（6 6）所描述的状态时，粒子的能所描述的状态时，粒子的能量量 有确定的值，这种状态称为定态；描述定态的有确定的值，这种状态称为定态；描述定态的波函数波函数（6 6）

31、称为称为定态波函数。定态波函数。ee定态波函数定态波函数 当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其空间当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其空间波函数波函数 由方程（由方程（3 3），即由），即由)(r)()()(222rerrum（7 7）在给定的定解条件下求出，方程（在给定的定解条件下求出，方程（7 7）称为）称为不含时不含时schrschrdingerdinger方程。方程。 hti)(222rvmheh不显含t在势场中（2）几率流密度与时间无关）几率流密度与时间无关nntr),(2),(nnnnnmitrj（1 1）粒子在空间几率密度与时间无关）粒子在空间几率密度与时间无关)/exp()

32、/exp(tietiennnn )/exp()/exp(tietiennnn )()(rrnn )/exp()/exp()/exp()/exp(2tietietietieminnnnnnnn)()()()(2rrrrminnnn)(rjn1.2.4 定态与非定态定态与非定态 dtrftrfnn),(),( （3 3）任何不显含）任何不显含t t的力学量平均值与的力学量平均值与t t 无关。无关。 dtierftiernnnn)/exp()()/exp()( drfrnn)()( （4 4）任何不显含）任何不显含t t的力学量的测值概率分布也不随的力学量的测值概率分布也不随时间变化。时间变化。若

33、体系的初态不是能量本征态，而是若干个若体系的初态不是能量本征态，而是若干个能量本征态的叠加能量本征态的叠加eeercr)()0 ,(可以证明，不同的能量本征态相应的本征函数可以证明，不同的能量本征态相应的本征函数是正交归一化的（设是正交归一化的（设e e取离散值），即取离散值），即eeee),()0 ,()(*3rrrdcee由初态 惟一确定)0,(reetieeerctr)(),(证明满足含时schrodinger方程),()()()(),(trhercherhceerctrtieieteeeieteeeieteeeeeeeeeeeeeeeeececctrhtrrdcctrhtrrdh2,*

34、,*3*3),(),(),(),(2ec粒子能量取e值的概率非定态非定态1.2.5 1.2.5 多粒子体系的多粒子体系的 schrodinger schrodinger 方程方程设体系由设体系由 n n 个粒子组成，个粒子组成， l质量分别为质量分别为 i i (i = 1, 2,., n) (i = 1, 2,., n) l体系波函数记为体系波函数记为 ( r( r1 1, r, r2 2, ., r, ., rn n ; t) ; t) l第第i i个粒子所受到的外场个粒子所受到的外场 u ui i(r(ri i) ) l粒子间的相互作用粒子间的相互作用 v(rv(r1 1, r, r2

35、2, ., r, ., rn n) ) l则多粒子体系的则多粒子体系的 schrodinger schrodinger 方程可表示为：方程可表示为：);,(),()(2);,(211212221trrrrrrvrutrrrtinniniiiin ),(),(),()(2212112122nnniniiiirrrerrrrrrvru不含时的不含时的schrodingerschrodinger方程表示为方程表示为e为多粒子体系的能量多粒子体系多粒子体系 hamilton hamilton 量量 zjijizrrerrrv|),(221iiirzeru2)( 对有对有 z z 个电子的原子，电子间相

36、互作用为个电子的原子，电子间相互作用为 coulomb coulomb 排斥作用：排斥作用：而原子核对第而原子核对第 i i 个电子的个电子的 coulomb coulomb 吸引能为：吸引能为：假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。 niniiiirrrvruh12122),()(2 例如：例如： （一）量子态及其表象（一）量子态及其表象l（二）态叠加原理（二）态叠加原理 l(r)(r)是以坐标是以坐标 r r 为自变量的波函数，为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标空间波函数，坐标表象坐标表象波函数；波函数；.1量子态及表象量子态及表象rderprip323)()2(1)(测量在r出现的概率2)(r测量动量为p的概率2)(p(p)(p) 是以动量是以动量 p p 为自变量的波为自变量的波函数，动量空间波函数，函数，动量空间波函数，动量表象动量表象波函数；波函数； 二者描写同一量子状态。二者描写同一量子状态。pdeprrip323)()2(1)(不似经典物理，用每一时刻粒子的r(t)和p（t）来描述。1.3.2