流体力学势流理论上PPT学习教案

1、会计学1流体力学势流理论上流体力学势流理论上Laplace方程是线性方程。要使解唯一，需给出边界条件、初始条件。方程是线性方程。要使解唯一，需给出边界条件、初始条件。5.1.1 基本方程基本方程Laplace Equition vvv0002（in fluid） v势流问题的数学描述势流问题的数学描述Mathematical Model),(tzyxp)(MR第1页/共55页 物面运动速度物面运动速度 流体质点的速度流体质点的速度 物面的单位外法向量物面的单位外法向量 bvvnnvnvbnvbn（on S） 222zFyFxFzFyFxFFFkjinnS ： 0V0),(tzyxF第2页/共5

2、5页若物面运动：对若物面运动：对 求全（物质）导数求全（物质）导数0),(tzyxF若物面静止不动：若物面静止不动： ，则物面边界条件简化为，则物面边界条件简化为0bv0n0zFzyFyxFx（ on S ） FFbv（on S） nvnvb0FtFdtdzzFdtdyyFdtdxxFtFdtdFbv0FtF0zFzyFyxFxtF第3页/共55页 初始时刻初始时刻 速度势速度势 ( (或或 ) )在流在流体域内或边界上满足的条件。体域内或边界上满足的条件。0t0v若物体以若物体以V V0 0 运动，则问题转化为物体不动，运动，则问题转化为物体不动，而流体从无穷远处以而流体从无穷远处以-V0

3、流来流来 。)(R0v)(R0第4页/共55页半径为半径为R 的固定大球壳中充满不可压缩理想流体，半径为的固定大球壳中充满不可压缩理想流体，半径为a 的小球以速度的小球以速度V(t) 在其中运动。试建立速度势在其中运动。试建立速度势。 y x0 z o(t) x取静坐标系取静坐标系o - xyz02（在流体中）（在流体中） 22220)(azyxxF0)()()(00zzyyxxxtVxx外边界条件：外边界条件：大球面方程为大球面方程为 ，得，得 2222RzyxF0zzyyxx第5页/共55页vpF简单边界问题。简单边界问题。 奇点叠加法；保角变换法（平面流）。奇点叠加法；保角变换法（平面流

4、）。复杂边界问题。复杂边界问题。 CFD Computational Fluid Dynamics寻求速度势满足边界条件寻求速度势满足边界条件和初始条件的和初始条件的Laplace 方方程的解程的解 。);,(tzyx02nvbn0)(R（on S） （in fluid） 第6页/共55页iyxz),(),()(yxiyxzW函数函数：复势与复速度复势与复速度（复平面）（复平面）xyyx(C-R 条件条件)和和都是都是调和函数调和函数， ，且满足，且满足0, 022 iVeivuyyixixiyWxWzW)(ddivuzWddVvuzWv22dd第7页/共55页复势与复速度复势与复速度（复平面

5、）（复平面）llllliQidddwdzdzdwleldzdwRlmldzdzdwIQ21)(icczW1c2c第8页/共55页解析函数解析函数 的线性组合的线性组合 111)(izW ,)(222izW)()()(21zWzWzW仍然是解析函数，仍然代表某一种流动的复势。简单流动组合成复杂流动仍然是解析函数，仍然代表某一种流动的复势。简单流动组合成复杂流动 复势的可叠加性复势的可叠加性第9页/共55页目的：目的：求解最简单的流动，为解决复杂势流奠定基础。求解最简单的流动，为解决复杂势流奠定基础。内容：内容：均匀流、点源、点涡、偶极。均匀流、点源、点涡、偶极。方法：方法：利用已知流动的特征，利

6、用已知流动的特征，“凑凑”。m0VM第10页/共55页zVzWyVxV000)(, sincosdd00yVxVyvxucossindd00yVxVyuxvizeVziVzVzW000sincos)(ieVV0sin,cos00VvVu x 平板 y V0 o第11页/共55页源点注入流场的体积流量源点注入流场的体积流量 m。 点源，点源， 点汇。点汇。0m0mrmrvrvrln2dd2ddmrvrvrzmmirmzWln22ln2)(0,2vrmvrrrvm2（0，0） x y =const =const r第12页/共55页（x0，y0）2020)()(ln2yyxxm002xxyyarc

7、gm)ln(2)(0zzmzW第13页/共55页Mxmx000lim0 x设强度为设强度为m 的的源源和和汇汇相距相距 这对源汇构成一新的奇点为偶极，方向由汇指向源。这对源汇构成一新的奇点为偶极，方向由汇指向源。偶极既有大小，又有方向。偶极既有大小，又有方向。+m-mx20200)()(2yyxxyyM012)(zzMzW)()(ln4)()ln(4202002020yyxxxmyyxxm00 x20200)()(2yyxxxxM点源点源 ，点汇，点汇 ),(00yx),(000yxx第14页/共55页 rMyxxMcos2222rMyxyMsin2222zMzW2)(第15页/共55页rMy

8、xxMcos2222rMyxyMsin2222zMzW2)(第16页/共55页，若逆时针，上式加负号。，若逆时针，上式加负号。2rln2ziriWln2)ln(2 v 不难验证，上述基本解满足不难验证，上述基本解满足Laplace方程和相应的无穷远条件的方程和相应的无穷远条件的。另外，在源、涡和偶极的位置上存在奇异性（奇点）。可见，。另外，在源、涡和偶极的位置上存在奇异性（奇点）。可见，点源（汇）、偶极以及点涡都是点源（汇）、偶极以及点涡都是，均匀流是一个特殊的奇点，均匀流是一个特殊的奇点。 第17页/共55页4) 1ln)1 ()()1 ()(zzizwzizW第18页/共55页1. 1.

9、由基本解构造复杂流动的解由基本解构造复杂流动的解 基本解（奇点）叠加法基本解（奇点）叠加法。2. 2. 基本解叠加基本解叠加 代表何种物理流动？代表何种物理流动？rmrVln2cos0zmzVzWln2)(02222022yxymiyxxmVdzdW+第19页/共55页rmyxymvrmVyxxmVusin22cos222202200,20yaVmxar或或第20页/共55页)( ay 时，时， ，流线，流线在无穷远处的半宽为在无穷远处的半宽为 。 r0ay 均匀流和源叠加可模拟绕弹形物体的流动。调整源强均匀流和源叠加可模拟绕弹形物体的流动。调整源强m和速度和速度V0，改变流线的形状。改变流线

10、的形状。0Vmxya2avCmyv002第21页/共55页220021)21(Vvpp2202200sin2sin121surfacepvVvppc第22页/共55页x方向均匀流方向均匀流 + + 等强度源汇：等强度源汇：源源(-b,0）、汇、汇(b,0）22220)(ln2)(ln2ybxmybxmxV222222220)(2)(2)()(2ybxymybxymvybxbxybxbxmVu mb2m0V第23页/共55页 将流线替换成物面，该解模拟流体绕卵形体的外部流动。将流线替换成物面，该解模拟流体绕卵形体的外部流动。点源推开流线，点汇收回流线。点源推开流线，点汇收回流线。0,2220yb

11、vbmx 22202)2(byxbymyvtg0Vxyo0)2(22221byxbytgmyvo第24页/共55页偶极位于（偶极位于（0 0，0 0），方向沿），方向沿 - - 轴：轴： rMrVcos2cos0rMrVsin2sin0zMzVzW2)(0速度分布：速度分布： 驻点：驻点： )21 (sin),21 (cos020020VrMVvVrMVvr0,20aVMr过驻点的流线过驻点的流线由由 、 的的 x 轴和半径轴和半径 的圆组成。该解的圆组成。该解模拟流体绕圆柱的流动。模拟流体绕圆柱的流动。 002 vMa第25页/共55页研究半径为研究半径为 a 的无限长圆柱体在理想流体中等速

12、直线运动的解。的无限长圆柱体在理想流体中等速直线运动的解。0,(2）r0r0Vx(ra)(r=a)(r)数学模型数学模型：取固结于圆柱上的柱坐标系取固结于圆柱上的柱坐标系V0oyxra第26页/共55页)()(20zazVzW基本解叠加法（通解）基本解叠加法（通解） ： 物面条件定解：物面条件定解： rMrVcos2cos00arr202aVM)1 (cos220rarV)1 (cos220rarV复势：复势： 第27页/共55页柱面上（柱面上（r=a）：)1 (sin1)1 (cos220220raVrvraVrvrsin200Vvvr第28页/共55页)sin41 (22200Vpp220

13、210sin41Vppcp222002VpVp 得全流场压力分布。得全流场压力分布。柱面上（柱面上（r =a）： Pressure coefficient第29页/共55页阻力为零阻力为零(Archimedes Paradox) 圆柱体在理想流体中作等速直线运圆柱体在理想流体中作等速直线运动时，受到流体作用的阻力等于零，动时，受到流体作用的阻力等于零，原因：原因：没有考虑流体的粘性。没有考虑流体的粘性。 01d)sin(cosd200rpSpSjinP0; 0LRNo liftNo drag(4) 圆柱受力圆柱受力第30页/共55页半径为半径为 a 的圆柱以的圆柱以 V0 作等速直线运动，作等

14、速直线运动，转动角速度转动角速度 。 0,(2）r0r0Vx(ra)(r=a)(r)022daarlv数学模型数学模型V0oyxra第31页/共55页V0oyxra 2)(cos0200rrrVrrarVln2)(sin020zizazVzWln2)()(020点涡偶级均匀流圆柱第32页/共55页rraVrvraVrvr2)1 (sin1)1 (cos0220220柱面上（柱面上（r=a）：）： aVvvr2sin2000第33页/共55页若若 1，柱面上有两个驻点，柱面上有两个驻点: 和和 ；若若 =1， 柱 面 上 只 有 一 个 驻 点， 柱 面 上 只 有 一 个 驻 点 : ；若若

15、1，柱面上无驻点，柱面上无驻点: 。aV004aV004aV00422,1 ar12环量对流场的影响：环量对流场的影响：第34页/共55页(4) 圆柱受力圆柱受力 柱面上（柱面上（r=a）：）： )2sin2(1 21200200aVVpp200)2sin2(1aVcpjinnP002002000)2sin2(1 21VdSaVVpdSpSSPressure coefficient(3) (3) 压力分布压力分布第35页/共55页lVL000R00VL阻力：阻力：升力：升力：等于密度等于密度 、流速、流速V0、环量、环量0、和柱体长度的乘积。、和柱体长度的乘积。沿沿v0方向逆速度环量旋转方向逆

16、速度环量旋转90所对应的方向。所对应的方向。 V0 0 L图5.4.7 L 的方向 o第36页/共55页绕圆柱上下表面流动不对称、环量（旋转）、粘性。绕圆柱上下表面流动不对称、环量（旋转）、粘性。机翼周围流场不对称、环量（机翼几何形状、攻角）、粘性。机翼周围流场不对称、环量（机翼几何形状、攻角）、粘性。00VL000第37页/共55页第38页/共55页将将物理平面物理平面上边界形状复杂的流动变换到上边界形状复杂的流动变换到辅助平面辅助平面上边界形状简单的流动，求得辅助平面内的流动后，再返回到物理平面上边界形状简单的流动，求得辅助平面内的流动后，再返回到物理平面。i)(zfiyxzz 平面平面:

17、 平面：平面：(1:1)如果如果=f (z) 在定义域内单叶解析、导数在定义域内单叶解析、导数f (z)0，则该变换是保角变换。，则该变换是保角变换。如果如果=f (z) 在边界上连续，域内处处解析，该变换将平面上的一个区域在边界上连续，域内处处解析，该变换将平面上的一个区域变换为变换为平面上的一个区域，而且保持边界上对应点的顺序不变。平面上的一个区域，而且保持边界上对应点的顺序不变。 第39页/共55页 保角变换将保角变换将z 平面上物体边界变为平面上物体边界变为平面上边界的同时，对应点上的流动也平面上边界的同时，对应点上的流动也 (1: 1) 对应。对应。),(),()(yxiyxzW),

18、(),()()()(1ifWzW 对应的对应的复势：复势： 两平面对应点上的复势相等。等势线变换成等势线，流线变换成流线：两平面对应点上的复势相等。等势线变换成等势线，流线变换成流线：第40页/共55页 无穷远处：无穷远处： ddddWddddWddzzzzzz zzmzzzddWddddWdd 若若m为实常数，为实常数，上远方速度较上远方速度较 z 上放大上放大m倍，方向不变；若倍，方向不变；若m为复常数，远方速度大小为复常数，远方速度大小、方向都改变。、方向都改变。 设设z 平面上闭曲线平面上闭曲线C 变换为变换为平面上的闭曲线平面上的闭曲线C，沿对应封闭曲线沿对应封闭曲线C 和和C 的积

19、分的积分 CCzzzWdd)(ddd)(dCCCCiQiQ 对应的速度：对应的速度：第41页/共55页bz 是复常数)(21ibbbiyxzi,21bybx z x o y R 4 3 2 1 o R 4 3 2 1 b1 b2图5.5.1 平移变换z平面的图形变换到平面的图形变换到平面时，形状不变，位置平移了距离平面时，形状不变，位置平移了距离b。 第42页/共55页ize（为实常数为实常数 ）ieierz r z x o y R 4 3 2 1 o R 4 3 2 1 图图5.5.2 旋转变换旋转变换z 平面上的图形变到平面上的图形变到上时，形状不变，但绕原点旋转了上时，形状不变，但绕原点

20、旋转了度。度。 第43页/共55页（A 为实常数为实常数 ） z 上圆上圆 rA 上椭圆上椭圆 ：)(212zAz )1 (sin21)(21)1 (cos21)(212222222222rAryxyAyrAryxxAx z 上圆上圆 r=A 上直线上直线A ：)0,cos(A1)1 (21)1 (2122222222rArrAr z x o y A 4 3 2 1 A 4 3 2 1 第44页/共55页 （A 为实常数为实常数 ） z 上位于上位于（x0, y0) 的圆的圆 rA 上翼型上翼型 )(212zAz 利用利用变换可讨论理想流变换可讨论理想流体绕平板和翼型的流动。体绕平板和翼型的流

21、动。 第45页/共55页 物理物理 平面平面 辅助平面辅助平面 辅助平面辅助平面 物理平面物理平面上平板绕流复杂，复势上平板绕流复杂，复势W () = ？物理平面物理平面上平板变换为辅助平面上平板变换为辅助平面z1上的圆，相应地平板绕上的圆，相应地平板绕流变换为圆柱绕流流变换为圆柱绕流.iiyxz111iyxz流速流速V0、板宽 2a ，流向与平板夹角，流向与平板夹角。第46页/共55页)(21121zaz izeVzzzWV2ddddWdd011111221aziezz1i0V111iyxz20Viyxz20V zazVz202iiaeaaeaVW)()(2)(222220sincos)(2

22、200aiVVW第47页/共55页sin2cos22200aViVddWv理论上平板端点理论上平板端点=a 处绕流速度趋于无限大。处绕流速度趋于无限大。 avi0V0Vi 绕具有尖锐后缘物体流动中绕具有尖锐后缘物体流动中, 上下流动在后缘会合，且后缘处速上下流动在后缘会合，且后缘处速度为有限值。度为有限值。将上表面驻点推后相当于原点加个点涡，点涡强度由将上表面驻点推后相当于原点加个点涡，点涡强度由K-J 条件确定。条件确定。第48页/共55页K-J条件仍未解决平板前缘速度无限大问题，这引起条件仍未解决平板前缘速度无限大问题，这引起。实际机翼前缘为圆弧形，可有效避免无限大速度的产生。实际机翼前缘

23、为圆弧形，可有效避免无限大速度的产生。 )ln(2sincos)(222200aiaiVVW 22002sinsinaViVvsin20aV)ln(sinsincos)(2202200aaiVaiVVWaaVVvsincos000ViKutta conditionaaVVvsincos00或第49页/共55页0Vi aavvvbsincos00aaaacp22sinsincos2cos1aacp2上aacp2下 1： sin2200aVVL202VaL22021AVLCLA=2a小攻角第50页/共55页LCO206202VaL0Vi202VaL第51页/共55页jildydxdjincossinid