笛卡儿座标与直线Bl28C

1、笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線88.1 笛卡兒坐標笛卡兒坐標笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線88.1 笛卡兒坐標笛卡兒坐標8.1 圖笛卡兒坐標系笛卡兒坐標系 是由兩條互相垂直且相交於 o 點的數線所組成的，其中水平數線稱為 x 軸軸、 垂直數線稱為 y 軸軸，而 o 點則稱為原點原點。笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線88 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.2 兩點的距離兩點的距離8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.2 圖8.2 兩點的距離兩點的距離距離公式距離公式是兩點的距離和 ),( ),(2211dyxbyxa.)()(212212yyxxd8 笛卡兒坐標系與直

2、線笛卡兒坐標系與直線解：解：例例 8.1點的坐標試求兩點等距和且與軸上的一點，是已知 10) (2, 7) (3, pbayp) (0 m,p點的坐標為設8.2 兩點的距離兩點的距離pbpa 在 y 軸上，任意一點的 x 坐標都必定等於零。2222)10()20()7()30(mm1002044914922mmmm466m323 0, 點的坐標是因此，p323m8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.3 分點分點8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.4 圖8.3 分點分點khhykyykhhxkxx2121 ,若 p (x, y) 是 ab 上的一點，使得 ap : pb = h :

3、 k，則 p 點的坐標可從截點公式截點公式得出：截點公式截點公式8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線1:1: )( pbapabx,yp的中點，則恰位於如果8.3 分點分點 1 1 代入截點公式，可得：及於是，以kh2 22121yyyxxx及8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.5(a) 圖我們稱 p 點內分內分 ab 為 3 : 5 。8.3 分點分點2 22121yyyxxx及 1 1 代入截點公式，可得：及於是，以kh1:1: )( pbapabx,yp的中點，則恰位於如果8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.5(a) 圖8.5(b) 圖即是說 p 點內分內分 ab 為

4、 3 : 5。p 點外分外分 ab 為 5 : 2 。1:1: )( pbapabx,yp的中點，則恰位於如果8.3 分點分點2 22121yyyxxx及 1 1 代入截點公式，可得：及於是，以kh8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線例例 8.38.3 分點分點考慮 a (4, 1) 和 b (7, 5)兩點。若 p 點外分 ab 為 3 : 2，試求 p 點的坐標。8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.6(a) 圖例例 8.38.3 分點分點考慮 a (4, 1) 和 b (7, 5)兩點。若 p 點外分 ab 為 3 : 2，試求 p 點的坐標。8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系

5、與直線) ( yx,p點的坐標為設21) 1)(2()(1 (5 21)4)(2()(1 (7yx及8.6(a) fig8.6(b) 圖325 387yx及17 13yx及17) (13, 點的坐標是因此，p根據截點公式，例例 8.38.3 分點分點考慮 a (4, 1) 和 b (7, 5)兩點。若 p 點外分 ab 為 3 : 2，試求 p 點的坐標。8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.4 直線圖形的面積直線圖形的面積多邊形的面積多邊形的面積考慮一 n邊形， 其頂點 (x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3).(xn, yn) 按逆時針方向排列。8 笛卡兒坐標系與直線笛卡

6、兒坐標系與直線8.17 圖11nn2211 21 yxyxyxyx多邊形的面積8.4 直線圖形的面積直線圖形的面積多邊形的面積多邊形的面積考慮一 n邊形， 其頂點 (x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3).(xn, yn) 按逆時針方向排列。8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線例例 8.78.4 直線圖形的面積直線圖形的面積已知一 四邊形的頂點為 (2, 2) 、(1, 4) 、(4, 1) 和 ( 2, 0)，試求該四邊形的面積。8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線解：解： 四邊形的面積0 24 1 1 4 2 2 0 2 21 237平方單位8.18 圖例例 8.78.

7、4 直線圖形的面積直線圖形的面積已知一 四邊形的頂點為 (2, 2) 、(1, 4) 、(4, 1) 和 ( 2, 0)，試求該四邊形的面積。8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.5 直線斜率與兩直線的交角直線斜率與兩直線的交角傾角與斜率傾角與斜率8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.25 圖笛卡兒坐標上一直線 l 的傾角定義為從正 x 軸按逆時針方向量度所得的角 （參考圖 8.9）；tan 的斜率l再者8.5 直線斜率與兩直線的交角直線斜率與兩直線的交角傾角與斜率傾角與斜率角 的範圍是 0 180（ l 的傾角)8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.5 直線斜率與兩直線的交

8、角直線斜率與兩直線的交角傾角與斜率傾角與斜率8.26 圖中，在 abn1212xxyyanbntan1212xxyy因此，連接 (x1 ,y1) 與 (x , y)兩點直線的斜率為：8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線解：解：例例 8.8o135tan 的斜率l8.5 直線斜率與兩直線的交角直線斜率與兩直線的交角 112)3(5 k122k若 a(k, 5) 和 b(2, 3) 兩點位於傾角為 135 的直線 l 上，試求 k 的值。 4 k8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.5 直線斜率與兩直線的交角直線斜率與兩直線的交角兩直線的交角兩直線的交角8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系

9、與直線8.27 圖的斜率，與分別為和設 2121llmm2211tan tan mm及則21211tan mmmm8.5 直線斜率與兩直線的交角直線斜率與兩直線的交角兩直線的交角兩直線的交角若兩直線 l1 和 l2的斜率分別為 m 及 m，且其交角中的銳角為 ，則8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線解：解：例例 8.921 設所求的角為8.5 直線斜率與兩直線的交角直線斜率與兩直線的交角2141214tan29) 2 (47.77 o兩位小數準確至若兩直線的斜率分別為 4 和 ，試求兩直線所成的銳角。答案須準確至 2 位小數。8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.6 直線方程直線方程

10、直線方程的各種形式直線方程的各種形式8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.34 圖1. 點斜式點斜式)(11xxmyy8.6 直線方程直線方程直線方程的各種形式直線方程的各種形式斜率 = m8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線2. 斜截式斜截式cmxy8.35 圖8.6 直線方程直線方程直線方程的各種形式直線方程的各種形式8.34 圖1. 點斜式點斜式)(11xxmyy斜率 = m斜率= m8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.36 圖3. 兩點式兩點式121211xxyyxxyy8.6 直線方程直線方程直線方程的各種形式直線方程的各種形式8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直

11、線4. 截距式截距式1byax8.37 圖8.6 直線方程直線方程直線方程的各種形式直線方程的各種形式8.36 圖3. 兩點式兩點式121211xxyyxxyy8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線5. 一般式一般式8.6 直線方程直線方程直線方程的各種形式直線方程的各種形式0cbyax8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.50 圖5. 一般式一般式6. 法線式法線式0sincospyx022bacbyax0cbyax8.6 直線方程直線方程直線方程的各種形式直線方程的各種形式若要把一般式 ax+by+c=0 轉換成法線式，我們只需簡單地把它表成：8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直

12、線8.7 法線式的應用法線式的應用點與直線的距離點與直線的距離8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.55(a) 圖8.7 法線式的應用法線式的應用點與直線的距離點與直線的距離8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.55(a) 圖2211bacbyaxd8.55(b) 圖8.7 法線式的應用法線式的應用點與直線的距離點與直線的距離8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線解：解：例例 8.208.7 法線式的應用法線式的應用試求 l1:x + y 4 = 0 與 l2:x 7y + 6 = 0 兩直線的角平分線方程。設角平分線上的任意點為 p(x, y)，8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標

13、系與直線 21的距離是相等的點到與從點到則從lplp49167114yxyx256724yxyx25674yxyx)67()4(5 67)4(5 yxyxyxyx或073 01362yxyx或解：解：例例 8.208.7 法線式的應用法線式的應用因此，角平分線的方程是試求 l1: x + y 4 = 0 與 l2: x 7y + 6 = 0 兩直線的角平分線方程。設角平分線上的任意點為 p(x, y)， 073 01362 yxyx及8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.7 法線式的應用法線式的應用兩平行線的距離兩平行線的距離8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線22211 bacby

14、axd上，因此，位於由於點 ),( 111lyxp8.56 圖0111cbyax111cbyax所以我們得出以下公式2212baccd8.7 法線式的應用法線式的應用兩平行線的距離兩平行線的距離設有兩條平行線 l1: ax+by+c1 = 0及 l2: ax+by+c2 = 08 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線解：解：例例 8.2102943 2yxl 的方程可改寫成8.7 法線式的應用法線式的應用222143)8(29 的距離與 ll 25 試求兩條平行線 l1: 3x 4y 8 = 0及 l2: 6x 8y 9 = 0的距離。 8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.8 直線族直

15、線族平行線族平行線族8.57 圖8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.57 圖值變化時因此，當 k值變化時，方程在一般情況下，當 k為實常數，和，其中或 . 0mbakmxykbyax8.8 直線族直線族平行線族平行線族l : y = 2x + k代表一平行線族。表示一平行線族。8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線解：解：例例 8.22為實數其中，的方程是 045 (a)kkyx l8.8 直線族直線族的方程，可得代入把 )2 , 1( (b)l0)2(4) 1(5k3 k的方程是因此，0345 yxl已知 l 表示平行於直線 5x + 4y + 3 = 0 的直線族。(a)試求 l

16、 的方程。(b)若l是線族 l 中通過點 (1, 2) 的一條直線，試求 l 的方程。8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.8 直線族直線族通過一定點的直線族通過一定點的直線族8.58 圖8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線，或baxkyaxkby)( )(8.8 直線族直線族通過一定點的直線族通過一定點的直線族8.58 圖值變化時因此，當 kl : y 3 = k(x 2)代表通過點 (2, 3) 的直綫族。方程值變化時，在一般情況下，當 k表示通過定點 (a, b) 的直線族。8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線解：解：例例 8.23為實數，其中的方程是 1)2( (a)kx

17、ky l8.8 直線族直線族為實數其中，的方程為設，根據 1)2( (a) (b)kxkyl012kykx單位的距離為從原點到 5 l . 0)( 221111bacbyaxcbyax, yx的垂直距離為至直線由點已知 l 表示通過定點 (2, 1) 的直線族。(a)試求 l 的方程。(b)若l 是 l 中的一條直線，且與原點的垂直距離為 單位，試求 l 的方程。5 8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線解：解：112)0()0(5 2kkk11445 22kkk0442 kk0)2( 2k052 01)2(22 yxyxl 的方程是因此，例例 8.238.8 直線族直線族已知 l 表示通過

18、定點 (2, 1) 的直線族。(a)試求 l 的方程。(b)若l 是 l 中的一條直線，且與原點的垂直距離為 單位，試求 l 的方程。5 2 k8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.8 直線族直線族通過兩直線的交點之直線族通過兩直線的交點之直線族8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線值變化時，可知當 k為實數其中， 0)()(222111kcybxakcybxa8.59 圖8.8 直線族直線族通過兩直線的交點之直線族通過兩直線的交點之直線族代表一通過 l1 與 l2的交點之直線族。8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線解：解：例例 8.24) 1.(.0)23()4(2 yxkyx設

19、所求的方程為8.8 直線族直線族，代入把 (1) 2) (1, (a)74 k02)2() 1 (34)2() 1 (2k，可得代入把 (1) 74 k0)23(74)42(yxyx 020326 yx試求一通過 l1 : 2x + y 4 = 0 與 l2 : 3x y +2 = 0 兩直線的交點，且分別滿足以下條件的直線之方程(a)通過點(1, 2)(b)斜率為218 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線解：解：0)42()1 ()32(kykxk13221 kk1k，可得代入把 (1) 1 k0620)23()42(yxyxyx例例 8.248.8 直線族直線族把 (1)改寫成直線方程的

20、一般式kk132 該直線的斜率試求一通過 l1 : 2x + y 4 = 0 與 l2 : 3x y +2 = 0 兩直線的交點，(a)通過點(1, 2)(b)斜率為218 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線利用等距關係，並利用等距關係，並通過距離公式建立通過距離公式建立方程方程。8.3 圖解：解：例例 8.18.2 兩點的距離兩點的距離pbpa 在 y 軸上，任意一點的 x 坐標都必定等於零。2222)10()20()7()30(mm1002044914922mmmm323466mm點的坐標試求兩點等距和且與軸上的一點，是已知 10) (2, 7) (3, pbayp) (0 m,p點的坐

21、標為設323 0, 點的坐標是因此，p8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線0) (3, )4 , 6( )3 , 1( 答案：點的坐標試求兩點等距和一點，且與軸的是已知pbaxp解：解：例例 8.1pbpa 在 y 軸上，任意一點的 x 坐標都必定等於零。2222)10()20()7()30(mm1002044914922mmmm8.2 兩點的距離兩點的距離點的坐標試求兩點等距和且與軸上的一點，是已知 10) (2, 7) (3, pbayp) (0 m,p點的坐標為設323 0, 點的坐標是因此，p466m323m8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.6(a) fig8.6(b)

22、圖4 5 2 : 1 )0 1 ( )8 , 7( ) ( nmnmab,pbnm,a，答案：的值和，試求的比內分以若點兩點和考慮例例 8.38.3 分點分點考慮 a (4,1) 和 b (7,5)兩點。若 p 點外分 ab 為 3 : 2，試求p 點的坐標。8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.18 圖在應用這公式時，四邊形在應用這公式時，四邊形的頂點必須按逆時針方向的頂點必須按逆時針方向排列。因此，先作一個四排列。因此，先作一個四邊形的草圖將有助解題。邊形的草圖將有助解題。例例 8.78.4 直線圖形的面積直線圖形的面積已知一 四邊形的頂點為 (2, 2) 、(1, 4) 、(4, 1)和(-2, 0)，試求該四邊形的面積。8 笛卡兒坐標系與直線笛卡兒坐標系與直線8.18 圖例例 8.78.4 直線圖形的面積直線圖形的面積