刚体的角动量转动惯量

1、前面引入了势能的概念，这为我们系统、全面研究机械前面引入了势能的概念，这为我们系统、全面研究机械能打下了基础。功能原理实际上是系统动能定理的变形。能打下了基础。功能原理实际上是系统动能定理的变形。 设一系统在外力作用下设一系统在外力作用下从状态从状态“1”1”变化到状态变化到状态“2” 2” 其动能从其动能从E Ek1k1变化到变化到E Ek2k2依动能定理依动能定理2F3F1F3m2m1m12F32F23F31F21F13F 功能原理、能量守恒定律功能原理、能量守恒定律Principle of Work and Energy. Law of Conservation of Energy系统内

2、力功系统内力功12kkEEAAA非保守内力保守内力外力保守内力的功等于系统势能增量的负值保守内力的功等于系统势能增量的负值 12势势势势保保守守内内力力EEA 系统的外力，尽管有保系统的外力，尽管有保守力、非保守力之分，但在守力、非保守力之分，但在所研究的系统内，相互作用的双方不在一个系统中，所研究的系统内，相互作用的双方不在一个系统中，从而不能构成系统势能。从而不能构成系统势能。1212)(kkppEEEEAA非保内力外力而非保守内力没有与之而非保守内力没有与之相应的势能改变。相应的势能改变。故有：故有：2F3F1F3m2m1m12F32F23F31F21F13F 12势势势势保守内力保守内

3、力EEA “同状态的量同状态的量”合并：合并：式中式中21EE ,分别为作功前后系统的机械能分别为作功前后系统的机械能12kkEEAAA非保守内力保守内力外力非保守内力外力AA)(12ppEE12kkEE非保守内力外力AA)(12kkEE)(12ppEE)()(1122pkpkEEEEAA非保守内力外力12EEAA非保守内力外力令令称为系统的机械能称为系统的机械能EEEpk式中式中21EE ,分别为作功前后系统的机械能分别为作功前后系统的机械能称为称为功能原理功能原理: :说明说明:1:1功能原理说明只有外力及非保守内力才功能原理说明只有外力及非保守内力才能改系统的机械能能改系统的机械能. .

4、功能原理功能原理: :当系统从状态当系统从状态11变化到状态变化到状态22时时, ,它的机械能的增量等于外力及非保守内力作它的机械能的增量等于外力及非保守内力作功之总和功之总和. .例例: :提高杠铃的机械能靠外力提高杠铃的机械能靠外力, ,而马达的停止而马达的停止转动是靠非保守内力转动是靠非保守内力-摩擦力摩擦力. .12EEAA非保守内力外力2 2、功能原理与动能原理并无本质差别功能原理与动能原理并无本质差别, ,区别在区别在于功能原理引入了势能概念于功能原理引入了势能概念, ,而无需计算保守而无需计算保守力的功力的功. .动能原理则应计算包括保守内力在内动能原理则应计算包括保守内力在内的

5、所有力的功的所有力的功. .3 3、推论推论：当：当0 非非保保守守内内力力外外力力AA时时12EE 或：或：1122pkpkEEEE 机械能守恒定律：如果系统内除了保守内力机械能守恒定律：如果系统内除了保守内力以外，其它外力及和非保守内力都不作功，以外，其它外力及和非保守内力都不作功，那么系统的动能、势能可以转化，但系统的那么系统的动能、势能可以转化，但系统的总机械能保持不变。总机械能保持不变。)(0 非保守内力非保守内力外力外力AA12EE 0 非保守内力非保守内力外力外力AA2 2、机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律的、机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律的特例。特例。能量守恒定律：能量不

6、能消灭，只能转化，能量守恒定律：能量不能消灭，只能转化，只能从一种形式向另一种形式转化。只能从一种形式向另一种形式转化。注意注意1 1、机械能守恒的条件：、机械能守恒的条件：守恒定律是由于对称性的结果守恒定律是由于对称性的结果近代物理证明近代物理证明守恒定律是由于对称性的结果守恒定律是由于对称性的结果。今后的物理学将从对称性出发介绍守恒定律。今后的物理学将从对称性出发介绍守恒定律。从某种意义上讲，守恒定律更重要。从某种意义上讲，守恒定律更重要。A A、自然界的一切过程都遵守守恒定律。每一守、自然界的一切过程都遵守守恒定律。每一守 恒定律的发展、推广和修正，在科学史上都恒定律的发展、推广和修正，

7、在科学史上都 曾对人类认识自然的过程起过巨大的推动曾对人类认识自然的过程起过巨大的推动 作用作用-守恒定律是寻找和发现新事物的守恒定律是寻找和发现新事物的 理论依据。理论依据。B B、凡违背守恒定律的过程都不能实现、凡违背守恒定律的过程都不能实现-守恒守恒 定律是判断一个工程过程能否实现的判据。定律是判断一个工程过程能否实现的判据。C C、守恒定律是解决实际问题的有力工具。、守恒定律是解决实际问题的有力工具。 如光与原子的作用，过程的细节相当杂，如光与原子的作用，过程的细节相当杂， 但可利用守恒定律加以研究。但可利用守恒定律加以研究。例例1 1、一条均匀链条，质量为、一条均匀链条，质量为m m

8、，总长，总长L L成直线状成直线状放在桌上，设桌面与链条之间的磨擦系数为放在桌上，设桌面与链条之间的磨擦系数为 。现已知链条下垂长度为现已知链条下垂长度为a a时，链条开始下滑，试时，链条开始下滑，试计算链条刚巧全部离开桌面时的速率。计算链条刚巧全部离开桌面时的速率。aal,已知：已知：v求：求：解：解：1 1）利用动能定理）利用动能定理v以链条为研究对象以链条为研究对象0212mvAAfW求重力的功：求重力的功：ygdydAW)/(lmNlaWgydyAxYygfavfmgxY求重力的功：求重力的功：ygdydAW)/(lmNlaWgydyA)(2122alg)(222allmg求摩擦力的功

9、：求摩擦力的功：0alfidxfA0alfdx0alxgdx2)(2alg2)(2allmgavfmgxY)/(lmN)(222allmgAW2)(2allmgAf0212mvAAfW代入动能定理：代入动能定理：)(222allmg2)(2allmg221mv)()(222alallgvavfmgxYlm/2)(2allmgAf12EEAf以链条和地球为研究对象：以链条和地球为研究对象：)2()(1alagglalE22212mvlmgE由功能由功能原理：原理：以地面为势能零点以地面为势能零点122)(2EEallmg)(al lavfmgxY)(lmN2)(2allmgAf12EEAflal

10、gE)(122212mvlmgE)()(222alallgv2)(2allmg)212(2mvlmg)2()(algalalg)2(algal概要：实际的物体运动不总是可以看成质点的概要：实际的物体运动不总是可以看成质点的运动。运动。在任何情况下形状和大小都不发生变化的力在任何情况下形状和大小都不发生变化的力学研究对象。即每个质元之间的距离无论运学研究对象。即每个质元之间的距离无论运动或受外力时都保持不变。动或受外力时都保持不变。( (形变和内部运形变和内部运动都可以忽略，突出物体的整体运动动都可以忽略，突出物体的整体运动) ) m mi i m mj ji jrc一、何谓刚体一、何谓刚体刚体

11、内任意两点的连线在运动刚体内任意两点的连线在运动各个时刻的位置都彼此平行。各个时刻的位置都彼此平行。刚体运动的两种基本形式刚体运动的两种基本形式1 1、平动、平动刚体平动时，其上各点具有相同的速度、加速度、及刚体平动时，其上各点具有相同的速度、加速度、及相同的轨迹。只要找到一点的运动规律，刚体的运动相同的轨迹。只要找到一点的运动规律，刚体的运动规律便全知道了。通常用质心的运动来代替整个刚体规律便全知道了。通常用质心的运动来代替整个刚体的平动。的平动。 刚体上各质元均绕同一条刚体上各质元均绕同一条固定的转轴做圆周运动。固定的转轴做圆周运动。2 2、刚体的定轴转动、刚体的定轴转动b.b.描述的物理

12、量描述的物理量 在自己的转动平面内作在自己的转动平面内作圆周运动圆周运动a.a.各点运动的特点各点运动的特点任一质点圆周运动的任一质点圆周运动的线量线量( (速度、加速度速度、加速度) )一般不同一般不同各质元相对位置不变，各质元相对位置不变，角量角量如角位移、角速度、角如角位移、角速度、角加速度加速度不变不变。一般运动一般运动 = (= (平动平动)+()+(转动转动) )原则原则: : 随某点随某点( (基点基点) )的平动的平动 + + 过该点的定轴转动过该点的定轴转动 基点任选（一般就选质心）。基点任选（一般就选质心）。3 3、刚体的一般运动、刚体的一般运动任一质点圆周运动的线量和角量

13、的关系任一质点圆周运动的线量和角量的关系22ntrarrdardt22020t2012tt匀变速转动常用公式匀变速转动常用公式刚体可以看作无数多质点的集合，刚体是一个质点系刚体可以看作无数多质点的集合，刚体是一个质点系, ,刚体的角动量应该等于各质元角动量的矢量和。刚体的角动量应该等于各质元角动量的矢量和。设有一以角速度设有一以角速度 绕绕OZOZ轴轴旋转的均匀细棒，旋转的均匀细棒，t t时刻时刻正好位于某平面内，现正好位于某平面内，现将棒分割成许多质元将棒分割成许多质元nimmmm21,O OZ Z m m i i iriviRiL二、二、 刚体的角动量及其沿定轴的分量刚体的角动量及其沿定轴

14、的分量先研究一个质元先研究一个质元im对对O O点的角动量点的角动量 m m i iiiiivrmLiriviL m m j j jLjvO OZ ZLjriRiv iriL的大小的大小iiniivrmL1故棒的总角动量故棒的总角动量 大小：大小：LiiiivrmL 方向如图，可见角动量不一定与方向如图，可见角动量不一定与Z Z轴方向相同。轴方向相同。ivO OZ Z m m i i iriL m m j j LizLiR但我们感兴趣的是研究定但我们感兴趣的是研究定轴转动，即要研究角动量轴转动，即要研究角动量在在Z Z轴的分量轴的分量izL)(2iiizzRmLLcosiiivrm故：故：co

15、siizLL2iiRm)(iiiiRRm则刚体对则刚体对Z Z轴的角动量轴的角动量JLz称为称为刚体对刚体对Z Z轴的转动惯量轴的转动惯量2iiRmJ令三、转动惯量的计算三、转动惯量的计算2iiRmJ233222211RmRmRmJz1m2m3m1R2R3R1 1、对质点系、对质点系M M对质量连续分布的刚体对质量连续分布的刚体则应无限分割则应无限分割niiinRmJ12limMdmR2dm为质元质量；为质元质量；R R为质元到转轴之间的垂直距离。为质元到转轴之间的垂直距离。imR R计算方法：计算方法：. .确定刚体的质量密度确定刚体的质量密度. . .建立坐标系，坐标原点为轴建立坐标系，坐

16、标原点为轴. . .确定质量元确定质量元dm.dm. .由定义计算由定义计算. .2 2、对质量连续的刚体、对质量连续的刚体例：求质量为例：求质量为m,m,长为长为L L的均匀细棒对下面三种的均匀细棒对下面三种 转轴的转动惯量：转轴的转动惯量：转轴通过棒的中心转轴通过棒的中心o o并与棒垂直并与棒垂直转轴通过棒的一端转轴通过棒的一端B B并与棒垂直并与棒垂直转轴通过棒上距质心为转轴通过棒上距质心为h h的一点的一点A A 并与棒垂直并与棒垂直h hO O质质B BA AX Xdxx已知：已知：L L、m m求：求：J JO O、J JB B、J JA A解：以棒中心为原点建立坐标解：以棒中心为

17、原点建立坐标OXOX、将棒分、将棒分割成许多质元割成许多质元dm.dm.dxdmLm/dm22222LLodxxdmxdmRJ求：求：J JO O2312112mLL求：求：J JB BdmxLdmRJB22)2(23313mLL2/2/2)2/(LLdxxLdxdmLm/h hO O质质B BA AX XdxxdmdmRJA2求求J JA ALhL23122/2/2)(LLdxxh22121mhmL dxdmLm/h hO O质质B BA AX Xdxxdm2mh222)()2(12131LmmLmLJJOB质心222)(121)121(mLmhmLJJOA质心或：或：2)2(LmJJcB2mhJJcA注意注意dxdmLm/h hO O质质B BA AX Xdxxdm平行轴定理平行轴定理：刚体对任一轴：刚体对任一轴A A的转动惯量的转动惯量J JA A和和通过质心并与通过质心并与A A轴平行的转轴平行的转动惯量动惯量J Jc c有如下关系：有如下关系：2mdJJCAm为刚体的质量、为刚体的质量、d为轴为轴A A与轴与轴C