高三数学平面向量知识点与题型总结文科

1、占八、一. 向量的根本概念与根本运算1、向量的概念： 向量：既有大小又有方向的量 向量不能比拟大小，但向量的模可以比拟大小. 零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行 单位向量：模为1个单位长度的向量 平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量uuur r uni rr uuu uju uuur2、 向量加法：设 AB a,BC b，贝U a + b = AB BC=AC(1) 0 a a 0 a ;(2)向量加法满足交换律与结合律；uuuuuuuuu uuuruuuuurABBCCDL PQQRAR，但这时必须“首尾相连.3、向

2、量的减法：相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向量向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)4、实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下：(I) a| I I |a ; (n )当 0时，入a的方向与a的方向相同；当0时，入a的方向与a的方向相反；当0时，a 0，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b = a6、平面向量的根本定理：如果e,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1

3、, 2使：a ©2佥，其中不共线的向量(2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二. 平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a可表示成a xf yj，记作a=(x,y)。2平面向量的坐标运算：r b%X1,y2X2,y1X2,X1y2UUU(2)假设 A Xi, yi , B X2, y2 ,那么 ABx?讨2 y艸rb% yX1 XX =( ra raa=(X2,y2x, y)，那么 abXiy2X2V10r b%X1>y2y1X1y2X2,假设 a b，那么 x1 x2 y1 y2 0三. 平面向量的数量积1两个向量的数量积：两个非零向量a与b，它们的夹角为

4、，那么a b=I a丨丨b i cos 叫做a与b的数量积或内积规定0 a 02向量的投影:rbr braTa R,称为向量br在a方向上的投影 投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a br等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：a a a2af5乘法公式成立:6平面向量数量积的运算律:r r交换律成立：a b b a 对实数的结合律成立：a b a b a b 分配律成立：a b c a c b c c a b特别注意：i结合律不成立：a b c a b c ；2消去律不成立abac不能得到b crr r r3 a b =0不能得到a=0或b =07两个向量的数量

5、积的坐标运算：rr两个向量 a x., y,b x2,y2，那么 a yy1800) 叫-r r uun r uuu rn8向量的夹角：两个非零向量 a与b，作OA=a,OB=b,那么/AOB= 00做向量a与b的夹角cos = cos a, ba ?b _x1 x2 y1 y2al?b 认2 y12 7x7_r r0r r0r当且仅当两个非零向量a与b同方向时，B =0,当且仅当a与b反方向时B =180，同时0与 其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题r ro r rr r9垂直：如果a与b的夹角为900那么称a与b垂直，记作a丄b10两个非零向量垂直的充要条件 ：a丄b a b = O%x

6、2 y1 y2 0+平面向量数量积的性质【练习题】1、给出以下命题： 两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；uuur uuur 假设A, B, C, D是不共线的四点，贝V AB = DC是四边形ABC助平行四边形的充要条件； 假设a与b同向，且| a|>| b|，那么a>b； 入，口为实数，假设Xa= b，那么a与b共线.其中假命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42 .设ao为单位向量，假设a为平面内的某个向量，那么a = | a| ao；假设a与ao平行，那么a= | a| ao；假设a与a。平行且|a| = 1,那么a= 上述命题中，假命题的个数是)A.0B. 1C

7、.2D. 33、设两个非零向量a与b不共线.uuuuuuuuu(1)假设 AB = a+ b,BC = 2a+ 8b,CD = 3( a b).求证：A, B,D三点共线;2试确定实数k，使ka+ b和a+ kb共线.uuur4、两点A4,1，B7，- 3，那么与AB同向的单位向量是uuiruuu uuur5、 在厶ABC中, M为边BC上任意一点，N为AM中点，AN = X AB + 口 AC，贝V入+ 口的值 为D. 16、 两个单位向量 e1，e2的夹角为，假设向量5 = e1 2e2，b2= 3e1 + 4e2，贝V A b2 =.7、|a| = 1，| b| = 2，a与b的夹角为1

8、20°，a+ b+ c= 0,那么a与c的夹角为A. 150°B. 90°C. 60°D. 30°8、 a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，假设向量 a+ b与向量ka b垂直，那么k=9、设向量 a, b 满足 | a| = 1, | a b| =, a (a b) = 0,那么 |2 a+ b| =()A. 2B. 2D. 4C. 410、向量 a= (sin x, 1) , b=.当a丄b时，求| a+ b|的值;(2)求函数f(x) = a - (b-a)的最小正周期.11、 f (x) = a b,其中 a = (2cosx, s

9、in2 x) , b= (cosx, 1)( x R).(1)求f(x)的周期和单调递减区间; 在厶ABC中，角A B, C的对边分别为 a, b, c, f(A) = 1,a=,uuuABuult AC = 3,求边长b和c的值(b>c).uun uuu12、如图，在 ABC中，OA a, OB b,M为OB的中点,N为AB的中点,uuuP为ON AM的交点，贝U AP等()21.ab3312.-ab332 1 A2 a bB33da 2bD3313.A ABC中，AB边的高为CD假设CB = a,uuuuuuCA = b, a buuur| a| = 1, |b| = 2,那么 AD

10、 =()a ba b14. (2021 郑州质检)假设向量a = (x 1,2),b= (4 , y)相互垂直，那么9x+ 3y的最小值为()B. 2A. 12C. 3D. 6UULuuu15. (2021 山西省四校联考)在厶 OABO 为原点)中，OA = (2cos a , 2s in a) , OB = (5cos p ,uuu uuu5sin p )，假设 OA Ob = 5,那么厶 OAE的面积 S=()C. 516、 假设a, b, c均为单位向量，且a b = 0, (a c) (b c) <0,那么| a+ b c|的最大值为().1B. 1 C.D . 217、 AB

11、C为等边三角形，AB= 2.设点P, Q满足=入，=(1 入),入尺假设=,那么 入=().18如图，平行四边形 ABC啲顶点A(0 , 0) , B4,1) , Q6,8)求顶点D的坐标；uuur uuur假设DE = 2 EC , F为AD的中点，求 AE与BF的交点I的坐标.【课后练习题】1. 以下等式： Oa = a;一一a = a; a+ a = 0; a+ 0a; a b= a+ b.正确的个数是A. 2B. 3C. 4D. 5解析：选C2. 2021 福州模拟假设 a + b+ c= 0,贝V a, b, cA. 都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B. 定不可能构成三角形C.

12、 都是非零向量时能构成三角形D. 定可构成三角形解析：选Auuu uuu uuu3. 2021 威海质检平面上不共线的四点 QA,B,C.假设OA + 2OC = 3OB，那么的值为解析：选A4. 2021 -海淀期末如图，正方形ABCD，点E是DC的中点，点F是BCuuurE的一个三等分点靠近B>,那么EF=()IuuuuuuruuuuuurABADAB +ADuuuuuuuuuruuujAB+ DAABADAB解析:选Duur uuu uuu5. 2021 -揭阳模拟点O为厶ABC外接圆的圆心，且 OA + OB + CO = 0,那么厶ABC的内 角A等于A. 30°B.

13、 60°C. 90°D. 120°解析：选Auur uuu uuu uuu6. ABC勺三个顶点A、B C及平面内一点 P满足PA + PB + PC = AB ,那么点P与厶ABC的关系为A. P在厶ABC内部B. P在厶ABC外部C. P在AB边所在直线上D. P是AC边的一个三等分点解析：选 Duuur uuur uuur7. (2021 郑州五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外, BC 2= 16, | AB + AC | uuur uuur uuuur=| AB Ac |，那么 | AM | =.答案： 2uuur uuur uuur uu

14、ur8. (2021 -大庆模拟)O为四边形ABC断在平面内一点，且向量 OA , OB , OC , OD满 uuur uuur uuur uuur足等式OA + OC = OB + OD，贝y四边形ABC啲形状为.答案：平行四边形 uuur uuur uuur9. 设向量 ei, e2不共线，Ab = 3( ei + e2), Cb = e2 ei, CD = 2ei + e2,给出以下结论： AB, C共线；A, B, D共线；B, C, D共线；A, C, D共线，其中所有正确结论的序号为 .答案：uuur uuur10. 设i , j分别是平面直角坐标系 Ox Oy正方向上的单位向量

15、，且 OA = 2i + nji, OB = ni uuur+j , OC = 5i j，假设点A, B, C在同一条直线上，且 m= 2n,求实数 m n的值.或7. 向量 a=, b= (x, 1)，其中 x>0,假设(a 2b) II (2a+ b)，贝V x=.答案： 48. P= a|a= ( 1,1) + m1,2) , mG R, Q= b|b = (1 , 2) + n(2,3) , n F是两个向量集合，那么Pn Q等于.答案：uuur uuur uuur9. 向量 OA = (1， 3), OB = (2 , 1) , OC = (k+ 1, k 2)，假设 A, B

16、, C三点能构成三角形，那么实数k应满足的条件是 .答案：k工110. A(1,1) ，B(3， 1)，C(a，b).(1) 假设A, B, C三点共线，求a, b的关系式；uuur uuur(2) 假设AC = 2 AB，求点C的坐标.(5 , 3) .11. a=(1,0) , b=(2,1) .求：(1) | a3b|；(2) 当 k 为何实数时, ka b 与 a3b 平行,平行时它们是同向还是反向？方向相反.uuuur uuur uuur12. O为坐标原点，A(0,2) , B(4,6) , OM = tQA + t?AB .(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;(2)求证：当ti= 1时，不管t2为何实数，A, B, M三点都共线.&向量 a，b 夹角为 45°，且 |a| = 1, |2a b| =，那么 | b| =.答案： 39向量a= (2 , 1) , b = (x, 2),c= (3 ,y)，假设 a/b,(a+ b)丄(b c),Mx,y),uuuurN(y，x) ，那么向量 MN 的模为 答案： 810. a= (1,2) , b= ( 2, n) , a与 b 的夹角是 45°.(1) 求 b;(2) 假设 c 与 b 同向 且 a 与 c a 垂直 求 c.c= b= ( 1,3).11