高中数学函数知识点详细

1、第 二 章函 数1、函数的概念：(1)定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数X，在集合B中都有唯一确定的数f(X)和它对应，那么就称f : AtB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x) , X A.其中，x叫做自变量,X的取值范围A叫做函数的定义域；与 X的值相对应的y值叫做函数值，函数值的 集合 f (X) | X A 叫做函数的值域.(2)函数的三要素： 定义域、值域、对应法那么(3)相同函数的判断方法：表达式相冋(与表示自变量和函数值的字母无关)；定义域一致(两点必须同时具备)2、定义域:(1) 定义域定义：函数f (x)的自变量

2、X的取值范围。(2) 确定函数定义域的原那么：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合 (3 )确定函数定义域的常见方法： 假设f(X)是整式，那么定义域为全体实数 假设f(x)是分式，那么定义域为使分母不为零的全体实数例：求函数y1 的定义域。 假设f(x)是偶次根式，那么定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1 .求函数 y33x 4的定义域。例2.求函数y2X2 1 X 1 0的定义域。 对数函数的真数必须大于零 指数、对数式的底必须大于零且不等于1 假设f(X)为复合函数，那么定义域由其中各根本函数的定义域组成的不等式组来确定 指数为零底不可以等于零，如X0 1(x 0) 实际问题中的函

3、数的定义域还要保证实际问题有意义(4)求抽象函数(复合函数)的定义域函数f (x)的定义域为0,1求f(x2)的定义域函数f (2x1)的定义域为0,1 )求f (13x)的定义域3、值域:(1)值域的定义：与x相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。(2) 确定值域的原那么：先求定义域(3) 常见根本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数(正余弦、正切)2af (x) bf (x) c 的此类问题一般也可以7. 22x 5函数y0 , y1 x2x 5的值域为 y | y 换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,域，形如y

4、ax b . cx d ( a、b、c、d均为常数，且a 0)从而求得原函数的值的函数常用此法求解。例：求函数y 2xJ 2x的值域。(4)确定函数值域的常见方法： 直接法：从自变量x的范围出发，推出 y f(x)的取值范围。例：求函数y /1的值域。解：、&0 ,、_ x 11 ,函数y 匸1的值域为1,)。 配方法：配方法是求“二次函数类值域的根本方法。形如F(x)函数的值域问题，均可使用配方法。例：求函数y x2 4x 2 ( x 1,1)的值域。2 2解：yx 4x 2 (x 2)6 , x 1,1,. x 2 3, 1 , 1 (x 2)293(x2)2 65, 3y5函数

5、yx2 4x 2 ( x 1,1)的值域为3,5 别离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用别离常数法, 利用反函数法。例:求函数y1的值域。2x515)77解:.y1x(2x221 22x52x52 2x 51 35当t,即x-时，ymax-，无最小值。2 84- 函数y 2x 72x的值域为(，一。'40，从而求得原函数的值域,形如a1x2b1xc1yra2x b2xC2( a1a2不同时为零)的函数的值域，常用此方法求解。例：求函数2 x-2x-的值域。x解：由y2x2 x x-变形得1(y 1)x2(y i)x y - 0，判别式法：把函数转化成关于 x的二次方程F(x,

6、 y) 0 ；通过方程有实数根，判别式1时，此方程无解;1 时， x R, (y 1)24(y i)(y -) 0，11解得函数x2 x -2 x的值域为y |1x值域为y|y 1y y2x -练习：求函数y的值域x4、函数的表示方法(1) 解析法、列表法、图象法(2) 求函数解析式的常见方法:换元法例:f(3x1)4x -,求f (x)的解析式例:假设f( 1)彳x,求 f (x)x 1x例:f(', X1)2x -,求 f (x).解方程组法例：设函数f(x)满足f(x)+2 f ( 1 ) = x ( x工0)，求f(x)函数解析式x一变：假设f (x)是定义在 R上的函数，f(

7、0) 1，并且对于任意实数x,y，总有f(x -) f(x)yy(2x y1),求 f(x)(令 x=0，y=2x)待定系数法例：f (x)是次函数，并且解：设f(x) kx b，那么k(kx b)k 2十k 或b2xff(x)k 2那么kkb bkf(x) b44 ，解得3故所求一次函数解析式配变量法b 1f(x)ff(x) 4x3 求 f(x)例：f(x1)xx2例：假设fC、X1)k2x kb31 或 f (x)b 4x 32x 32 ,求f (x)的解析式. x2.x,求 f (x). 特殊值代入法(取特殊值法)例：假设f(Xy)f(x) f(y),且 f(i) 2，求值個竺也f(1)

8、f(2)f(3)f (2005)f(2004)解：设x y那么f (0)f (x) x(2x x 1) 1例：设f (x)是R上的函数，且满足 f(0) 1并且对任意实数 x,y有f(x y)f (x) y(2x y 1)求f (x)的表达式即 f (x) x2 x 1或设x 0那么f ( y)f(0) y( y 1) 1 y( y 1) 利用给定的特性(奇偶性周期性)求解析式例：对 x R, f(x)满足 f(x) f(x 1),且当 x 1,0时，f (x)x2 2x求当x 9,10时f (x)的表达式.解析：f (x) f (x 1)，那么 f(x 1) f (x)那么 f(x 1) f

9、 (x 1), f (x) f (x 2) , T=25、分段函数(1) 定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数。(2) 注意：分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集；分段函数是一个函数，而不是几个函数；写分段函数定义域时，区间端点不重不漏。6、复合函数如果 y f(u),(u M),u g(x),(x A)那么 y fg(x)F(x),(xA),称为 f、g的复合函数。7、函数图象问题(1 )熟悉各种根本初等函数的图象11如：y 0, y c(c为常数)，y x，y -， y ， y x2xx(2 )图象变换0)个单位长

10、度yf (x a) f(x) b平移：yf (x)向右平移a(ayf(x)向上平移b(b0)个单位长度y对称:yf(x)关于x轴对称_y -f(x)yf (x)关于y轴对称y f( x)yf(x)关于原点对称一 y -f( x)翻折:yf(x),y f(x)注意：带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法，平方法，图象法课堂习题*1. 求以下函数的定义域：y】2 x15y ；1 (十|x 33V x 12. 设函数f (x)的定义域为0, 1，那么函数f (x2)的定义域为3. 假设函数f(x 1)的定义域为2, 3，那么函数f(2x 1)的定义域是4.函数f(x)x 2(x1)x2( 1 x

11、2)，假设 f(x)3，那么 x=2x(x 2)5.求以下函数的值域： y x2 2x 3 (x R)y x 、厂2xyx2 4x 5二.函数的性质1.函数的单调性(局部性质)(1)(2)增减函数和单调区间设函数y f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个 自变量Xi,X2，当& X2时，都有f(xj f(X2)，那么就说f (x)在区间D上是增 函数.区间D称为y f (x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1f(xj f(X2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y 减区间 注意：函数的单调性是函数的局部性质； 图

12、象的特点如果函数y f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数yx2时，都有f(x)的单调f(X)在这一(3)区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函 数的图象从左到右是下降的.函数单调区间与单调性的判定方法(重点)(A)定义法：02022任取 作差 变形 宀口定号X-I , X2 D,且 X1 X2 ;f (xj f (X2);(通常是因式分解和配方)；(即判断差f(xj f (x2)的正负)；下结论(指出函数 f(x)在给定的区间D上的单调性).(B) 图象法(从图象上看升降)(C) 复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u g(x)

13、, y f (u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.例：是否存在实数a使函数y f(x) loga(ax2 x)在闭区间2,4上是增函数？如 果存在，说明a可取哪些值；如果不存在，说明理由。解：当a >1时，为使函数y f(x) log a (ax2 只需 g(x) ax21x 一2ag(2) 4a当0<a<1时，x)在闭区间2,4上是增函数 x在闭区间2,4上是增函数，故1得a ，又由a >1，得a >10 2只需 g(x) ax2x 二 4 2a g(4)16a4为使函数y

14、 f(x) log a (ax2 x)在闭区间2,4上是增函数x在闭区间2,4上是减函数，故无解0综上，当a (1,)时，f (x) loga (ax2 x)在闭区间2,4上是增函数(D)常用结论函数y f (x)与函数y f (x)的单调性相反；函数f (x)与f (x) c(c为常数)具有相同的单调性；当c 0时，函数f (x)与cf(x)具有相同的单调性，c 0时，它们具有相反的单调性；1假设f (x) 0那么函数f (x)与具有相反的单调性；f(x)公共区间，增函数+增函数=增函数、减函数+减函数=减函数、 增函数-减函数=增函数、减函数-增函数=减函数假设f (x) 0, g(x)

15、0,且f (x)与g(x)都是增(或减)函数，那么f (x) g(x)也是增(或减)函数；假设f (x)0, g(x) 0,且f (x)与g(x)都是增(或减)函数，那么 f (x) g(x)也是增(或减)函数；n n假设f (x)0，且在定义域上是增函数， 那么.f (x)也是增函数，f n (x)(n 1)也是增函数。常见函数的单调性(一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数k八c、y x -(k 0)x(E)禾U用函数的单调性求函数的最值确定函数的定义域；将复合函数分解为根本的初等函数；分别判断其单调性；根据同 增异减判断2例：求函数f (x)在区间2,6上的最大值和最小值x 12. 函

16、数的奇偶性(整体性质)(1 )函数奇偶性定义一般地，对于函数f (x)的定义域D内的任意一个x，都有 x D ,且f ( x) f (x) (或 f( x) f (x),那么f (x)就叫做奇(或偶)函数.(2) 图象的特征偶函数的图象关于 y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.(3) 利用定义判断函数奇偶性的步骤：0首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；(2)确定f( X)f (x)与f( X) f (x)是否成立；0作出相应结论：假设 f( x) f (x)或f( x) f (x) 0，那么f (x)是偶函数； 假设 f ( x)f (x)或 f( x) f (x) 0，那么 f

17、(x)是奇函数.注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否 关于原点对称，假设不对称那么函数是非奇非偶函数假设对称，再根据定义判定；或由变式f( x) f (x) 0或b '1来判定；利用定理，或借助函数的图象判定f(x)(4 )函数奇偶性的重要结论具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称；f(x)、g(x)是定义域分别为 D1,D2的奇函数，那么在 D1 D2上，f (x) +g(x)是奇函数，f (x)?g(x)是偶函数。类似结论：奇奇=奇、奇X奇=偶、偶偶=禺、偶偶=偶 奇X偶=奇假设f (x)是具有奇偶性的单调函数，那么奇(偶) (反)的。假设f

18、 (x)的定义域关于原点对称，函数在正负对称区间上的单调性是相同G(x) f (x) f ( x)是奇函数。(f(x)那么F(x) f (x) f( x)是偶函数， F(x) G(x)假设f (x)既是奇函数又是偶函数，贝y 复合函数的奇偶性：内层是偶函数，贝y(不用死记硬背)内层是奇函数，外层是奇20 fg(x)是偶函数函数，那么外层是偶函数，那么f(x)y曰主y fg(x)是奇函数 y fg(x)是偶函数(5)函数奇偶性与单调性的关系奇函数在a.b上是增函数，在偶函数在a.b上是增函数，在 例：函数求不等式解：b, a上也是增函数; b, a上是减函数。旦古函数，且当 xy f (x)(x

19、0)是奇1f x(x)0的解集。(0,)时是增函数，假设f(1) 0，1f (1)0不等式可化为fx(x )f(1)，因为f (x)在x (0,)上递增，所以01x(x 2) 1得丄x，或x 0244又由f(x)是奇函数，它在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且 f( 1)f(1)0,fx(x综上，原不等式的解集是12) f( 1)，即有 x(x1-.17 亠 1. 17，或一44无解。0例：设奇函数f (x)在(0,)上为增函数，且f(1)0,那么不等式f(x)的解集为?解：由f(x)是奇函数得f(x) f( x)，所以 f(x) f( x)2f(x)0xf(x) 0 或 f(x)0 一

20、 xf (x)在(0,)上为增函数，故f (x)在(，0)上为增函数0知 f( 1)00可化为f(x) f(1)得0 x 1，同理x 0即x由奇函数由 f(1)f(x)x 0f(x) 0可化为f(x)f(1)得 1 x 0x 0x0解集为 1 x 00 x13.函数的周期性(1)周期函数的定义假设函数f(x)对于定义域中任意x ,存在不为零的常数 T,使得f(x T) f(x)恒成立，贝y f (x)为周期函数，T为f (x)的周期(2 )有关周期性的一些结论假设f(x)的周期为T,那么n T( n Z,n 0)也是f(x)的周期假设周期函数的周期 T是所有正周期中最小的，那么T为f(x)的最

21、小正周期1假设函数 f (x)满足 f(x a) f (x)(a0), f(x a)(a 0),f (x)1f (x a)(a 0)，贝U f (x)比以2a为周期，反之不成立。f (x)证明提示：令 x =x a ；令x x a ；令x x a。(3) 函数的对称性满足条件f (x a) f (b x)的函数的图象关于直线 x对称；假设满足f (x a)f (b x)的函数的图象关于点(a b(_2-,0)对称点(x, y)关于y轴的对称点为 (x, y)，函数y y f( x)点(x, y)关于x轴的对称点为 (x, y)，函数y yf (x)(x,y)关于原点的对称点为 (x, y)，函

22、数y yf( x)f (x)关于y轴的对称曲线方程为f (x)关于x轴的对称曲线方程为f (x)关于y轴的对称曲线方程为函数y f (x a)与函数yf (b x)关于直线x对称。注意：f(x a) f (b x)，对称轴求法:y f (x a)与y f(b x)的对称轴求法：a x b x, x*课堂习题*1.函数f (x 1) x2 4x ,求函数f(x), f(2x 1)的解析式2.函数f(x)满足2f(x) f( x) 3x 4,那么 f (x) =3.设f(x)是R上的奇函数，且当x 0,)时，f(x) x(1 喝,那么当x (,0)时f(x> =f (x)在R上的解析式为 4

23、.求以下函数的单调区间： y x2 2x 3 yx2 2x 3 y x2 6x 15.判断函数x31的单调性并证明你的结论.6.设函数fx匚4判断它的奇偶性并且求证：f fx.1 x三、一次函数略与二次函数函数应用中有提及1、二次函数的定义及表达式1定义：函数y ax2 bx ca 0叫做二次函数，它的定义域是R2 表达式：一般式、顶点式、两根式2、二次函数的图象与性质1图象：抛物线：开口方向、对称轴、顶点坐标；2性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、最大值最小值。3、二次函数在闭区间上的最值分情况讨论对称轴与闭区间的位置关系4、一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系判别式b2 4ac>0=0<0二次函数y ax2 bx c a 0的图象一兀二次方程 ax2 bx c 0 a 0的根有两不等实根b Jb2 4acXiX2a(人 x2)有两相等实根fb X X1 X22a没有实根元 二次 不等 式的 解集ax2 bx c 0 (a 0) xx