高中数学复习全套

1、一 定义集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。二集合的抽象表示形式用大写字母A, B, C 表示集合；用小写字母 三元素与集合的关系有属于，不属于关系两种。元素a属于集合a, b, c 表示兀素。A,记作a元素a不属于集合A,记作a A。四几种集合的命名有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合；空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用 自然数集：N;正整数集：N或N+;整数集： 有理数集：Q;实数集：R五集合的表示方法一列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，例如：a,b,c。注意：但凡

2、以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。二描述法：有以下两种描述方式1 .代号描述：表示;Z2【例】方程x 3x+2=0的所有解组成的集合，可表示为x|x2 -3x+2=0。x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。2 文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。 【例】大于2小于5的整数;描述法表示的集合一旦出现， 也就说要判断元素到底是什么。三韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关 系。首先需要分析元素的意义,1 子集：如果属于 A的所有元素都属于 B, 子集，记作：A B，如图1-1所示。子集有两种极限情况：1

3、当A成为空集时，2当A和B相等时，那么A就叫做A仍为B的子集;A仍为B的子集。真子集：如果所有属于 A的元素都属于 B,而且E中至少有一个元素不属于A,那么A叫做B的真子集，记作A? B或A真子集也是子集，和子集的区别之处在于A B。对于同一个集合，其真子集的个数比子集少一个。1求子集或真子集的个数，由n各元素组成的集合，有2n个子集，有2n -1个真子集；2空集的考查：但凡提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是空集，A B的等价形式主要有：ABA, ABB。2交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作A B ,读作A交B,如图1-2所示。图1-2图1-

4、3图1-43并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作A B，读作A并B,如图1-3所示。4补集：由所有不属于A的元素组成的集合，叫做A在全集U中的补集，记作CUA ,读作A补，如图1-4所示。德摩根公式：CuAI B Cu AUCu B;CuAU B CU A I CU B .四区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭 区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】2，3，2,3 ，2,3 ，2，3.第二章函数映射与函数的根本概念A集合中的每个元素按照某种对应法那么在B集合中都能找到唯一的

5、元素和它对应，这种对应关系叫做从 A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相应元素叫做象。在A到B的映射中，从 A中元素到B中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。图2-1是映射图2-2是映射图2-3不是映射I 求映射或映射的个数，m个元素的集合到n个元素的集合的映射的个数是 nm。n判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。(二) 函数的概念定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x按照对应法那么f对应的函数值为f(x) 函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格 表示函数。函数三要素：定义域 A: x取值范围组成的集合。值域B: y取

6、值范围组成的集合。对应法那么f : y与x的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式图2-4函数与普通映射的区别在于：(1) 两个集合必须是数集；不能有剩余的象，即每个函数值 y 都能找到相应的自变量 x与其对应。定义域题型(一) 具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式直接考查：主要考解不等式。利用：在TTx)中f(x) 0 ；在g凶中，f(x) 0 ；过f(x)在 lo9a f(x)中，f(x) 0 ；在 tan f(x)中，f(x) k ；在 f°(x)中，f(x) 0 ； 2在ax与logaX中a 0且a 1，列不等式求解。(二) 抽象函数：只要对应法那么相同

7、，括号里整体的取值范围就完全相同。三值域题型(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段。常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。解题步骤：(1)换元变形；(三)分式函数求值域(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围; 画图像，定区间，截段。:四种题型(1)cxdaxb(cxd /(xaxb的范围。2x23x6x2x(2x1)(xyCa 0):那么 y 且 y R。a2):利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式12)(2x 1)(3x 1)3x 12那么y寸且丫 1且y R。求y2x 1

8、的值域，R时，用判别式法x x 1当x求值域。2x12(y 2)x y 1 0,x2x 1yx(y22) 4y(y1) 0值域四 不可变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。判断单调性的方法： 选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性局部知识讲解。五原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反 函数定义域。六值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形 式表示的值域与值域对照求字母取值或范围。四函数运算法那么一指数运算法那么mna am n amna am nam、n(a )mn

9、am ma b(ab)m运用指数运算法那么，一般从右往左变形。二 对数运算法那么loga b同底公式：ab loga MlogaN loga(MN) loga Mloga N loga MN log a M nn叽M运用对数运算法那么，冋底的情况，一般从右往左变形。不同底公式：loga Nlogm N logma logam b> n |-logab mg b1logb a运用对数运算法那么，不同底的情况，先变成同底。五函数解析式一换元法：女口 f2x + 3=x+ 3x + 5 ，求 f3-7x，设 2x + 3=3-7t。1 i二构造法：如 fx - x2，求 fx。xx三 待定系数

10、法：通过图像求出y=Asin w x + + C中系数四递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。六常规函数的图像常规函数图像主要有:指数函数：逆时针旋转, 底数越来越大对数函数：逆时针旋转, 底数越来越小幕函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。七函数的单调性(一) 定义：在给定区间范围内，如果 x越大y越大，那么原函数为增函数；如果 x越 大y越小，那么原函数为减函数。(二) 单调性题型：1. 求单调性区间：先找到最根本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间。复合函数法:0为增函数，f (x)0为减函数2当 0 &l

11、t; x <1 时，x f, x f2. 判断单调性(1).求导函数：f(X)(2) .利用定义：设X1<X<X2，比拟f(x 1)与f(x 2)大小，把f(x1) f(x2)因式分解，看正负。(3) .原反函数：具有相同的单调性，一个函数具有反函数的前提条件是它具有严格的单调性。3. 利用函数单调性：(1) .求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，截断。(2) .比拟函数值的大小：画图看(3) .解不等式：利用以下根本结论列不等式，解不等式。增函数 x-ix2f (x1)f(x2)或 f(xjf(x2)X|x2减函数 x-1x2f (x1)f (x2)或 f (x-i)f

12、 (x2)x(x2(4) .求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。八函数的奇偶性f (x),那么 f (x)为(一)定义：如果f( x) f (x),那么f (x)为偶函数；如果f( x)奇函数。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。(二) 奇偶性题型：1. 判断奇偶性：(1) .先看定义域是否关于原点对称，再比拟 f(x)与f(-x)正负(2) .看图像对称性：关于 y轴对称为偶，关于原点对称为奇(3) .原、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数。2. 利用奇偶性：(1) .利用公式：f(-x)=- f(x) ，f(-x)= f(x)，计算或求解析式(2)

13、 .利用复合函数奇偶性结论：F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇F(x)=f(x)+g(x) F(-x)=-f(x)+g(x),3.奇偶函数图像的对称性 偶函数：关于y轴对称那么f(x)关于x奇函数：关于原点对称贝U f(x)关于点(，当f(x)为奇两式相加可以消去g(x)为偶时，代入f(x),假设 f (a x) f (ba b对称2假设 f (a x) f (b-_b , m)对称2-x得：两式相减可以消去 g(x),x),x) 2m,从而解决问题。九函数的周期性(一) 定义：T为f (x)周期假设f (x T) f (x)，那么f (x)为周期函数,(二) 周期性考点

14、：1. 求周期：(1) .利用f(x)=f(T + x)列出方程解出T =(2) .把所给函数化为y=Asin( w x + © ) + C标准形式，直接读出周期2. 利用周期性：利用公式f(x)=f(T + x)(1) .求解析式(2) .求函数值十函数图像的对称性a b，那么f(x)关于(，m)对称(一)一个图关于点对称： r (I)奇函数关于原点对称.(n )假设 f(a+x) + f(b_x)=2m(二) 一个图关于直线对称：( I )偶函数关于y轴对称(n ) f (a x) f (b x)，那么 f(x)关于 x -对称2(三) 两个图关于点对称( I ) y f (x)

15、关于原点对称的函数：xt-x ,厂-y ,y即-y=f(-x)二n ) y f (x)关于(a,b)对称的函数：x 2a x, y 2b y 即 2b y f (2a x)(四) 两个图关于线对称r ( I )原函数与反函数：关于 y=x对称( n )y= f(x) 关于y=x + c 对称的函数： xty-c , y+c,即 x+c= f( y-c )( 川)y= f(x) 关于y= -x+c对称的函数：xt-y+c,y t-x+c ,J 即-x+c= f( -y+c )(IV) f(x)与f( -x )关于 y轴对f(a+x)与f(b -x)关于b a x 对称2I (v )f(x)与-f

16、( x)关于x轴对称十一原函数与反函数反函数反映了两个函数之间的关系有两方面考点：求反函数，禾U用原函数与反函数关系解题。(一) 求反函数：先反表示，再x, y互换；或先x, y互换再反表示。一个函数有反函数的前提条件是在整个定义域内具有严格的单调性。(二) 禾U用原函数反函数的关系解题：原函数或反函数情况求反函数或原函数情况时，往往不用求反函数可依据以下结论解题。1. 定义域、值域：原函数自变量等价于反函数函数值，原函数函数值等价于反函数自变量；原函数定义域等价于反函数值域，原函数值域等价于反函数定义域。2单调性：原函数与反函数具有相同的单调性3奇偶性：奇函数反函数是奇函数，偶函数没有反函数

17、。4对称性：原函数与反函数图像关于y x对称，原函数与反函数交点一定在 y x上。不等式一 不等式的证明证明不等式选择方法的程序： 做差：证明不等式首选不等式，做差的本质是因式分解，能否使用做差法取决于做差后能否因式分解； 作比：通过构造同底或同指数合并作比结果，再利用指对数图像判断大于小于1; 用公式：构造公式形式；等价变形：左右两边n次方；平方平均?算术平均?几何平均?调和平均(a、b为正数)：b时取等30bC电n3a1 a2 a3 , a b a b a b (ab 0时,取等) 等价变形：不能直接做差、做比、用公式的先等价变形在做差、做比、用公式证明, 后面的方法都是特殊的等价变形方法

18、； 逆代：把数换成字母； 换元：均值换元或三角换元； 放缩：放大或缩小成一个恰好可以化简的形式； 反证：条件比拟复杂，结论比拟简洁时，把结论的相反情况当成条件反证； 函数求值域：共有四种方法：见函数值域局部； 几何意义：斜率，截距，距离；数学归纳法：适合数列不等式。二不等式的解法一有理不等式1.一次不等式：ax b解一次不等式主要考察讨论系数大于零小于零等于零的三种情况。2. 二次不等式：ax2 bx c 0两根之内或两根之外，主要考查根与系数的关系。3. 高次不等式：序轴标根法二绝对值不等式、无理不等式、分式不等式 先变形成有理不等式，再求解。绝对值不等式： 当a> 0时，有2x ax

19、2aa x a.2x a x2 ax a 或 xa .无理不等式： Jf(x)Vgf(x) 0 g(x) 0.f(x) g(x)帀g(x)f(x) 0g(x) 0或2f(x) g(x)f(x) 0g(x) 0(3) Jf(X)g(x)f(x) 0g(x) 0f(x) g(x)2三指数不等式对数不等式不等号两边同时取指数或同时取对数，变成相同的形式后，再换元成有理不等式求解。当a 1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)；f(x)0lOgaf(x)iogag(x)g(x)0f(x)g(x)当0 a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)；f(x)0logaf(x) logag(x)g(x)0

20、f(x)g(x)三线性规划线性规划，出题现象如下：xy1,El设变量x, y满足约束条件xyh那么目标函数z 4x3x y3,A.4B.11C.12D.14y的最大值为解题步骤：1把不等式组中的一次式看成直线，在平面直角坐标系中画直线, 标明直线序号2依据以下结论确定平面区域：y fx是点在直线上方包括直线y fx是点在直线下方包括直线；y f x是点在直线上方不包括直线y fx是点在直线下方不包括直线3确定目标函数函数值的几何意义4假设目标函数值z表示截距，在区域内平移目标函数直线，找出使截距取最大值和最小值 的端点，求出端点坐标代入目标函数，得出z的最值。假设目标函数z表示距离或者距离的平

21、方，精 确作图，在图像中直接观察距离的最大值与最小值相当于是点与点的距离还是点与直线的距离，用距 离公式直接求最值。假设目标函数z表示斜率，精确画图，利用求斜率取值范围结论，求最值。导数导数的概念一导数的定义1.导数的原始定义：设函数y f x在x xo处附近有定义，如果x0时，y与x 的比Y (也叫函数的平均变化率)有极限即y无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫xx做函数y f (x)在XXo处的导数，记作y/ x x,，即f/(X。)lim丄©x)丄°x ox2导函数的定义：如果函数y f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数， 此时对于每 一个x (a,b)，都

22、对应着一个确定的导数 f/(x)，从而构成了一个新的函数 f/(x),称这 个函数f/(x)为函数y f (x)在开区间内的导函数，简称导数。(二)导数的实际意义：1. 导数的几何意义：(X。)是曲线y f (x)上点(Xo,f(x。)处的切线的斜率+因此，如果y f(x)在点X。可导，那么曲线y f (x)在点(xo,f(x。)处的切线方程为 y f(x。)f /(xo)(x x。).2. 导数的物理意义：导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。(三) 概念局部题型：1.利用定义求函数y f (x)的导数主要有三个步骤：(1)求函数的改变量y f(xX)f (x) +(2)求平均

23、变化率-y f(x x)f(x)4limx o取极限，得导数y/ = f (X)2. 利用导数的实际意义解题主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考试重点为求切线方程。导数的运算(一) 常见函数的导数1. co2 . (x )nx3 . (ex)ex4 . (ax) axlnac 15 . (ln x)-.(lOg ax) -lOg ax.(sinx) cosx.(cosx) sinx(二)导数的四那么运算.和差：(u V)u V2.积：(uv)u v uv.商：(u)u v uv213(三) 复合函数的导数：1运算法那么复合函数导数的运算法那么为:f g(x) f (g) g (x)2. 复合函

24、数的求导的方法和步骤：求复合函数的导数一定要抓住“中间变量这一关键环节，然后应用法那么，由外向里一层层求导，注意不要漏层。求复合函数的导数的方法步骤：(1) 分清复合函数的复合关系，选好中间变量(2) 运用复合函数求导法那么求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求 导数(3) 根据根本函数的导数公式及导数的运算法那么求出各函数的导数，并把中间变量换成 自变量的函数 三导数的应用(一)利用导数判断函数单调性及求解单调区间。1. 导数和函数单调性的关系：(1) 假设f (x)>0在(a，b)上恒成立，那么f(x)在(a，b)上是增函数，f (x)>0的解集与定 义域的交集的

25、对应区间为增区间；(2) 假设f (x)<0在(a, b)上恒成立，那么f(x)在(a, b)上是减函数，f (x)<0的解集与定 义域的交集的对应区间为减区间。2. 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： 确定f (x)的定义域； 计算导数f/(x)； 求出f/ (x)0的根； 用(x)0的根将f(x)的定义域分成假设干个区间，列表考察这假设干个区间内f/(x)的符号，进而确定f(x)的单调区间：f (x)>0，贝y f(x)在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f (x)<0，贝y f (x)在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。(二) 利用导数求解函数极值与

26、最值。1. 极值与最值的定义：(1) 极大值：一般地，设函数f(x)在点X。附近有定义，如果对 X。附近的所有的点，都有f(x) V f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作 y极大值=f(x 0) , xo是极大值点+(2) 极小值：一般地，设函数 f(x)在xo附近有定义，如果对xo附近的所有的点，都有f(x) > f(x o)就说f(x o)是函数f(x)的一个极小值，记作 y极小值=f(x o) , xo是极小值点.(3) 函数的最大值和最小值：在闭区间a,b上连续的函数f (x)在a,b上必有最大值与 最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。2.

27、 极值的性质：(1) 极值是一个局部概念.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比拟是最大或最小+并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小(2) 函数的极值不是唯一的+即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不 止一个.(3) 极大值与极小值之间无确定的大小关系+即一个函数的极大值未必大于极小值。(4) 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点+3. 判别f(xo)是极大、极小值的方法：假设X。满足f (Xo) o ,且在X。的两侧f (x)的导数异号，那么 X。是f (x)的极值点，f

28、(xo)是极值，并且如果 f (x)在Xo两侧满足“左正右负，那么Xo是f (X)的极大值点，f(Xo)是极大值；如果f(X)在Xo两侧满足“左负右正，那么Xo是f (X)的极小值点，f(Xo) 是极小值.4. 求函数f (x)的极值的步骤:(1) 确定函数的定义区间，求导数f' (x) *(2) 求方程f ' (x)=o的根.(3) 用函数的导数为o的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，并列成表格检查f' (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都

29、为负，那么f(x)在这个根处无极值5. 利用导数求函数的最值步骤 ：求f (X)在(a, b)内的极值；将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比拟得出函数f (x)在a,b上的最值.(三) 利用导数求解证明不等式：主要方法为将不等式t(x) g(x)左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数f(x) t(x) g(x)，通过对f(x)求导，根据f (x)的大小和导数的性质，结合条件进行求解或证明。四 定积分与微积分根本原理 ( 理科考查，文科不考查 )(一) 曲边梯形面积与定积分1定积分定义：设函数 f(x)在a,b上有界(通常指有最大值和最小值)，在a与b之间任 意插入 n 1个分点

30、，a x0 x1 x2 L xn 1 xn b ， 将 区 间 a,b 分 成 n 个 小 区 间xi 1,xi i 1,2,L ,n ，记每个小区间的长度为xixi xi 1 i 1,2,L ,n ，在x i,x 上任取一点Z i,作函数值f ,与小区间长度 Xi的乘积nf ixi i 1,2,L ,n ，并求和 s f i xii1那么该定值便称为bf(x)dxanlim0f ( i ) xii1记入=max Xi ； i 1,2, L ,n,如果当入->0时,和s总是趋向于一个定值b函数f (x)在a,b上的定积分，记为 f(x)dx，即an其中， f( ) X称为函数f(x)在区

31、间a,b的积分和.i12、定积分的几何意义f (x) 、直线 x a 、直线b定积分f(x)dx在几何上，当f (x) 0时,表示由曲线 yax b与x轴所围成的曲边梯形的面积； 当f(x) 0时，表示由曲线y f (x)、直线x a、 直线x b与x轴所围成的曲边梯形的面积的负值；一般情况下，表示介于曲线y f(x)、两条直线 x a、 x b 与 x 轴之间的个局部面积的代数和(二)微积分根本定理1、根本定理假设函数f(x)在a,b上连续，且存在原函数F(x)，即F x f x ,x a,b，那么fb在 a,b 上可积，且 f x dx F b F a . 这称为牛顿一莱布尼茨公式，它也常

32、写成、常用的不定积分公式：1.0dx C2. 1x dxx11 C(3.1dx ln x C4.x1xa dxaIn aC ( a 05.exdx ex C6.sin xdxcosxC7.cosxdx sin xC8.sec xdx tan xC9.csc2 xdxcotx C10.secxtanxdx secx C12.cscx cot xdxcscx C1)b aa 1)bf x dx F xa13.丁丄于dx1 x2arcs in x Carccosx C14.12 dx arcta n x C arccot x C1 x2本节主要考察利用积分的公式熟练的计算。复数复数的概念1. 虚数单

33、位i :(1) 它的平方等于-1，即i2(2)实数可以与它进行四那么运算，进行四那么运算时,2. i与一1的关系：i就是一1的一个平方根， 另一个根是i3. i 的周期性：i4n+1=i, i 4n+2=-1,原有加、乘运算律仍然成立即方程x2= 1的一个根，方程x2= 1的4.复数的定义：形如a bi(a,b全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 4n+3.i =-i,4n .i =1+R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部*C表示*+5.复数的代数形式：复数通常用字母 z表示，即z a bi(a,b R)，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式6. 复数与实数、虚数、纯虚数及

34、0的关系：对于复数 a bi(a,b R)，当且仅当b=0时，复数a+bi (a> b R)是实数a；当b 0时，复数z=a+bi叫做虚数；当 a=0且b0时， z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数07. 复数集与其它数集之间的关系：年卒隼乍C二复数与复平面1. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚局部别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：如果 a, b, c, d R,那么 a+bi =c+dia=c, b=d.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比拟大小.如果两个复数都是实数，就可以比拟大小.也只有当两个复数全是实数时才能比拟大小.2. 复平面、实轴、虚

35、轴：Z(a , b)点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b R)可用点 ： Z(a, b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚*实轴上的点都表示实数.。对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0 , 0),它所确定的复数是z=0+0i =0表示是实数 故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数+复数集C和复平面内所有的点所成的集合是对应关系，即复数z a bi一一对应复平面内的点Z(a, b)这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应这就是复数的一种几何意义也就是复数

36、的另一种表示方法，即几何表示方法三复数的运算1 .复数 Z1 与 Z2的和的定义：乙 +z2=(a+bi)+(c+di )=(a+c)+(b+d)i2. 复数 Z1 与 Z2的差的定义：zZ2=(a+bi)-(c+di )=(a- c)+(b-d)i3. 复数的加法运算满足交换律：Z1+Z2=Z2+Z14. 复数的加法运算满足结合律:(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3).5. 乘法运算规那么：设 Z1=a+bi , Z2=c+di(a、b、c、d R)是任意两个复数，那么它们的 积(a+bi)( c+di )=( ac- bd)+( bc+ad) i其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式

37、相乘，在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚局部别合并两个复数的积仍然是一个复数6. 乘法运算律：(1) z 1(z 2Z3) = (Z 1Z2)Z 3 ； (2)z 1(z 2 + Z3)=Z 亿2+Z1Z3；(3) Z1(Z2+Z3)=ZZ+Z1Z37. 除法运算规那么：abi(abi)(cdi)ac bdbcad.2 2 2 2 icdi(cdi)(cdi)cdcd8.共轭复数：当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数复数z=a+bi和z=a- bi( a、b R)互为共轭复数四复数的几何意义uuuruuur1. 复

38、数加法的几何意义：如果复数zi, Z2分别对应于向量 op、OF2，那么，以0P、OP为两边作平行四边形UUUOPSP,对角线OS表示的向量OS就是Z1+Z2的和所对应的向量2. 复数减法的几何意义：两个复数的差z zi与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应uuu 23复数的模：|z|a bi|OZ| , a2 b2第六章概率一 事件一、在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象叫做确定性现象二、在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象叫做随机现象三、必然会发生的事件叫做必然事件；肯定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下，可能发生

39、，也可能不发生的事件，叫做随机事件二概率在相同条件下，随着试验次数的增多，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳 定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。1. 概率：一般地，如果随机事件 A在n次试验中发生了 m次，当试验的次数n很大时,我们可以将发生的频率2.概率的性质：作为事件A发生的概率的近似值，即n随机事件的概率为 0 PA 1,和表示，必然事件的概率必然事件和不可能事件看作随机事件的两个特例，分别用为1，不可能事件的概率为0，即P 1 , P 0;3. 1频率的稳定性即大量重复试验时，任何结果事件出现的频率尽管是随机的，却“稳定在某一个常

40、数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越 小，这一常数就成为该事件的概率；2“频率和“概率这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机 事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数， 它反映了随机事件的属性.1. 随机事件的概率：我们已经学习用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在01之间的一个数，将这个事件记为A，用P A表示事件 A发生的概率三古典概型1、 根本领件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个根本领件.2、等可能根本领件：假设在一次试验中，每个根本领件发生的可能性都相同，那么称这些 根本领件为等可能

41、根本领件。3、如果一个随机试验满足：(1)试验中所有可能出现的根本领件只有有限个;(2 )每个根本领件的发生都是等可能的；那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型.4、古典概型的概率：如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能根本领件发生的概率都是如果某个事件A包含了其中m个等可能根本领件，那么事件A发生的概率为p(A) m .n5、古典概型解题步骤：阅读题目，搜集信息；判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；求出根本领件总数 n和事件A所包含的结果数 m；用公式P(A) m求出概率并下结论.n四几何概型1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个根本领件理解为从某个特定的几何区

42、域内随机地取一点， 该区域中每一点被取到的时机都一样；而一个随机事件的发生那么理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点. 这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.2 .几何概型的根本特点：(1) 试验中所有可能出现的结果(根本领件)有无限多个；(2) 每个根本领件出现的可能性相等.3 .几何概型的概率：一般地，在几何区域 D中随机地取一点，记事件"该点落在其内部一个区域d内"为事件A，那么事件A发生的概率P(A)d的测度D的测度说明：(1) D的测度不为0 ；(2) 其中"测度"的意义依D确定，当D分别是线段

43、，平面图形，立体图形时，相应的"测度"分别是长度，面积和体积.(3) 区域为"开区域"；(4) 区域 D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部 分的可能性大小只与该局部的测度成正比而与其形状位置无关.第十八章 计数原理(理科)分类、分步原理(一)分类原理：N mb m2 L mn.分类原理题型比拟杂乱，须累积现象。几种常见的现象有：1 开关现象:要根据开启或闭合开关的个数分类2数图形个数:根据图形是由几个单一图形组合而成进行分类求情况数3. 球赛得分：根据胜或负场次进行分类二分步原理：N mb m2 L mn.两种典型现象：1 .

44、涂颜色1平面图涂颜色：先涂接触区域最多的一块2立体图涂颜色：先涂具有同一顶点的几个平面，其他平面每步涂法分类列举2. 映射按步骤用A集合的每一个元素到B集合里选一个元素，可以重复选。二排列组合一常规题型求情况数1. 直接法：先排选特殊元素，再排选一般元素。捆绑法，插空法。2间接法：先算总情况数，再排除不符合条件的情况数。二七种常考非常规现象1小数量事件需要分类列举：凡不可使用公式且估计情况数较少，要分类一一列举例1,例22. 相同元素的排列：用组合数公式选出位置把相同元素放进去，不用排顺序例3例43 .有序元素的排列：用组合数公式选出位置把有序元素放进去，不用排顺序例5例64. 剩余元素分配：

45、有互不相同的剩余元素需要分配时，用隔板法。例7例85. 迈步与网格现象:例9例10要看一共走几步，把特殊的几步选出来，有几种选法就有几种情况6. 立体几何与解析几何现象：多数用排除法求情况数例117. 平均分组现象:例12例13先用分步原理选出每一组的元素，再除以因为平均分组算重复的倍数，平均分n组，就除以An, 有几套平均分组就除几个A三排列数，组合数公式运算的考察1.排列数公式Am = n(n 1)(n m 1)=( n , m N，且 m n).(n m)!注:规定0!1.排列恒等式(1)A(n m1)Am1;AnAm ;Jn mn 1、Am 1nAn 1 ；nA；An 1 n 1A：;

46、A?1atmAm1.1!2 2! 33! L n2.n! (n 1)! 1.3. 组合数公式cmA _ n(n 1) (n m 1) _=乔_n! m!(n m)!(n N, m N，且 m n).4. 组合数的两个性质(1) cm=c；m1=Cnm1.注：规定c05.i组合恒等式n m 1厂 m n n cm ;cn 1 ;n mncm 1 n 1 ;mcmcmcmnCnr=2n；r 0c；C；1Crr2c；cn;.c0CnC1CcnC；2n135亠0 亠2亠4亠n 1CnCnCnCnCnCn2(8)c1Cn2C2 3C；nC：n2n 1.(9)CmCn0cm1c1cmrc；Cm n .10

47、Q2(C：)2(Cn)2(c：)2C2；n6.排列数与组合数的关系mmAnm! Cn .二项式定理一公式r n r rCna bCna0bn1. 二项式定理：a bn C0anb0 C,an 1b展开式具有以下特点： 项数：共有n 1项； 系数：依次为组合数c0,c；,c2， ,cn, ,cn； 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.2. 二项展开式的通项(a b)n展开式中的第r 1项为：Tr 1 C；an rbr(0 r n,r Z)解三角形- 正弦定理(一) 知识与工具：正弦定理：在 ABC中,asin Absin B2R。sinC在这个式子当中，两边和

48、一角或两角和一边，可以求出其它所有的边和角。注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化， 的应用：(1) 三内角和为180 °(2) 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3) 面积公式：S=labsinC= abc =2R2sinAsinBsinC2 4R(4) 三角函数的恒等变形。在变形中，注意三角形中其他条件sin(A+B)=sinC ， cos(A+B)=-cosCsinA B C=cos ，2 2cos =sin C(二)题型使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1利用正弦定理公式原型解三角形题型2利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接 边

49、角互化。例如：sin2 A 3sin2B 2sin2Ca2 3b2 2c2题型3三角形解的个数的讨论方法一：画图看YbdiM .IS 皿皿胴-fr|方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果 是否符合实际意义，从而确定解的个数。二余弦定理b2(一)知识与工具：2 2 2a =b +c - 2bccosA cosA=2 2.2 a c b2bc2 2 2b =a +c - 2accosB cosB=2ac2.2 22 2 2c =a +b - 2abcosC cosC=a b c2ab注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定

50、理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：三内角和为180 ° ；(2) 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。(3)面积公式:1 abcS= absi nC=2 4R(4) 三角函数的恒等变形。(二)题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1利用余弦定理公式的原型解三角形题型2利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边 的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。题型3判断三角形的形状结论：根据余弦定理，当 a2+b2v c2、b2+c2v a2、c2+a2v b2中有一个关系式成立时，该三2 2 2 2 2 2 2

51、2 2角形为钝角三角形，而当 a+b > c、b+c >a , c +a > b中有一种关系式成立时，并不能得 出该三角形为锐角三角形的结论。判断三角形形状的方法：(1) 将式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。(2) 将式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A+B+Cn这个结论。在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解。正余弦定理在实际中的应用求距离两点间不可通又 不可视两点间可视但不 可达两点都不可达D*C求 高 度底部可达底部不可达AACaii题型1计算高度题型2计算距离题型3计算角度题型4测量方案的设计实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型,再通过正弦定理和余弦定理进行求解。(三) 其他常见结论1三角形内切圆的半径：r2S abc特别地，r直2三角学中的射影定理：在厶 ABC 中，b a cosC c cosA