高中数学柯西不等式

1、类型一：利用柯西不等式求最值例1求函数': 的最大值解：疋一1工一且-> I.,函数的定义域为'-，且" 一 ,7 = 5X1十气伍x仔二W J宁£府 冥/J齐予1十&口丫二6 _127即.'时函数取最大值，最大值为法二：/-且二【一， 函数的定义域为'-亠 予 _1_对="_些77丨°由刃二 压価亠 MT-f质-云，得汕。-鮎-2庶二> 0<127127即- ' :-1 - ',解得 丁 时函数取最大值，最大值为'''.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不

2、等式求解【变式1】设-J ' =且-J ： -：二，求的最大值及最小值。利用柯西不等式得1 - -.,故最大值为10,最小值为-10【变式2】“ ，n '，求 的最值.法一：由柯西不等式©+y尸斗羽汀+屆y<11于是 L的最大值为J 1，最小值为 J11.法二：由柯西不等式| 2x + y $ /屈尸+屉叫奢+ 如乂 =如+ 2严护|?血 于是i的最大值为J 1，最小值为川1.【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数""'''''V'的最大值.根据柯西不等式3 x 4 Q = (1+1+1)

3、r+1)+®+4)+(% + 6)巨(lxj2片+T+lx 扬+4+1拭辰+&故冷 *_ 八，''''' " 1372822当且仅当2x+1=3y+4=5z+6 ,即'-时等号成立，此时，丄：_ ' 1 '2 2 2 、.变式4 :设a (1 ,o, 2),b (x ,y, z)，假设x y z 16,那么a b的最大值为 【解】/ a(1,0,2),b(x,y, z)a. bx 2z由柯西不等式120(2)2“ 2(x2 yz2) (x02z) 2516(x2z)24x4 J54曲a.b4 45,故a

4、.b的最大值为4 J5 :变式5:设x,y,zR，假设2 x2 y2 z4，贝U x 2y2z之最小值为时,(x , y ,z)解(x2y2z)2 (x2 2yz2)12 (2) 2224 . 936x2y2z 最小值为6 ,公式法求 (x , y ,z)此时xy z62244222 xy , z12 2 2 (2)23333变式6 :设x, y,zR,假设 2x3yz3，那么x2 (y1)2 z2之最小值为又此时y 一o解析：X2 (y 1)2 z222 ( 3)2 12 (2x 3y 3 z)2x2 (y 1)2z23614最小值187432-t-y -77变式7:设a, b ,c均为正数

5、且ab c9，那么49兰之.最小值为abc解：(2. aa3 b 4 .b bc-c)249(a b16)(a cbc)49162 “4916819().9(234)81abcabc9变式8:设a, b, c均为正数，且a 2b3c 2,那么J 23之最小值为a b c解：(、a)2 (.2b)2 ( 3c)2( a)2 (b)2 石2 (123)23)c18，最小值为18R且416(y 2)25(Z 3)21,4之最大、小值：变式9:设x, y,23)23)2|之最大值为7,最小值为1由柯西不等式知3)2251 (x22)5 |x y类型二：利用柯西不等式证明不等式根本方法：1巧拆常数例 1

6、(2)重新安排某些项的次序例23改变结构例 3(4)添项例4例1 设；、勺、J为正数且各不相等,求证:2 2+-+ 口十鸟b十芒亡十3丁 2(口+占+匸)(+丄ab i + e +0 +1 + 1)卫十3 b-c 亡十a=(a +0) + (b +£)+(c +a)(2 2 2 十+ 又二、小、匸-各不相等，故等号不能成立- 1 -例2.金、禺为非负数，立+：*求证：必+肮处+ &吃鼻勺乜Ji：丄 _，汀：v _即：；+二,丄十丄2丄例 3假设； ：'：，求证：-K丄疋4a &_亡町丄+亠=“历+ 0打丄十J-a b b-ca -b bc M+ a b b c

7、 a c例4.位少疋E尺+，求证：B十亡e + a a+b£+ 1+1 =卄心+6J丄>2只需证此式-即可。0十芒 芒十口 十B'十亡,t w I 11 .=a +b +匚+B 十 c： c -a a +b乞+亠丄+ 口亠+1十亠 1 + 1a二+匚+住+町+3+&|. 12 b +c a +<? a +B【变式1】设a,b,c为正数，求证：-_'十，廿+P JF +* "枪，即J沖+戸忑M+b。将上面三个同向不等式相加得,同理Jr' + / .仝3十存Jf +/ -2.存+冷+ 护 + Jb2 +c2 4-+ 护 > 42

8、 +&+£【变式 2】设 a,b,c 为正数，求兰-皿 H T= L 眾 1=-拓' Jb & V®¥+»+沪站+夕 人里止 5十b c a即b 亡 应(/ +Z? +/)(a +& +c;i又因为丄J' 1 .J' L；-：； 二在此不等式两边同乘以2，再加上二八丁得：3 L亡-:【变式3】正数满足=宀"化土证明一；八护+/=/辭我T胪十应/解：V2+/外2+a-c+i? + c丿 丿< 2°-I+直 +卫 /十护十侶十护+讣3侶+护+/故J十护2 A-类型三：柯西不等式在几何上

9、的应用& ABC的三边长为a、b、c,其外接圆半径为 R,求证：/ + 护 十二一+ +二一王36衣41 农sin -A z = 证明：由三角形中的正弦定理得-，所以-丄上：，_ 4对1 逻同理：丄二 .'，_. 匚 4于是左边=【变式】 ABC之三边长为4, 5, 6, P为三角形内部一点，P到三边的距离分别为x, y, z,求''''的最小值。P 一早且''亠-_三丘力二£ + 5?十&一'4x+5y+6z=- 2 2 2 2 2 2 2由柯西不等式(4x+5y+6z) > (x +y +z )

10、(4 +5 +6 )15x7 n-> (x 2+y2+z2) X 77225x2+y2+z2?匸。柯西不等式等号当且仅当aia2an°或d kaj时成立k为常数，i 1,2 n利用柯西不等式可处理以下问题:1证明不等式例2:正数a,b, c满足a b c 1 证明a2b2 c2证明:b231a2a23131b°b空c°c23a°32b2又因为a2b2c2abbeca在此不等式两边同乘以再加上ab2c2 得:b2Q a2b2b32.22 丄3.3?3 a b c 故 a ba2 b2c22解三角形的相关问题x, y,z是p到三边a,b,c的距离,R是VABC外接圆的半径,例3设p是VABC内的一点,、.、ax by cz3c2 6d25试求a的最值abc2R解:2b23c2 6d2b c d 2 即 2b2 3c2 6d2'2 b,3c.6d解得，1 a2当且仅当-.1 31 6代入b1,c1，d-时，6amax2b1,c1时3a1min由条件可得,5 a232 a5利用柯西不等式解方