高中数学平面解析几何知识点梳理

1、一直线局部1 直线的倾斜角与斜率：(1 )直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把 x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角.倾斜角 0,180 ),90斜率不存在.(2)直线的斜率：k 上一 (xi x2), k tan .( (x1,y1)、P2(x2, y2).x2 x-i2.直线方程的五种形式：(0点斜式：y 丫勺k(x x1)(直线I过点Pi (x1, y1)，且斜率为k).(5)一般式：Ax By一般式化为斜截式:0 (AxB其中A、B不同时为0).CB直线的斜率：k注:(1)直线纵截距直线横截距常设其方程为yx0，常设

2、其方程为x直线过点(xq , y°)，常设其方程为kxmyb 或 x 0.x0(直线斜率k(x x0) y0或 x x0.k存在时，m为k的倒数)或y 0 .y(2)解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合.注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x x0.(2)斜截式：ykxb(b为直线I在y轴上的截距).(3)两点式：yy1xX1(y1y2，X1X2).y2y1X2X1注：不能表示与x轴和y轴垂直的直线；方程形式为:(X2X1)( yy1) (y2yj(x X1)0时，方程可以表示任意直线(4)截距式：xy1 (a, b分别为

3、x轴y轴上的截距，且a0,b0).ab注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与 y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线.3.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.(1) 直线在两坐标轴上的截距相等(2 )直线两截距互为相反数直线的斜率为直线的斜率为 1或直线过原点.1或直线过原点.(3 )直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点.4.两条直线的平行和垂直：(1 )假设 l1 : y k1x b|，:yk2x b2 l1/l2k1k2 ,b1b2 ；l1l2kk21.(2)假设 l1 : A1xB1 y C10， l2 : A2x B2 yC20,有丨1丨2A1B2A2 B1且

4、A1C 2A2C1.11 112A1A2B1 B20l25. 平面两点距离公式:(P(x1,y1)、F2(x2,y2)， P1P2 V(x1 X2) (% y2)x轴上两点间距离： ABXb XaX。线段RP2的中点是M (x0, y0)，那么yox1x22Y1Y26. 点到直线的距离公式:一|Ax0 By0 C点P(xo，y。)到直线丨：Ax By C 0的距离：d_.JA2 B27两平行直线间的距离：|Ci C2 两条平行直线 li： Ax By Ci 0, I2： Ax By C2 0距离：d =.Ja2 b28直线系方程：(1) 平行直线系方程： 直线y kx b中当斜率k 一定而b变

5、动时，表示平行直线系方程. 与直线I : Ax By C 0平行的直线可表示为 Ax By G 0 . 过点P(x0, y0)与直线I: Ax By C 0平行的直线可表示为：A(x x0) B(y y0) 0 .(2) 垂直直线系方程： 与直线I : Ax By C 0垂直的直线可表示为 Bx Ay C10. 过点P(x0, y0)与直线I : Ax By C 0垂直的直线可表示为：B(x x0) A(y y0) 0 .(3) 定点直线系方程： 经过定点F0(x°, y°)的直线系方程为y y k(x x°)(除直线x x°),其中k是待定的系数.经过

6、定点F0(x0, y0)的直线系方程为A(x x0)B(yy0)0 ,其中A, B是待定的系数.(4)共点直线系方程：经过两直线h： Ax B1 y C10, 12： A2XB?y C20交点的直线系方程为AxB-i y C1(A2X B2y C2)0 (除I2)，其中入是待定的系数.9.曲线C1 : f (x, y) 0与C2 : g(x, y) 0的交点坐标方程组f(x, y) g(x,y)0的解.(1)圆的标准方程：(Xa)2 (yb)2 r2 ( r 0).(2)圆的一般方程：2 X2yDxEy F 0(D2 E2 4f(3)圆的直径式方程:二圆局部10 .圆的方程：0).(x Xi)

7、(x X2) (y yi)(y y?) 0.假设A(x-!, y1), B(x2 ,y2)，以线段AB为直径的圆的方程是:注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是D(7,E)，r丄 Jd2 E2 4F22(2) 一般方程的特点：2 2x和y的系数相同且不为零；没有xy项；D22E 4F 02 2(3)二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2DxEyF0表示圆的等价条件是：A C 0;B0 ；D2E2 4AF 0.11.圆的弦长的求法:(1) 几何法：当直线和圆相交时，设弦长为I，弦心距为d，半径为r ,贝U： “半弦长2 +弦心距2 =半径2 一一(丄)2 d 2 r2;2(2) 代数法：

8、设|的斜率为k，I与圆交点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，那么|AB|Xb| 1 吉也 yB| k(其中| X1 X2 |,| y1 y21的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x，利用韦达定理求解)2 2 212点与圆的位置关系：点 P(x0, y0)与圆(x a) ( y b) r的位置关系有三种P在在圆外d r(Xoa)2(y。22b)r .P在在圆内d r(X0a)2(y0八2r2b)r .P在在圆上d r(X0a)2(y°.x 22b)r .【P到圆心距离d (a X0)2 (b y°)2】13 直线与圆的位置关系：直线 Ax By C 0与圆(x a)2

9、 (y b)2圆心到直线距离为d，由直线和圆联立方程组消去xd r 相离0 ； d r 相切14两圆位置关系：设两圆圆心分别为 002，半径分别为 外离ririr1r215.圆系方程：(1) 过直线丨：2 2x y(2) 过圆C12X特别地，当外切A D内含|Aa Bb Cl的位置关系有三种(d):Ja2 b2y)后，所得一元二次方程的判别式为.0 ； d"，O1O22内含r2(或r 相交d4条公切线；d r13条公切线；d I r1 r2 内切 相交 2条公切线.内严相交外閒相關«f I卄无公切线;1条公切线；一中d d2 2x yAx By C 0 与圆 C: Dx E

10、y F (Ax2 2:x yD1 x E1y F1y2 D1X E° F11 时，x2Dx Ey F 0(D2 E2 4f 0):x y Dx Ey F 0的交点的圆系方程:By C) 0,入是待定的系数.0与圆C2:y2 D2xE1y F1(x2DixE?y(x22yD2 x E2 y F2 0的交点的圆系方程:F2)0 ,入是待定的系数.2y D2x E2y F2)0 就是(Di D2)x(Ei E2)y2y(Fi f2) q表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线.16.圆的切线方程:(1) 过圆x2(2) 过圆(x2 2 2y r上的点P(x0, y0)的切线方程为

11、：x0x y0y r .a)2 (y b)2 r2上的点 P(x0,y0)的切线方程为：(x a)(x0 a) (y b)(y0 b)(3)当点P(x0, y0)在圆外时，可设切方程为 yyok(xXq)，利用圆心到直线距离等于半径,即d r，求出k ；或利用0，求出k.假设求得k只有一值，那么还有一条斜率不存在的直线仃.把两圆x2 y2 D1x E1yF10与x22yD2xE?yf20方程相减即得相交弦所在直线方程：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0 .18 对称冋题:Xq .(1) 中心对称： 点关于点对称：点 A(x1, y1)关于M (xq, y0)的对称点A(2xq x1,2

12、y0 y1). 直线关于点对称：法1：在直线上取两点，利用中点公式求岀两点关于点对称的两点坐标，由两点式求直线方程. 法2：求出一个对称点，在利用|1 /12由点斜式得出直线方程.(2) 轴对称：点关于直线对称：点与对称点连线斜率是直线斜率的负倒数，kAAAA点与对称点的中点在直线上.kl1中点坐标满足l方程A A,AA 丄 l点A、A关于直线I对称,AA中点在上 直线关于直线对称：(设a,b关于I对称)法1：假设a,b相交，求出交点坐标，并在直线 a上任取一点，求该点关于直线 丨的对称点. 假设a/l，那么b/l，且a,b与I的距离相等.法2 :求出a上两个点A,B关于I的对称点，在由两点式求出直线的方程.(3)点(a, b)关于x轴对称：(a,- b)、关于y轴对称：(-a, b)、关于原点对称：(-a,- b)、 点(a,