高中数学平面解析几何初步经典例题

1、直线和圆的方程一、知识导学1. 两点间的距离公式：不管A(Xi, y 1) , B(X2, y2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=.(兀X2)2(%y2)2，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=| X2- Xi|或|AB|=| y2- yi|.2. 定比分点公式：定比分点公式是解决共线三点 A(Xi, y i) , B(X2, y2), P( X , y ) 之间数量关系的一个公式，其中入的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后入的值也就随之确定了假设以Xi XX2A为起点，B为终点，P为分点，那么定比分点公式是i.当P

2、点为AB的中点时,一yiy2yiXXiX22yyiy22入=i，此时中点坐标公式是3. 直线的倾斜角和斜率的关系(1) 每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率(2) 斜率存在的直线，其斜率 k与倾斜角a之间的关系是k=tan a .kiki, k2都存在且ki k2丰-i时，ta n 0 =i ki k24确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种名称方程说明适用条件斜截式y kX bk为直线的斜率 b为直线的纵截距倾斜角为90。的直线不 能用此式点斜式y yo k(xX0)(x0,y0)为直线上的点，k为直线的斜率倾斜角为90。的直线不 能用此式两点式y yi =

3、 x Xi y2yiX2 Xi(Xi, yi), ( X2, y2)是直线上两个点与两坐标轴平行的直线 不能用此式截距式X + l=i a ba为直线的横截距 b为直线的纵截距过(0, 0)及与两坐标 轴平行的直线不能用此 式一般式Ax By C 0ACC八心,-,分别BAB为斜率、横截距和纵截距A、B不全为零形式的直线方程的适用范围5.两条直线的夹角。当两直线的斜率k2当直线的斜率不存在时，可结合图形判断另外还应注意到：“到角公式与“夹角公式的区别6.怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，假设两直线的斜率 都存在，可以用斜率的关系来判断； 假设直线的斜率不存在， 那么必须

4、用一般式的平行垂直条件 来判断(1)斜率存在且不重合的两条直线I 1： ykX b , I 2：yk?xb2，有以下结论: 11 / I 2 k1= k2，且 b 1 =b 2 11 丄 12 k1 k2 = -1(2)对于直线11 ：州xB1 y C10 , 12 : A2xB2yC2当 Ai, A2, Bi,B2都不为零时，有以下结论:Ai I 1 / I 2A2丰B2CC2I 1丄I 2 A1A2+ B1 B 2 = 011与l 2相交AiA1B1 A2B211与1 2重合AiB1 C1A2 B2 C27.点到直线的距离公式(1)一点P ( x0,y0 )及一条直线1 : Ax By C

5、那么点P到直线I的距离d_| Ax。By。C I ；VA_B2(2)两平行直线I仁Ax By C1 0 , I 2： AxByC20之间的距离d=IC1.A2C2 IB2&确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之 间的相互转化及相互联系(1)圆的标准方程：(x a)2 (y b)2 r2，其中(a , b)是圆心坐标，r是圆的半径；(2)圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 ( D2 E2 4F > 0),圆心坐标-),半径为2rE2 4F2、疑难知识导析1直线与圆的位置关系的判定方法(1)方法一直线：Ax By CAx By C 0消元x

6、2 y2 Dx Ey F 00 ;圆:x2 y2 DxEyF0.0相交一兀1次方程判别式 b2 4ac0相切0相离(2)方法直线：Ax By C 0 ;圆：(x a)2 (y b)2r2，圆心(a，b)到直线的距离为d=| Aa_Bb_C |.A2 B2dr相离dr相切dr相交例2动点P到y轴的距离的 方程x+y-5=0 或 y= x .23倍等于它到点 A(i,3)的距离的平方，求动点P的轨迹错解：设动点P坐标为(x,y).由3 x(x i)2 (y 3)2,2. 两圆的位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 0、O,半径分别为ri, r2, |0iQ|为圆心距，那么两圆位置关系如下:|0iQ|

7、> r i+r 2 两圆外离；|0i0|= r计r 2 两圆外切；| r i- r 2|<|0 i02|< r i+ r 2两圆相交；| 0 iQ |=| ri- r2| 两圆内切；0<| 0iQ|<|r i- r 2|两圆内含.三、经典例题导讲例1直线l经过P (2,3 ),且在x,y轴上的截距相等，试求该直线方程 错解：设直线方程为：X 1,又过P(2,3), -1,求得a=5a ba b直线方程为x+y-5=0.错因：直线方程的截距式：- 丫 i的条件是：a丰0且0,此题忽略了 a b 0这一情 a b形.正解：在原解的根底上，再补充这样的过程：当直线过(0

8、,0)时，此时斜率为：k3直线方程为y=-x2综上可得：所求直线方程为2 2当 x > 0 时得 x -5x+y -6y+i0=0 .化简 3 x =x2-2x+i+y 2-6y+9 .当 x v 0 时得 x2+ x+y 2-6y+10=0 .错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式，并且正确应用绝对值定义将方程分类化简，但进一步研究化简后的两个方程，配方后得522211223(x- 2 ) +(y-3)= -4 和(x+ 2)+(y-3)= - 4两个平方数之和不可能为负数，故方程的情况不会出现.正解：52221122接前面的过程,方程化为(x- 2 ) +(y-3)=

9、4，方程化为(x+ 2 ) +(y-3)3 ,由于两个平方数之和不可能为负数，故所求动点P的轨迹方程为：(x- | ) 2+(y-3) 2 = #(x > 0)例3 m是什么数时，关于 x，y的方程(2mf+m-1) x2+ ( ni-m+2) y2+m+2=0的图象表示一个 圆？错解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要 A=CM 0,222得 2m+m-1=m-m+2, 即卩 m+2m-3=0,解得 m=1, m=-3 ,.当m=1或m=-3时，x2和y2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆 错因：A=C是Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条

10、件是：A=O 0 且F v 0.A正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要 A=CM 0,得 2+m-1=ni-m+2, 即卩卅+2m-3=0,解得 m=1, m=-3 ,(1) 当m=1时，方程为2x2+2y2=-3不合题意，舍去1当m=-3时，方程为WxWyN即灼匸，原方程的图形表示圆例4 自点A(-3 , 3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7 = 0相切，求光线L所在的直线方程错解：设反射光线为L'，由于L和L '关于x轴对称，L过点A(-3 , 3)，点A关于x轴的对称点 A (-3 , -3)，于是 L

11、 '过 A(-3 , -3).设 L'的斜率为 k,贝U L'的方程为 y-(-3)= k :x-(-3),即 kx-y+3k-3 = 0,圆方程即(x-2) 2+(y-2) 2= 1，圆心0的坐标为(2 , 2)，半径r = 1因L'和圆相切，那么O到L'的距离等于半径 r = 12k 2 3k 3|5k 5|即 、k21k212整理得 12k -25k+12 = 044解得k=L'的方程为y+3 =(x+3)33即4x-3y+3 = 0 因L和L'关于x轴对称 故L的方程为4x+3y+3 = 0.错因：漏解正解：设反射光线为L'

12、;,由于L和L '关于x轴对称，L过点A(-3 , 3)，点A关于x轴的对 称点 A (-3 , -3), 于是 L'过 A(-3 , -3).设 L'的斜率为 k,贝U L'的方程为 y-(-3)= k :x-(-3),即 kx-y+3k-3 = 0,圆方程即(x-2) 2+(y-2) 2= 1,圆心O的坐标为(2 , 2)，半径r = 1因L '和圆相切，贝UO到L'的距离等于半径r = 12k 2 3k 3|5k 5|彳即 <k21k212整理得 12k -25k+12 = 043解得k=或k=33L'的方程为 y+3=(x+

13、3);或 y+3 =(x+3)。3即x-3y+3 = 0 或 3x-y-3 = 0因L和L '关于x轴对称故 L 的方程为x+3y+3 = 0 或 3x+y-3 = 0.例5求过直线x 2y 0和圆x22|为所求.y 2x y 10的交点，且满足以下条件之一的圆的方程：(1)过原点；(2)有最小面积解:设所求圆的方程是：2 2x y2x y1x 2y即:2 2x y2x22 y 1(1)因为圆过原点，所以1 0，即1故所求圆的方程为：2 2x y77x y0. 222c2 522xy 2255(2) 将圆系方程化为标准式，有:当其半径最小时，圆的面积最小，此时2故满足条件的圆的方程是x

14、 5点评：(1)直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比拟方便；当然也可以待 定系数法。(2)面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.例6( 06年辽宁理科)点A( x1, y1) ,B(x2,y2)( x1x2丰0)是抛物线y22 px( p 0)上的两个动点,0是坐标原点，向量OA,OB满足丨OAOB | = | OA OB | .设圆 C 的方程为 x2 y2 (x1 x2)x (y1 y2)y 0(1 )证明线段 AB是圆C的直径;(2)当圆C的圆心到直线x 2y2(50的距离的最小值为时，求p的值.解：(i)证明 t| OAOB | = |

15、 OA OB | ,( OA OB ) 2=( OA OB) 2,整理得：OA OB = 0 XiX2 + yiy2 = 0设M( x,y )是以线段AB为直径的圆上的任意一点，贝yMA MB = 0即 (x xj(x X2) + (y yi)(y y?) = 0整理得：X2 y2 (Xi X2)X (yi y2)y 0故线段AB是圆C的直径. 设圆C的圆心为(2)C ( x,y),那么XiX22% y222Pxi ,2y22 PX2(p 0)X1X2又t x1 x2 + y1 y2 = 0X1X2 = - y“22% y24p22 2yi y2 yiy24pXi X2 工 0,yy2 工 0

16、,2- yiy2 = -4pXiX2i ,2x2 4p(yi2y24i-(yi24p2y22y2)i4pyiy2p(y2 22)所以圆心的轨迹方程为px2p2设圆心C到直线x 2y 0的距离为d,那么|x 2y| l>2 2p2) 2yl |(y55p)25pP2I当y = p时，d有最小值p ，由题设得.5255P = 2.四、典型习题导练y 2. 30截圆圆心角为nA. W62.直线()A.5B.4C.3D.2B. 4D.22x=a(a > 0)和圆(x-1) +y =4 相切4得的劣弧所对的n2，那么a的值是2 23. 如果实数 x、y满足等式(x-2) +y =3,为：.2 24. 设正方形 ABCD( A B、C、D顺时针排列)的外接圆方程为 x +y -6x+a=0 (a<9), C D点1所在直线l的斜率为丄.3(1) 求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线 AC BD的斜率；(2) 如果在x轴上方的A B两点在一条以原点为顶点，以 x轴为对称轴的抛物线上, 求此抛物线的方程及