高中数学法向量

1、2021年高考数学：法向量是高考中解立体几何的一种重要方法平面法向量的定义及法向量的具体求法：平面法向量的概念：如果一个向量与平面垂直，那么这个向量就叫做平面的法向 量。显然一个平面的法向量有无数个，但这些法向量都是相互平行的求法向量的一种方法：利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组， 由 于有三个未知数，两个方程，我们设定一个变量的值就能求解！ 现在我来举一个 具体的例子:铭师道举例=求注向量的具体方注向量二2是乎面。内的两个不共线的向量，:二订23), 4(Z 求平 面。的一个法向量；?的坐标。解！设n =(rt v.z),那么由n _a ,住一5得！p*a = O gplx +

2、2->' + 3z = 0h =0 I 2x + y-z = O丁,畑工十=-9r x= 5不妨令乂儿得仁2 蓝十i=3y =-从而取冋-(5,-73)当然需要说明的是，我们还有其他的方法来求法向量，在这里就不做延伸了。高中数学中和法向量有关的三个重要公式：n用法向量求点到平面的距离公式:公式设向:§是平面d的单位迭向昴 点是平面M外一定点，点川是分 內任意一点，那么点$到平面a的距离；网化卜B用法向量求直线与平面的夹角公式:用法向量求二面角的夹角公式记得有两种情况哦：建立空间直角坐标系用法向量求解高考中的立体几何题目：詡褪噩 < 立休几何h在四樹J弼8中，尸平面

3、ASGP, XEU是正三角初AC离3D的交点H怡奸是一2中最又PA«A5=4f CDA - 120',点X徑线锻刊上，且py求证:DTDI： £ 平® PDC j ni求二砒 a-pc-b的余弦值.铭师道迭题(立体几何)：【答案】证明，(I )因为AJBC是正三角形.3/是AC中点.所以3M _ 即BD _ AC 又因为PA丄平EjJCD . BZ> u平面ABCD . PA丄BD 又PACAC-A.所以加丄平面R4C 又PCu平面PAC .所以BDLPC< I】)在正三角形MC中，BM = 2J5在44CD中.因为M为4C中点 DM AC.所

4、以AD »CD因为CDA = 12CT .所以2>."=羊所以3M:MQ3:13在等腰直角三角形P3中，PJ = J5 = 4. PBld所以反V;VP=3:1 BN:NP = BH所以MV PD攵平面PDC . “U平面PQC.所以MV 平面PDC(HI)因为乙BAD = Z5XC+ £CAD = 90* 所以M丄分别儿迪肋2为*轴.丁轴3轴建立如图的空间直角坐标系.所以 5(4.0.0). C(2,2.O). <0(0.于,0), A0.0.4)由< n > qjw 5?=为平面pac的法向量 阵(2.2运 7), ?5=(4.0,-4

5、)设平面PBC的一t'法向量为n = (xry.z),那么F 了；即F汽方 =014x-4z= 0令z = 3,那么平面PBC的一个法向量为宀(32,nDB 护设二面角A-PC-B的大小为& ,那么cos = Zjj=| = 所以二面角A-PC-B余弦值为纟铭雌送理立体几何头如且ACDE角梯形，且EDHAC,平面ACDE 一平面MC,AC = "CD = 92, ABAC.lE 2 , ED-iB , P业 BC 的中点.(I )求证，DP平面EAR；(II )求平面EBD与平面J5C所成锐二面角大小的余弦值铭卿遊迭题?立体几何九答素证明I 取肿的中点八连结PF , EF 因为P是BC的中点，盼切IC,且凹=打£=打6/晰认 ED“FP,且 ED“P, °/广所以四边形EFPD遇平行四边形.工二u所以DP T EF .厶參因为£Fu平面E4B , DP工平面E4B ,所以DP平面EAB (ID因为BAC = 90° ,平面LACD 一平面丄PC ,所以以点討为原点用线肿为时釦直线JC为 $由准立如下图的空间直角坐标系討-护, 那么zfiWE平面£2。内.宙已刼可得-4(0,0.0), 3(2,0.0), £(0.1.5), 0(0.2.的).BfCA £? =