高中数学数列知识点总结(20210908145108)

1、1.等 差 数 列 的 定 义 与 性 质定义：an i an d (d 为常数)，an a1 n 1 d等差中项：x, A, y成等差数列2A x yai an nn n 1刖n项和Sn- -na1d2 2性质：an是等差数列(1 )假设 m - p q，那么 am a. ap aq;(2) 数列a2n1 ,a2n, a2n 1仍为等差数列，Sn，S2nSn，&n Sq- 仍为等差数列，公差为n'd ；(3) 假设三个成等差数列，可设为a d，a, a d(4 )假设a-，b-是等差数列，且前-项和分别为s-，Tn，那么弘 乩bm T2m 1(5) a-为等差数列S- a-2

2、 b- ( a, b为常数，是关于-的常数项为0的二次函数)S-的最值可求二次函数Sn a-2 b-的最值；或者求出an中的正、负分界项，a 0即:当a1 0, d 0,解不等式组 -可得S-到达最大值时的-值.a- 1 0a 0当a1 0, d 0，由-可得S-到达最小值时的-值.a-1 0项数为偶数2-的等差数列a-有S2- n(a1 a2n) n(a2 a?-1)n(a- a- 1)(a-,a- 1 为中间两项)a-an 1(7)项数为奇数2- 1的等差数列an有S2- 1(2n 1)a-(a-为中间项),-12.等比数列的定义与性质定义:an 1q ( q为常数，q0) , ann 1

3、aiq等比中项：x、G、y成等比数列G2 xy，或Gxyn aq 1)前n项和：Sna1 1 qn(要注意！)(q 1)1 qan性质：an是等比数列(1 )假设 m n p q，贝U am- a.ap- aq(2) Sn, S2n Sn, Ssn £n仍为等比数列,公比为qt 注意：由Sn求an时应注意什么？n 1 时，ai Si ；n 2 时，an Sn Sn 13求数列通项公式的常用方法(1)求差(商)法女口：数列 an ， a1 2 a2 an 2n 5，求 an2 2 2(2)叠乘法如：数列an中，a1 3,也 ，求an ann 1(3 )等差型递推公式由an an 1 f

4、(n),印 a°，求a“，用迭加法练习数列an中，a11, an3n 1 a. 1 n 2 ，求 anan(4 )等比型递推公式可转化为等比数列，设an Xc an 1xan can 1 c 1 x令(c 1)x d，二 xan是首项为a1-c,c为公比的等比数列1附:aiai(5)如:倒数法a11 an 12anan2，求 an公式法、利用anS1(n 1)Sn Sn 1(n 2)、累加法、累乘法.构造等差或等比 an 1 pan q或迭代法、数学归纳法、换元法an 1 pan f (n)、待定系数法、对数变换法、)4.求数列前n项和的常用方法(1)裂项法把数列各项拆成两项或多项之

5、和，使之出现成对互为相反数的项如：n 1an是公差为d的等差数列，求k 1 akak 1(2)错位相减法假设an为等差数列,bn为等比数列，求数列 anbn (差比数列)前n项和，可由Sn qSn，求Sn ,其中q为bn的公比.如：Sn 1 2x 3x2 4x3n 1 nxx- Sn x 2x2 3x3 4x4xn1nnx一 1 x Sn1 x x2n 1nx nx1n xnnx12x，x1 xx 1 时，Sn1 时，Sn 12 3(3)倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加SnaiSnana2an 1a“ 1相加 2Sn a1 片a2 an 1a1an练习f(x)x21 x2

6、，那么f(1) f(2) f 2f(3)1f(4) f 4(附：a. 用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个 和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果， 更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法。b. 用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和S可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公 式求解的考前须知：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c

7、. 用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 n项和。d. 用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即假设在数列 an bn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后 即可以求出前n项和。e. 用迭加法求数列的前n项和迭加法主要应用于数列an满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下， 可把这个 式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出S。f. 用分组求和法求数列的前n项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，假设将这类数列适当拆开，