高中数学必修1函数及其表示题型总结

1、函数及其表示考点一求定义域的几种情况 假设f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R; 假设f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数集； 假设f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合; 假设f(x)是对数函数，真数应大于零。 .因为零的零次幕没有意义，所以底数和指数不能同时为零。 假设f(x)是由几个局部的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各局部式子都有意义的实数集合; 假设f(x)是由实际问题抽象出来的函数，那么函数的定义域应符合实际问题考点二 映射个数公式Card(A)=m,card(B)=n, m,nN，那么从A到B的映射个数为nm。简

2、单说成“前指后底。方法技巧清单 方法一 函数定义域的求法1. (2021江西卷文)函数yx1 2 3x 4的定义域为xC. (0,1A. 4,1B. 4, 0)x 0解析 由 2得4 x 0或0 x 1,应选D.x 3x 4 04,0)U(0,12. (2021江西卷理)函数yln (x_1)_x2 3x 4的定义域为A. ( 4, 1)B. ( 4,1)C.1,1)D . ( 1,1x 13x 4 04 xx 1.应选Cx 1解析 由 2x3. (2021福建卷文)以下函数中，与函数有相同定义域的是A . f (x) In x1B.f(x)-xC.f(x) |x|D. f(x)In x的定义

3、域x 0 ; f (x)1的定义域是x工0; f (x) | x |x的定义域是x R； f(x) ex定义域是x R。应选A.4.( 2007年上海)函数y也住 耳的定义域是答案 x x 4且x 3x 32x 1( 5求以下函数的定义域。 y= , x 2 ? l x 2 .y=.y= . x 1. 1 x冈x6.函数f(x)的定义域为1,5，求函数F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。方法二函数概念的考察1.以下各组函数中表示同一函数的是(B.y=ln 和 yln xeC.y x 1 x 3 和yx 10 1d. y x 和 y x2.函数y=f(x)的图像与直线x=2的公共点

4、个数为A. 0个B. 1个C. 0个或1个D.不能确定23.函数y=x2定义域为1,0.1,2，那么其值域为_方法三分段函数的考察i求分段函数的定义域和值域r 2x+2x 1,01求函数f(x)x 0,2的定义域和值域2 (2021天津文数)设函数g (x)2(x R) , f(X)g(x) x 4,x g(x),g(x) x,x g (x).那么 f(x)的值域是9(A)9,。(1,(B) 0,)(C)(2,【解析】依题意知f(x)x22x224),x x22小x, x x 2(x2 , f(x)2 x2 x2,x2 x,ii求分段函数函数值3. (2021湖北文数)3.函数f(x)x,x1

5、f(f(1)A.4C.-4【解析】根据分段函数可得f(1)1log39D-411f(f(；) f( 2) 2 2 -,94所以B正确.iii解分段函数不等式4. (2021天津卷文)设函数f(x)x24x6, x6,x00那么不等式f (x) f (1)的解集是A.( 3,1)(3,) B.(3,1)(2,C.(1,1)(3,)D.(, 3)(1,3)答案A解析由，函数先增后减再增当x 0 ,f(x) 2 f(1)3令 f(x) 3,解得x 1,x。当 x 0, x 63,x3 故 f (x)f (1)3，解得 3 x1 或 x3x2 4x5. (2021天津卷理)函数f(x)2'4x

6、 x ,0假设 f(2 a2)0f(a),那么实数a的取值范围是A (, 1) (2,)B ( 1,2)C ( 2,1)D (, 2) (1,)解析：由题知f (x)在R上是增函数,由题得2a2a，解得 2a 1，应选择C。6.( 2021北京理)假设函数f(x)x(1)那么不等式1| f(x)| -的解集为3解析 (1)由| f (x)l10(2)由 |f(x)| £310x1.3不等式| f (x)|13的解集为x| 3 x应填 3,1 .7。(2021天津理数)Iog2X,x 假设函数 f(x)= log, x),x20,0，假设f(a)>f(-a),那么实数a的取值范围

7、是(A) (-1, 0)U( 0, 1)(B)(亠，-1)(1,+x)(C) (-1, 0)U( 1,+x)(D)(亠,-1)U( 0,1)【答案】C由分段函数的表达式知,需要对a的正负进行分类讨论。f(a) f( a)a 0log2 a log1 a 或2a<0log2( a)2Iog2( a)a 01或a -20a1 或-1 aa【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0,同事要注意底数在(0, 1)上时，不等号的方向不要写错。iv解分段函数方程8. (2021北京文)函数f(x)3，X 1,假设 f(x)X 1,2，那么xx.w 解析此题主

8、要考查分段函数和简单的函数值求x的值.属于根底知识、根本运算的考查.x 13x 2x 1x log32， x 2 x2无解，故应填log 32.方法四 求函数的解析式1. 求以下函数的解析式1 3 1 f xx 3,求f(x).x x2 f 一 1 lg x，求f (x).x f(x)是二次函数，假设 f(0)=0，且 f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x).1 f(x)满足2f x f 3x.求f(x).x方法五函数图像的考察xx1. (2021山东卷理)函数y ex ex的图像大致为().e eA解析 函数有意义,需使ex e x 0,其定义域为x|x 0 ,排除C,D,又因为xx2

9、xy1 J 所以当x 0时函数为减函数，应选A.e e e 1 e 12. ( 2021广东卷理)甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶甲B.匕时刻后，甲车在乙D. t0时刻后，乙车在甲车前面车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图2所示).那么对于图中给定的t0和'，以下判断中一定正确的是 ()A.在右时刻，甲车在乙车前面C.在t。时刻，两车的位置相同y/W,y)"OQ(x,0)解析 由图像可知，曲线v甲比v乙在0t°、0鮎与x轴所围成图形面积大, 那么在t°、右时刻，甲车均在乙车前面，选 A.3. (2021江西卷文)如下图，一质

10、点 P(x,y)在xOy平面上沿曲线运动， 速度大小不变，其在x轴上的投影点Q(x,0)的运动速度V V(t)的图象解析 由图可知，当质点P(x, y)在两个圭寸闭曲线上运动时，投影点Q(x,0)的速度先由正到0、到负数， 再到0，到正，故A错误；质点P(x, y)在终点的速度是由大到小接近 0,故D错误；质点P(x, y)在开 始时沿直线运动，故投影点Q(x,0)的速度为常数，因此C是错误的，应选B.4 (2021山东理数)(11)函数y=2x-x2的图像大致是1【解析】因为当x=2或4时，2x-x2=0，所以排除B、C;当x=-2时，2-x2= - 4<0，故排除D，所4以选A o5

11、 (2021安徽文数)设abc 0,二次函数f(x) ax2 bx c的图像可能是【解析】当a 0时，b、c同号，(C)( D)两图中c 0,故b 0, 0 ,选项(D)符合2a【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分 a 0或a 0两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等 方法六映射概念的考察21 . 设f :x x是集合A到集合B的映射，如果B= 1,2，那么An B=()A. B. 1 C.或 2 D.或 12集合M= a,b,c，N= 1,0.1映射f:M N满足f(a)+(b)+f(c)=0,那么映射f: M N的个数

12、是() A.4B.5 C. 6 D. 73集合M= a,b,c到集合N= 1,0.1 一共有个不同的映射。方法七函数值域和最值的求法1. 利用二次函数在有限区间上的范围求值域求函数y= x2 6x 5的值域3x 12. 别离常数法求函数y= 的值域x 23. 换元法求函数y= x 4.1 x的值域4. 数形结合法求函数y= |x 1 |x 4的值域5.判别式法求函数 y -x2x 的值域X x 1 方法八函数奇偶性和周期性的考察1.(2021全国卷I理)函数f(x)的定义域为R,假设f(x 1)与f(x 1)都是奇函数，那么(B. f(x)是奇函数A. f (x)是偶函数C.f(x)f (x

13、2)D. f (x 3)是奇函数答案 D解析 Q f(x 1)与f(x 1)都是奇函数，f( x 1)f (x 1), f( x 1) f (x 1),4的周期函D函数f (x)关于点(1,0)，及点(1,0)对称，函数f (x)是周期T 21 ( 1) 数.f( x 14) f(x 1 4)， f( x 3) f (x 3)，即 f (x 3)是奇函数。应选2.(2021山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=Iog2(1 x),x f(x 1)02),x0，那么f(2021)的值为(A.-1B. 0C.1D. 2答案C解析由得f (1) Iog2 21,f(0) 0,f(1)f(0

14、) f( 1)1f(2)f(1) f(0)1,f(3)f(2)f(1)1 ( 1) 0,ff(3)f(2)0 ( 1)1 , f(5)f(4)f(3)1, f(6)f(5)f(4)0,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.所以 f (2021)=:f (5) =1,应选 Cf(x)3. (2021江西卷文)函数f (x)是()上的偶函数，假设对于x 0,都有 f(x 2)f(x)，且当x 0,2)时,f (x) Iog2(x1)，那么f(2021) f (2021)的值为B.1C. 1答案 C解析 f( 2021)f(2021)f(0) f (1) log；log；1，应选C.方法九函数奇

15、偶性和对称性考察2 x1. (2021全国卷U文)函数y log2的图像2 x(A)关于原点对称(B)关于主线y x对称答案 A解析由于定义域为(-2,2)关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。2.(2021重庆理数)的图象2xA.关于原点对称B.关于直线y=x对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称解析：f( x)112xx-f (x)f (x)是偶函数，图像关于y轴对称方法十函数奇偶性和单调性的考察1.(2021山东卷文)定义在R上的奇函数f (x)，满足 f(x 4)f (x)，且在区间0,2上是增函数，那么A. f( 25) f (11)f(8

16、0)B.f (80) f (11) f( 25)C. f (11) f (80)f( 25)D.f ( 25) f (80)f(11)答案D解析因为f (x)满足f(x 4)f (x)，所以 f (x8) f(x),所以函数是以8为周期的周期函数，那么 f( 25)f( 1), f(80)f(0), f(11)f(3),又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)0 ,得f(80)f(0) 0,f( 25) f( 1)f(1),而由f(x 4)f(x)得f(11)f(3)f (3)f(1 4)f(1),又因为f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(1)f (0)0所以().f(80) f (11),

17、应选 D.0,即f (1)f( 25)(A) a b c(B) a c b(C) ca b (D) c b a答案 B解析此题考查对数函数的增减性，由11>lge>0,知a>b,又c= Ige,作商比拟知c>b，选B。3. (2021辽宁卷文)偶函数f (x)在区间0,)单调增加，那么满足1f(2x 1) < 5)的x取值范围C.( i1 2(A)(丄，-)3 3答案 A解析 由于f(x)是偶函数，故f(x) = f(|x|) 得f(|2x - 1|) vf(-)，再根据f(x)的单调性得|2x - 1| V3112-解得-Vxv-3 334.(2021陕西卷文)

18、定义在R上的偶函数f (x)满足：对任意的捲龙0,X2)，有f(X2)X2f (Xi)Xi0.(A) f 'f( 2)f (1)B. f(1) f( 2)f(3)C. f (2)f(1)f(3)D. f(3)f(1)f ( 2)答案A解析由(X2 Xj(f(X2)f(xj)0等价，于f (X2)X2f (X1)X10那么f(x)在X1,X2(,0( X1X2)上单调递增,又f (x)是偶函数，故f (x)在X1,X2(0,(X1X2)单调递减.且满足n N*时,f( 2)f(2),3>210,得f(3)f(2) f (1),应选 A.(2021陕西卷理)定义在R上的偶函数f (x

19、)满足：对任意的 X1, X2(,0( X1 X2)，有(X2 xJ(f(X2)f (X1) 0.那么当nN*时，有()(A)f(n)f(n1) f(n 1)B. f (n 1)f ( n)f(n1)C. C. f (n1) f(n) f(n 1)D. f(n 1)f(n 1)f(n)那么()0答案C5)f ( Xi )(f (X2)解析：x1 , x 2 x2Xt时，f ( X)为偶函数 而 n+1>n>n-1>0.(X2f ( x)在(为减函数f (n) f (n 1) f (n 1),0( X1 X2)f (xjf (x )在(0，f (n 1)xj( f (X2,0为

20、增函数f ( n) f (n 1)6.( 2021江苏卷)a函数f(x)ax，假设实数mn满足f (m) f(n)，那么m、n的大小关系为解析、51a(0,1)，函数 f(x)2ax在R上递减。由f (m)f(n)得:m<n7. (2021安徽文数)(7)设a32(2), c (-)，那么a，b， c的大小关系是(A) a>c>b(B) a>b>c(C) c> a> b(D) b>c>a27.A【解析】y x5在x 0时是增函数，所以a c，2y (-)x在x 0时是减函数，所以c b。5方法一抽象函数的解法1. (2021四川卷理)函数f

21、(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有5 xf(x 1)(1 x)f(x)，那么 f (f ()的值是2B.12A.0C.1D.-2答案A解析1 1 1 1 . .八)?)八)0 ;令 x 0，贝U f (0) 0由 xf (x 1)(1x)f(x)得 f (xx 11) f (x)，所以f(5)訂(2)o丄2f3-2125 - 3x5f ( f (-)f(0) 0,应选择 A 2.(2021山东卷理)定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x 4) f(x)，且在区间0,2上是增函数 假设万程f(x)=m(m>0)在区间 8,8上有四个不同的根 捲,x?, X3N

22、，那么Xi x?氏 .答案 -8解析 因为定义在R上的奇函数，满足f (x 4) f (x),所以f (x 4) f ( x),所以，由 f (x)为奇函数，所以函数图象关于直线x 2对称且f (0)0，由 f (x 4) f (x)知f (x 8) f (x),所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f(x)在区间0,2上是增函数 所以f(x)在区间-2,0上也是增函数. 如下图，那么方程f(x)=m(m>0)在区间 8,8上有四个不同的根 治必必凶,不妨设为x： X3 X4由 对称性知 x-ix212x3x44所以x1x2x3x412 48方法十二对数函数的考察3(2021全国卷1文数

23、)(7 )函数f(x) |lgx|假设a b且，f(a) f(b)，那么a b的取值范围是(A)(1,)(B)1,)(C) (2,)(D) 2,)C【命题意图】做本小题时极易无视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b= a - 2 ,从而错选a11D,【解析1】因为f(a)=f(b)，所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或 b -，所以a+b= a -又0<a<b,所以 aa10<a<1<b，令f (a) a由“对勾函数的性质知函数f (a)在a (0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+仁2,a即a+b的取值范围是(2,+x).0 a

24、 10 X 1【解析2】由 0<a<b,且 f(a)=f(b)得：1 b，利用线性规划得：1 y，化为求z x y的取值ab 1xy 1范围问题，z x y y x z，1 yyX121 过点X1,1 时 z 最小为 2,.(C) (2,)4 (2021全国卷1理数)(10)函数f(x)=|lg x|.假设0<a<b,且f(a)=f(b),那么a+2b的取值范围是(A)(2 . 2,)(B)2 . 2,)(C)(3,)(D)3,)分析：杜小題三募君査对数笑數的单调性及值域.饋本小豐时島富視作的取道范围*直捞制用均佢不等式隶澤：= a + ->22,从在辂曲乩这呈侖恿者控曲皓昧.fSj