高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理

1、平面几何中几个重要定理及其证明塞瓦定理1 .塞瓦定理及其证明定理：在 ABC内一点P,该点与 ABC勺三个顶点相连所在的三条直线分别交 ABC三边AB BC CA于点D、E、F,且D E、F三点均不是 ABC的顶点，那么有AD BE CF 1 DB EC FA证明：运用面积比可得AD S adpS ADCDBS BDPS BDC根据等比定理有S ADPS ADCS BDPS BDCADS APC所以：同理可得DBS BPCS ADCS ADPS APCS BDCS BDPS BPC 'BE SAPBCFS BPCEC SAPCFAS APB三式相乘得AD BE CFDB EC FA注：

2、在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高还 是“等底，这样就可以产生出“边之比.2.塞瓦定理的逆定理及其证明不是占八、定理：在 ABC三边AB BC CA上各有一点 D、E、F,且D E、F均ABC的顶点，假设AD BEDB ECCFFA1，那么直线CD AE BF三线共证明：设直线AE与直线BF交于点P,直线CP交AB于点D，那么据塞瓦定理有ADZ BE CFDZB EC FA因为AD BE CFDB EC FA1，所以有ADDBADZDZB 由于点D、D都在线段AB上，所以点D与D重合.即得D、E、F三点共线.注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证.梅涅劳斯定理A

3、3 梅涅劳斯定理及其证明定理：一条直线与 ABC勺三边AB BC CA所在直线分别交于点 D E、F,且D、E、F均不是 ABC的顶点，那么有AD BE CF ,1 DB EC FA证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G.CG 因为CG兀CF CGFA DBEC DBBE ADBE CF AD BE CF / 1EC FA DB EC FAADBECF1AD：BECFiDBECFA D BECFABEADBECF 1AD ad'AD DEAD BC AC DEAB BEAC cdabcd acbeAC DEACEABDAC EBAAEABADAC DAECABEBADCABCC

4、D / /AZBZ B/ BDBCaCA/D 4/AD BC AB CDACCD 'AB 欲证 -DCAEAB即BCCABDAEACDACCBE AC BA B A DDBA DCA AB BD八 AB AZD BC CZDC另一方面,AC ADCDBDAZD BC CZD AC AZD，即证BDCD CZD (AC BDCDAB CD)AZD .即证CDBC CD C/D AD BC A/D ,C/DAD A/D，这是显然的.所以，A/B/ BCfA/C/，即A、B、C共线.所以A/B/B 与BB/C/互补由于A/B/BDAB， BB/C/DCB，所以DAB据条件有AC BD AB

5、CDAD BC ,所以需证与 DCB互补，即A、B C D四点共圆.7.托勒密定理的推广及其证明X CD + BCX AD > ACX BD得 EAB DAC,EAB s DAC .证明：如图，在凸四边形可得 ABX CD = BEX AC(1)AE AB 且 AD AC(2)那么由 DAE CAB及(2)可得 DAE sCAB .于是ADX BC = DEX AC(3)由(1) + (3)可得 ABX CD + BCX AD = ACX ( BE + DE )因为A、B、C D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知ABX CD + BCX AD ACX BD所以BE + DE BD,即得

6、点E不在线段BD上，那么据三角形的性质有 BE+ DE > BD .所以 ABX CD + BCX AD > ACX BD三、西姆松定理8西姆松定理及其证明定理：从 ABC外接圆上任意一点 P向BC CA AB或其延长线引垂线，垂足分别为 D E、F,那么D E、F三点共线.p、所以,cDp + CEP = 1800。而CEP = 90°，所以 CDP = 900，即证明：如图示，连接PC连接EF交BC于点D，连接PD.因为 PE AE, PF AF,所以 A、F E四点共圆，可得FAE = FEP.因为A B、P、C四点共圆，所以=BCP 即 FAE = BCP所以，

7、fep= bcp 即 Dep二可得C D、P、E四点共圆.PD BC由于过点P作BC的垂线，垂足只有一个，所以点 D与D重合，即得DE、F三点共线.注：1采用同一法证明可以变被动为主动，以便充分地调用题设 条件.但需注意运用同一法证明时的唯一性.2反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键，要掌握好四点共 圆的运用手法.四、 欧拉定理9.欧拉定理及其证明定理：设厶ABC勺重心、外心、垂心分别用 字母G O H表示.那么有G O H三点共线欧 拉线，且满足OH 3OG .证明向量法：连B0并延长交圆0于点D。连接CD AD HC,设E为边BC的中点，连接 0E和0C贝yOH OA AH因为CD丄BC

8、, AH丄BC,所以AH / CD .同理 CH / DA .所以，AHCD为平行四边形.从而得AH DC .而DC2OE，所以 AH 2OE .因为0E1 OB OC2所以AH OB OC由得：OH OAOB OC另一方面，OG OAAGOA2GFOA GBGC .而 GB GO OB, GCGOOC，所以OGOA 2GOOCOBOG1 OA OBOC3由得：OH 3OG .结论得证.注：1运用向量法证明几何问题也是一种常用方法，而且有其独特之处，注意掌握向量对几何问题的表现手法；2此题也可用纯几何法给予证明.又证几何法：连接OH，AE,两线段相交于点G ;连BO并延长交圆O于点D;连接CD

9、 AD HC设E为边BC的中点，连接0E和OC如图.因为CD丄BC, AH丄BC,所以AH / CD .同理 CH / DA .所以，AHCD为平行四边形.可得 AH = CD.而 CD = 2OE，所以 AH = 2OE.因为 AH / CD , CD / OE，所以 AH / OE .可得 ahG eoG.所AH AGZ HGZ 2 OE GZE GZO 1 .AG/2由GE 1，及重心性质可知点G就是ABC的重心，即G与点G重合.所以，G O H三点共线，且满足 OH3OG .五、蝴蝶定理dF、QF、dQ.据圆的性质和图形的对称性可知:mFQ = MFP FQm = FPM 且 fF /

10、 AB ，PM = mQ.因为C、D U、F四点共圆，所以CDF + CFF = 180 0,而由 fU / AB 可得 dPF + CFF = 180 0,所以cdF = Qpf,即卩 mdF二 Qpf.又因为 Qpf = pd匚，即 Qpf = m*.所以有mdF= mQfI这说明d、D F/、M四点共圆，即得 MFd = dDM因为 MFd二 MFP所以 MFP = dDM 而 MFP = EDM所以EDM = dDM这说明点 Q与点d重合，即得PM = Md此定理还可用解析法来证明:设直线DE CF的方程分别为x = my + ni, x = my + n 2 ；直线CD EF的方程分别为y = ki x , y = k2 x .那么经过C D、E、F四点的曲线系方程为(y ki x )( y k2 x)+ (x m y - ni)( x m y n2)=0 .整理得(+kik2)x 2+(1+mm)y 2 - ( ki+k2)+(m+m)xy- (ni+n 2) x+ (n im+n2mn)y+ n 2=0.由于 C、D、E、F 四点在一个圆上，说明上面方程表示的是一个圆