高中数学必修5常考题型：简单的线性规划问题

1、简单的线性规划问题【知识梳理】线性规划的有关概念名称意义约束条件变量x, y满足的一组条件线性约束条件由x, y的二兀一次不等式或方程组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x, y的解析式线性目标函数目标函数是关于x, y的二兀一次解析式可行解满足线性约束条件的解x, y可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题【常考题型】题型一、求线性目标函数的最值x+ 2y> 2,【例1】 设变量x, y满足约束条件 2x+ yw 4,那么目标函数z= 3x y的取值范围是4x y> 1,(

2、 )3 aA. 2，6C 1,6B.6,x+ 2y > 2,解析约束条件 2x+ y w 4,所表示的平面区域如图阴影局部，直线y= 3x z斜率为由图象知当直线y=1y= 3x z 经过 B 2，3 时,3z取最小值2,3'z= 3x y的取值范围为 一2，6，应选A.答案A【类题通法】解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解般在可行域的边界上取得在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点.【对点训练】x 4yW 3,1.设z= 2x+ y,变量x、y满足条件 3x+ 5y< 25,求z的最大值和最小值.x> 1,解作

3、出不等式组表示的平面区域，即可行域，如下图.把z= 2x+ y变形为y= 2x+乙那么得到斜率为一2,在y轴上的截距为z,且随z变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线z= 2x+ y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点 B时，截距z最小.x 4y+ 3= 0,解方程组得A点坐标为5,2,3x + 5y 25= 0,x= 1,解方程组x 4y+ 3= 0,得B点坐标为(1,1),'z 最大值=2 X 5 + 2= 12 , z 最小值=2 X 1+ 1 = 3.题型二、求非线性目标函数的最值x y+ 5> 0,【例2】 设x, y满足条件x+ y>0,x< 3.(

4、1) 求u = x2+ y2的最大值与最小值；(2) 求v = -5的最大值与最小值.x 5解(1)x + y2 = u表示一组同心圆(圆心为原点O),且对同一圆上的点x2 + y2的值都相等，由图可知：当(x, y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小.又C(3,8)，所以u最大值=73, u最小值=0.v ='表示可行域内的点P(x, y)到定点D(5,0)的斜率，由图可知，kBD最大，kcD最小,x 5一 3所以v最大值=3 5又 C(3,8), B(3, 3),3 8v最小值=4.23 5【类题通法】非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性

5、目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离 (或平方)，点到直线的距离，过两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果.(2)常见代数式的几何意义主要有： “ x2 + y2表示点(x, y)与原点(0,0)的距离；-x- a 2+ y b 2表示点(x, y)与点(a, b)的距离.yy b 丫表示点(x, y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x, y)与点(a, b)连线的斜率.这些代xx a数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键.【对点训练】x y + 2< 0,2 .变量 x, y满足约束条件x> 1,那

6、么?的最大值是 ，最小值是x+ y 7W 0.解析由约束条件作出可行域(如下图)，目标函数z= y表示坐x标(x, y)与原点(0,0)连线的斜率.由图可知，点 C与0连线斜率最大；59B与0连线斜率最小，又B点坐标为$, ), C点坐标为(1,6),所以koBkoc= 6.故丫的最大值为6,最小值为冒x59答案6 5题型三、目标函数的最值求参数x 2W 0,【例3】 假设实数x, y满足不等式组 y K 0,x+ 2y a > 0,目标函数t = x 2y的最大值为2,那么实数a的值是.解析如右图,、精选0x = 2,由x + 2y a= 0.x= 2,代入x 2y= 2中，解得a=

7、2.a 2答案2【类题通法】求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结 合的思想、方法求解同时要搞清目标函数的几何意义.【对点训练】x y+ 5> 0,3 .x, y满足xw 3,且z= 2x+ 4y的最小值为6,那么常数k =()x+ y+ k> 0.A. 2C. 3 10解析选D 由题意知，当直线z= 2x+ 4y经过直线 x= 3与x+ y+ k= 0的交点3, 3k)时，z最小，所以6= 2X 3+ 4X ( 3 k),解得 k= 0.题型四、简单的线性规划问题的实际应用【例4】 某公司方案在甲、

8、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大， 最大收益是多少万元？解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得x+ y w 300,500x + 200yW 90 000,x> 0,y> 0.目标函数为 z= 3 000x+ 2 000y.x+ y w 300,5x+ 2yw 900, 元一次不等式

9、组等价于x> 0,y> 0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.y、500l 200II.i.Yaodooo100作直线I:3 000x+ 2 000y= 0, 即 3x+ 2y= 0.平移直线I，从图中可知，当直线I过M点时，目标函数取得最大值.x+ y = 300,联立解得x = 100, y= 200.5x+ 2y= 900,点M的坐标为(100,200).'z 最大值=3 000x+ 2 000y = 700 000(元).公司的收益最大,因此，该公司在甲电视台做 100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告,最大收益是70万元.【类题通法】利用线性

10、规划解决实际问题的步骤是：设出未知数当数据较多时，可以列表格来分析数据；列出约束条件，确立目标函数；作出可行域；利用图解法求出最优解；得出结论.【对点训练】4 .铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的 C02的排放量b及每万吨铁矿石的价 格c如下表：ab万吨c白力兀A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，假设要求C02的排放量不超过2万吨，那么购置铁矿石的最少费用为 百万兀.解析：可设需购置 A矿石x万吨，B矿石y万吨，x> 0,y> 0,那么根据题意得到约束条件为：0.5x+ 0.7y> 1.9,x+ 0.5yW 2,目标函数为z= 3x+ 6y,当

11、目标函数经过1,2点时目标函数取最小值，最小值为：z最小值=3 X 1+ 6X 2= 15.答案：15【练习反应】2x y+ 1> 0,1 .z= x y 在x 2y 1< 0,x+ yw 1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为()A.(0,1)B . ( 1,-1)C.(1,0)1 1D . 2, 2解析：选C 可以验证这四个点均是可行解，当x= 0, y= 1时，z= 1;当x= 1, y=1 11 时，z= 0;当 x= 1, y= 0 时，z= 1 ;当 x = 2，y =1 时，z= 0排除选项 A , B, D，应选 C.x+y<1,2.变量x, y满足约束条件

12、x y< 1,那么z= x+ 2y的最小值为()x+ 1> 0,A. 3B . 1C. 5D . 6解析：选C 由约束条件作出可行域如图：1 z z由z= x + 2y得y=只+庁的几何意义为直线在 y轴上的截距,1 z当直线y= x+ 2过直线x= 1和x y= 1的交点A( 1, 2)时, z最小，最小值为5,应选C.yw 2x,3.实数x、y满足 y?一2x,那么目标函数 z= x 2y的最小萝f y=2xx< 3,值是A解析不等式组表示的平面区域如下列图中阴影局部所示.目标函JE数可化为1 1 1y= ?x ?z,作直线y= x及其平行线，知当此直线经过点 Ak-a1时，一2z的值最大，即z的值最小.又 A点坐标为(3,6)，所以z的最小值为3 2X 6= 9.答案：9x+ y<4,4.点P(x, y)的坐标满足条件 y?x,点0为坐标原点，那么|P0|的最小值等于x> 1,，最大值等于.解析：点P(x, y)满足的可行域为 ABC区域，A(1,1), C(1,3) 由图可得，|P0|最小值= R0| =2; |PO|最大值=|CO|= .10.x-1和尸'答案：210x+ y> 35 .x, y满足约束条件，求z= x+ 2y的最小值.2x-