高中数学联赛广东预赛解答最终

1、(考试时间：2021年9月8日上午10 : 0011 : 20)2021年全国高中数学联赛广东省预赛试题、填空题：本大题共 8小题，每题8分，共64分.把答案填在横线上1. 202122021 2021 2021 2021 k2 k 0，那么 k .答案：20212 2 (或 4048142)解:n2 (n 2)( n 1)(n 1)(n 2)2 2 2n (n 4)( n 1)2.函数 f(x) sin(x) sin(x6)cosx 3的最小值等于6答案：1解：因为所以f(x)的最小值为1.3.f(x) 丄，其中a,b为常数，且ab 2假设 f (x) f (-)2x axk为常数，贝y k

2、的值为_._答案：丄.4解：由于是常数，故2a k b，且(a2 4)k b2 1.将b 2ak代入(a2 4)k b2 1整理得(4k2 k)a2 (1 4k) 0，分解因式得(4k 1)(ka2 1) 0.假设 4k 1 0，那么 ka2 1 0， 1因此ab 2ka2 2，与条件相矛盾故4k 1 0，即k -.44.方程32x 3x1 p有两个相异的正实数解，那么实数p的取值范围是.答案：(9, 2).4解法一：令t 3x，那么原方程化为t2 3t p 0.根据题意，方程t2 3t p 0有两个大于1的相异实根.令 f(t)t2 3t p，(3)2 4p 那么 f(1) 12 3 1 ?

3、 1.20,p0,9 p 2.解法二：令y 3x，那么原方程化为y23y0.注意到这个关于y的方程最多有两个解，而由y3x严格单调递增知每个y最多对应一个x，因此所求的p应当使y2 3y p 0有两个相异的实数解y1,y2，且满足3X1%,3迪 卅的两个实 数X1,X2都是正的.由于X1,X2都是正的，故y1,y2都应大于1.由于y y 3，故y23 y1，因此y1必须满足y11， 3y11及y13 y1.因此y1的取值范围为(1,|)U(|,2)因此py2y1(3 yj的取值范围为(9, 2).5.将25个数排成五行五列：a4j ，10,第一仃 a-n , a2, a3, a4, a5成等差

4、数列，而每一列， a?j ， a3j ， a5j (1 j 5)都成等比数列，且五个公比全相等假设a24 4, a412 , a43那么an a55的值为.答案：11解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相 等.由 a412 , a43由 a244 , a44假设q 2，那么a11假设q 2，那么a1110 ( 2)216知公比q2.2 1 , a55 22 s 42 1, a55 22s 410 知 a424且公差为6，故创44 11，故 an a55(2)4 ( 11)，故 a-16, a4511 ；22.a5511.6.设点P在曲线yex上，点Q在曲线y ln(2

5、x)上，贝U PQ的最小值为解：x2(1 In 2).函数y - e上的点P(x, ex)到直线y x的距离为d2 2Ag(x)min 1 山 2设函数 g(x) 1 ex x g (x) ex 12 2由图象关于y x对称得：PQ最小值为2dmin.2(1 In 2).7将2个a和2个b共4个字母填在4X 4方格表的16个小方格内，每个小 方格内至多填一个字母，假设使相同字母既不同行也不同列，那么不同的填法种数 共有._答案：3960解：使得2个a既不同行也不同列的填法有 CX 72种，使得2个b既不同 行也不同列的填法有72种，故由乘法原理，这样的填法共有722种.其中不合要求的有两种情况

6、：2个a所在的方格内都填有b的情况有72种; 2个a所在的方格内恰有1个方格填有b的情况有 睥心2 16 72种.所以，符合条件的填法共有722 72 16 72 3960种.8. 一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156，那么该梯形的周长为 ._答案：16 2、13.解：设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，那么梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为 h2b 1 h2(a b) 1 h2 (a 2b)，因此-h2(a 2b) 112，即333h2(a 2b) 3

7、36.同理有h2(2a b) 240，两式相除得 乞空 鰹 7，去分母化2a b 240 5简得 b 3a，代入 h2(a 2b)336得 ah248 .注意到直角腰长等于高h,梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为1h(a2 ab b2) 156.将b 3a代入化简得a2h 36.结合ah2 48可解 3得a 3,h 4，因此b 9，由勾股定理知另一条腰的长度为 .42 (9 3)2 2、13，因此梯形的周长为3 9 4 2,1316 2.13.二、解答题：本大题共 3小题，共56分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.2 21.(本小题总分值16分)设椭圆 笃+笃=1(a&

8、gt;b>0)的左、右顶点分别为A,B，a b点P在椭圆上且异于 A, B两点，0为坐标原点.假设|AP|=|OA|，证明：直线0P的斜率k满足|k|解法一：设 P(acos ,bsin )(02 ),A( a,0).由 | AP | |OA|，有.(acos a)2 (bsin )2 a，即 a2cos22a2 cosb2sin20 .从而1 cos2 2 a cos0,2 2 22a cos b sin2 sin所以,cos.2 . 2 口 b sin 0，,且.22a cos23.cos所以,|k|解法二：设bsi nacos1 2cos3.16分P(acos , bsin )(0

9、2 ).那么线段OP的中点Q(-acos ，-sin2).|AP|=|OA| AQ OPkAQ k1.akAQ cos2akAQ .16分,bsi n,.kAQbsin2a a cos|kAQ |2(本小题总分值 20 分) 设非负实数 a ， b，c 满足 a b c 3. 求 的最大值 .解：不妨设 a b c. 显然有 b bc c b ， c ca a a .5分 根据AM-GM不等式可得15分 所以 S 的最大值为 12，这时 a,b,c 2,1,0 .20分3(本小题总分值 20 分)求出所有的函数 f : N* N* 使得对于所有 x ， y N , (f(x)2 y都能被 f(y) x2 整除.解：根据题目的条件，令 x y 1，那么 ( f (1)2 1能被 f (1) 1 整除 .因此(f (1)2f(1)能被f (1) 1整除，也就是f (1)(f (1) 1)能被f (1) 1整除.因为f(1)与f (1) 1 互素，所以 f (1) 1 能被f(1) 1整除，且 f