第08章 非正弦周期电流电路

1、第第8章章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路主讲教师主讲教师 齐超齐超本章目次本章目次 本章介绍傅里叶级数及应用傅里叶级数和叠加定本章介绍傅里叶级数及应用傅里叶级数和叠加定理分析非正弦周期电流电路的方法，讨论非正弦周期电理分析非正弦周期电流电路的方法，讨论非正弦周期电流、电压有效值和平均功率的计算。流、电压有效值和平均功率的计算。 提要 8.1非正弦周期电流和电压2 ） 非正弦周期电压源或电流源（例如方波、锯齿波）非正弦周期电压源或电流源（例如方波、锯齿波） 引起的响应也是非正弦周期量，引起的响应也是非正弦周期量，如何求响应？如何求响应？引起的电流便是非正弦周期电流，引起的电流便是非正弦周

2、期电流， 解解决方法是决方法是？1 ） 当电路中有多个不同频率的电源同时作用，如图所示当电路中有多个不同频率的电源同时作用，如图所示 图图 不同频率电源作用的电路不同频率电源作用的电路基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。根据叠加定理，分别计算不同频率的根据叠加定理，分别计算不同频率的响应，然后将瞬时值结果叠加。响应，然后将瞬时值结果叠加。3 ） 有非线性元件引起的非正弦周期电流或电压。例如，由半波有非线性元件引起的非正弦周期电流或电压。例如，由半波整流，全波整流得到的电压，电流整流，全波整流得到的电压，电流这些非正弦周期函数首先分解为不同频率的傅里叶级

3、数，然后求这些非正弦周期函数首先分解为不同频率的傅里叶级数，然后求解不同频率的正弦激励的响应，最后解不同频率的正弦激励的响应，最后将瞬时值结果叠加将瞬时值结果叠加 。响应也是非正弦周期量，响应也是非正弦周期量，如何求响应？如何求响应？周期为周期为T ，角频率为，角频率为的周期函数的周期函数 f ( t ) 可表示为可表示为 2, 1, 0)()(kkTtftf当其满足狄里赫利条件即：当其满足狄里赫利条件即：1) f ( t ) 在任何一个周期内，连续或存在有限个间断点；在任何一个周期内，连续或存在有限个间断点；2) f ( t ) 在任何一个周期内，只有有限个极大值和极小值；在任何一个周期内，

4、只有有限个极大值和极小值； 3) 在任何一个周期内，函数绝对值的积分为有界值，在任何一个周期内，函数绝对值的积分为有界值，存在即ttfTd)(08.2周期函数分解为傅里叶级数01( )cos()sin()(8.1)kkkf tAaktbkt基本要求：掌握傅里叶级数的三角形式，理解谐波概念。基本要求：掌握傅里叶级数的三角形式，理解谐波概念。01( )cos()sin()(8.1)kkkf tAaktbkt0mm1( )coscos()sinsin()kkkkkf tAAk tAk t0m1cos()(8.6)kkkAAkt(8.1)、(8.6)式比较，得式比较，得mcoskkkaAmsinkkk

5、bA 22mkkkAabarctankkkba00201( )d1( )d()2TAf ttTf tt2/2Tf是角频率是角频率, T是是 f ( t )的周期。的周期。0202( )cos()d1( )cos()d()Tkaf tkttTf tktt0202( )sin()d1( )sin()d()Tkbf tkttTf tktt0m1( )cos()(8.6)kkkf tAAkt将周期函数分解为恒定分量、基波分量和各次谐将周期函数分解为恒定分量、基波分量和各次谐 波的方法。波的方法。谐波振幅谐波振幅 Amk 随角频率随角频率 k变动的情形如图变动的情形如图8.3所示所示 图中竖线称为谱线，

6、长度表示图中竖线称为谱线，长度表示Amk的量值；的量值；相邻两谱线的间隔等于基波角频率相邻两谱线的间隔等于基波角频率。这。这种谱线间具有一定间隔的频谱称为离散种谱线间具有一定间隔的频谱称为离散频谱。频谱。同样可以画出相位频谱，用以表同样可以画出相位频谱，用以表示各次谐波的初相示各次谐波的初相 随角频率随角频率k变动变动的情形。的情形。k恒定分量（直流分量）恒定分量（直流分量）m1A1 k =1 基波；基波； 基波振幅基波振幅 ， 基波初相基波初相k =2,3, 等等 分别称为二次，三次谐波，统称为高次谐波分别称为二次，三次谐波，统称为高次谐波由于傅里叶级数是收敛的，一般谐波次数越高，振幅越小由

7、于傅里叶级数是收敛的，一般谐波次数越高，振幅越小TtTTtAtf2/, 02/0,)(当当/2001d2TAAA tT根据下式求根据下式求A0、ak 和和 bk 200011( )d( )d()2TAf ttf ttT20021( )cos()d( )cos()d()Tkaf tkttf tkttT20021( )sin()d( )sin()d()Tkbf tkttf tkttT/2/200/2022cos()dcos()d()222sin()sin()02TTkTAaAkttktktTk TAAktkk Tk T/2/20022sin()d( cos)2(1,3,5,)(1 cos )0(2

8、,4,6,)TTkAbAkttktTk TAkAkkkk 所给波形在一个周所给波形在一个周期内的表达式：期内的表达式： 解例题8.1因为因为ak=0，所以所以 于是得到于是得到 m,90kkkAb 211( )cos(90 )cos(390 )cos(590 )235AAf tttt211(sinsin3sin5)235AAttt121sin(21)221nAAntn说明说明: 式中引入新的正整数式中引入新的正整数 n 以区别原来的正整数以区别原来的正整数 k 。 图图8.4 周期性方波周期性方波这一方波的分解情况如图这一方波的分解情况如图8.5所示所示图8.5 周期性方波的波形分解 直流直流

9、分量分量基波基波分量分量3 次谐次谐波分量波分量图图8.6 周期性方波的振幅频谱和相位频谱周期性方波的振幅频谱和相位频谱傅里叶级数式傅里叶级数式01( )cos()sin()kkkf tAaktbkt只含有正弦项只含有正弦项, 不含恒定分量和余弦项不含恒定分量和余弦项,因为恒定分量和余弦项都是偶函数因为恒定分量和余弦项都是偶函数. 3.1 f (t)为奇函数如图为奇函数如图)(tftOT2/T 周周 期期 性性 奇奇 函函 数数 3. 周期函数周期函数的波形与傅里叶系数的关系的波形与傅里叶系数的关系傅里叶级数中只含有余弦项和恒傅里叶级数中只含有余弦项和恒定分量定分量(当当A00时时), 而没有

10、正弦项而没有正弦项, 这是因为正弦项都是奇函数。这是因为正弦项都是奇函数。0,00 0kkbaA，有即即 时，函数关时，函数关于原点对称，于原点对称，( )( )ftf t 0,0kkba3.2 f (t)为偶函数，即为偶函数，即 函数函数对称于纵轴，如图对称于纵轴，如图 周周 期期 性性 偶偶 函函 数数()( )f tf t3.3 f(t)为镜像对称函数如图为镜像对称函数如图上下半波镜像对称的函数上下半波镜像对称的函数 022kkba展开式中只有奇次谐波。展开式中只有奇次谐波。计算计算奇次谐波系数，只需计算半个奇次谐波系数，只需计算半个周期内积分周期内积分 2004( )cosdTnnaf

11、 tn t tnT为偶数为奇数2004( )sindTnnbf tn t tnT为偶数为奇数 说明：说明： 奇、偶函数与计时起点有关，奇、偶函数与计时起点有关，奇次谐波函数与计时起点无关奇次谐波函数与计时起点无关 级数收敛快慢与波形光滑程度级数收敛快慢与波形光滑程度及接近正弦波程度有关及接近正弦波程度有关 当存在上述任何一个条件时，当存在上述任何一个条件时，谐波分析可简化如下：谐波分析可简化如下： a 不必计算等于零的系数不必计算等于零的系数 b 计算非零系数时，积分区间计算非零系数时，积分区间可减半，同时积分式乘以可减半，同时积分式乘以2。 即 ，A0=0 ()(2)f tf t T40/4

12、( )()AtTf ttT 当时2811( )(sinsin3sin5)925Af tttt得解解 f (t)=-f(-t)，A0=0，ak=0，只需求只需求 bkf (t)=-f (tT/2)，展开式中只有奇次谐波，展开式中只有奇次谐波 有两个对称条件，可在有两个对称条件，可在T /4内积分，并乘以内积分，并乘以4 /4/4004 284( )sin()dsin()dTTkAbf tktttkttTTT2222228,1,5,9,8sin82,3,7,11,AkAkkAkkk当当三角波的振幅频谱如图所示三角波的振幅频谱如图所示 三角波的频谱图三角波的频谱图其谐波振幅与其谐波振幅与k2成反比。

13、成反比。)(tft2T4T2TAO代入代入01( )(cossin)kkkf tAaktbkt f ( t )的波形图的波形图 f ( t )的傅里叶级数的傅里叶级数 )()sin15sin513sin31(sin4)(为奇数ktkktttAtf)sin1sin331sin221(sinA-2A)(tkkttttf21()(sincossin2cos221sin3cos)3AftAttt f ( t )的波形图的波形图 f ( t )的傅里叶级数的傅里叶级数 )(sin)1(5sin2513sin91(sin8)(2212为奇数ktkktttAtfk241()(sinsinsin3sin391

14、1sin5sin5sinsin)25()Afttttkktkk为奇数)()cos) 1)(1(24cos1522cos32cos21 ()(为偶数ktkkktttAtf1当给出函数当给出函数 f ( t ) 在一个周期内的表达式，便可以直接代入上在一个周期内的表达式，便可以直接代入上式计算有效值。式计算有效值。 8.3非正弦周期量的有效值 平均功率补充补充8.2 计算图示方波的有效值计算图示方波的有效值解解 写出所给波形在一个周期内写出所给波形在一个周期内的表达式的表达式TtTTtAtf2/, 02/0,)(当当201 ( ) d(8.11)TAf ttT/2201d2TAUAtT基本要求：透

15、彻理解非正弦周期量有效值和平均功率的定义。基本要求：透彻理解非正弦周期量有效值和平均功率的定义。2正弦级数形式求有效值正弦级数形式求有效值00m11( )cos()sin()cos()kkkkkkf tAaktbktAAkt设代入式代入式 得得 201 ( ) dTAf ttT20m011cos() dTkkkAAAk ttT根据：根据： 2001dTAtT22m011cos ()dTkkkAkttT0m011cos()dTkkkAAkttTmm0111cos()cos()d?()TkkkkkkA AktkttkkT222220m01211(8.17)2kkAAAAAA即有20;A1m12m2

16、/2/2AAAA式中、分别称为基波、二次谐波分别称为基波、二次谐波的有效值的有效值 式式(8.17)表明任意周期量的有效值等于它的恒定分量、基波分量与表明任意周期量的有效值等于它的恒定分量、基波分量与各谐波分量有效值的平方和的平方根，与各次谐波初相无关。各谐波分量有效值的平方和的平方根，与各次谐波初相无关。2m112kkA00设一端口网络的端口电压、电流取关联参考方向，则其输入的瞬时设一端口网络的端口电压、电流取关联参考方向，则其输入的瞬时功率为功率为 p=u i 其其平均功率平均功率就是瞬时功率在一周期内的平均值，即就是瞬时功率在一周期内的平均值，即0011dd(8.18)TTPp tui

17、tTT0m1cos()kukkuUUk t设0m1cos()kikkiIIk t0m0m001111dcos()cos()dTTkukkikkkPui tUUk tIIk ttTT则有已知周期电流已知周期电流 ，求其有，求其有效值。效值。A)502cos(42. 0)20cos(707. 01 tti例题8.222211(1)(0.707)(0.42) A1.16A22I 解0001dTU ItT0m011cos()dTkikkUIkttT0m011cos()dTkukkIUkttTmm0111cos()cos()dTkkukikkkUIktkttTmm011cos()cos()dTkkuki

18、kkUIktkttTmm001cos22kkkkUIU I10100coskkkkkkPPIUIU式中式中 Uk 、I k分别为第分别为第 k 次谐波电压和电流的有效值，次谐波电压和电流的有效值， 为第为第 k 次谐次谐波电压与电流间的相位差波电压与电流间的相位差k0m0m0111cos()cos()dTkukkikkkPUUk tIIk ttT已知某无独立电源的一端口网络的端口电压、电流为已知某无独立电源的一端口网络的端口电压、电流为V)102cos(6 .56)30cos(6 .8450ttuA)502cos(424. 0)20cos(707. 01 tti求一端口网络输入的平均功率。求一

19、端口网络输入的平均功率。 84.60.70756.60.42450 1cos(3020 )cos(1050 )78.42W2222P 例题8.3解解解 电流电流 i 的有效值的有效值22221(1.57/2)(0.67/2)(0.13/2)1.57AI 平均功率平均功率94.21.57cos 90( 90 )73.95W22P 电流为非正弦周期量电流为非正弦周期量 。V)90cos(2 .94ituA)4cos(13. 0)2cos(67. 0)90cos(57. 11 ttti补充补充8.3 设图示电路中正弦电压设图示电路中正弦电压 ，由于二极管，由于二极管，试求电流试求电流i的有效值和此二

20、端电路输入的平均功率。的有效值和此二端电路输入的平均功率。 2221005025(1)()()() V80.01V222U 解222802010()()() mA58.74mA222I 100 8050 2025 10(2)cos( 45 )cos0cos45 kW3.42kW222P N+ui补充补充8.4 图示电路中，已知图示电路中，已知u=100cos(t/s 45 )+50cos(2t/s)+25cos(3t/s+45 )V ,i=80cos(t/s)+20cos(2t/s)+10cos(3t/s)mA。 (1)求一端口网络求一端口网络N的电压的电压u和电流和电流i的有效值。的有效值。

21、 (2)求一端口网络求一端口网络N消耗的平均功率。消耗的平均功率。 (3)求各频率时求各频率时N的输入阻抗。的输入阻抗。(1)310045(3)k1.2545 k80 010Z (2)50 0k2.5k20 0Z (3)25 45k2.5 45 k10 0Z 10V0.4A ( 0)uittTT 解00110.4d10d W2WTTPui tt tTTT0.40.40.41(sinsin2)22itttT或0 00.410W2W2PU I补充补充8.5 求图（求图（a）负载吸收的功率）负载吸收的功率, 电流波形如图（电流波形如图（b）所示）所示uiV10负载网络负载网络TitA4 . 0（a）

22、（b） 线性电路在非正弦周期激励时的稳态分析步骤：线性电路在非正弦周期激励时的稳态分析步骤： 1LkX1) 把给定的非正弦周期性激励分解为恒定分量和各谐波分量。把给定的非正弦周期性激励分解为恒定分量和各谐波分量。 2) 分别计算电路在上述恒定分量和各谐波分量单独作用下的响应。分别计算电路在上述恒定分量和各谐波分量单独作用下的响应。求恒定分量响应要用计算直流电路的方法；求各次谐波分量的响求恒定分量响应要用计算直流电路的方法；求各次谐波分量的响应，则要应用计算正弦电流电路的方法（相量法）。应，则要应用计算正弦电流电路的方法（相量法）。其中，电感、电容对其中，电感、电容对k次谐波的电抗分别为次谐波的

23、电抗分别为 LkXk LXL1为基波感抗为基波感抗 1CkXk C XC1为基波容抗为基波容抗 3) 根据叠加定理，把恒定分量和各谐波分量的响应相量转化为瞬根据叠加定理，把恒定分量和各谐波分量的响应相量转化为瞬时表达式后进行叠加。时表达式后进行叠加。8.4非正弦周期电流电路的计算基本要求：熟练掌握用叠加定理分析非正弦周期电流电路的方法。基本要求：熟练掌握用叠加定理分析非正弦周期电流电路的方法。11CXk例题8.4图示电路图示电路 .(1)求电流源的端电压求电流源的端电压u及其有效值；及其有效值；(2) 求电流源发出的平均功率。求电流源发出的平均功率。rad/s10,A)cos222(,Vcos

24、220,V1021tituUSSS(a)解直流分量作用，电路直流分量作用，电路模型如图模型如图(b)所示所示 （b）V14A22V100UA210jV2010j1)4 j2(11U120 90 VU 解得交流分量作用相量模型如图交流分量作用相量模型如图(c)所所示。节点法求电流源端电压相量示。节点法求电流源端电压相量（c）电流源的端电压及其有效值分别为电流源的端电压及其有效值分别为011420 2cos(90 )VuUutV4 .24V)20()14(222120UUU电流源发出的平均功率电流源发出的平均功率0122cos(900 )(14 220 2cos90 )W28WPUU 补充补充8.

25、6图图(a) 所示电路，电源电压所示电路，电源电压求各支路电流和电源发出的平均功率；在求各支路电流和电源发出的平均功率；在 支路串一电磁式仪表，支路串一电磁式仪表，计算该表读数。计算该表读数。( )10 100 2cos50 2cos(330 )Vu tttmH2,F100,4,10rad/s,100021LCRR2Ru(t)R1R2ii1i2CL解解 1）非正弦周期电源的傅氏级数形式已给定）非正弦周期电源的傅氏级数形式已给定 2) U0=10V单独作用，电路如图单独作用，电路如图(b) 01(0)2(0)(0)2(0)2100;A2.5 A;2.5 A4UIIIIR（b）R2U 0+-I（0

26、）I1 (0)I2 (0)(1)1631100 0 V1110;1000 100 101000 2 102CLUXCXL (1)1(1)1100 0A7.07 45 A1 j10j10UIRC(1)2(1)2100 0A22.3726.57 Aj4j2UIRL(1)1(1)2(1)25.4911.3 AIII电压源基波单独作用，如图（电压源基波单独作用，如图（c）( )cR1R2CL(1)I1(1)I(1)U2(1)I(3)313150 30 V11033 26CCLLUXXkXk X (3)1(3)13(3)2(3)234.74 48.42 A+j6.9326.31 AjCLUIRXUIRX

27、(3)1(3)2(3)9.37 2.94 AIII( )dR1R2CL(3)I1(3)I(3)U2(3)I127.07cos4524.74cos 348.42Aitt22.5222.37cos26.5726.93cos 326.31Aitt2.5225.49cos11.329.37cos 32.94AittW2942coscos3)3()3(1) 1 () 1 (00IUIUIUp电源发出的功率：在在R2支路串一电磁式电流表，指针偏角支路串一电磁式电流表，指针偏角 即所测为有效值即所测为有效值 TtiT02d1A55.232)3(22) 1 (22)0(22IIII3) 瞬时叠加瞬时叠加 1(

28、1)7.07 45 AI1(0)2(0)(0)0 ;2.5 A ;2.5 AIII2(1)22.3726.57AI(1)25.4911.3 AI1(3)2(3)4.74 48.42 A6.9326.31 AII(3)9.37 2.94 AI补充补充8.7 图示电路中图示电路中iS=2+cos(104t/s)A , uS=2cos(104t/s+90 )V。 (1) 求两电源发出的功率之和。求两电源发出的功率之和。 (2) 求求i L及其有效值。及其有效值。 解解 电流源直流单独作用时电流源直流单独作用时 0SO11A ,2LII 200.52 W2WP 列回路列回路 KVL 方程方程 A022

29、V,2jSSIU+ 50F10.2mH1SiLiSu122 A2j0.75 2A1.76736.87 AII 解得12(2j2)j22 2 10II 122j2(2j-j2)j2j 22II两电阻交流作用下吸收功率和为两电阻交流作用下吸收功率和为 22111S11120.5W2.5 WPIII 两电源发出功率和为两电源发出功率和为 W5 . 410PPP112j1.06 ALIII4221 1.5cos(10 t/s90 ) A( 1)1.06 A1.458 ALLiI 故1I2I正弦电源作用时正弦电源作用时1212( )108cos()V,50,50u ttRRLL 40M补充补充8.8图示

30、电路中图示电路中,。求两电阻吸收的平均功率和电源发出的平均功率。求两电阻吸收的平均功率和电源发出的平均功率。 解解 当直流单独作用时当直流单独作用时, 电感电感L1相当于短相当于短路路, 并且在二次侧不会产生感应电压，二并且在二次侧不会产生感应电压，二次回路电流为零。次回路电流为零。 A2 . 050V101)0()0(1RUI0)0(2I 当基波单独作用时当基波单独作用时 0)j(j028j)j()1(222)1(1)1(2)1(111ILRIMIMILRA84.17043. 0A26.27076. 0)1(2)1(1II解得解得电阻电阻R1吸收的平均功率吸收的平均功率W29. 250)07

31、6. 02 . 0(2212)1(112)0(11RIRIP 电阻电阻R2吸收的平均功率吸收的平均功率W092. 050043. 0222)1(22RIP电源发出的平均功率电源发出的平均功率W382. 221PPP图图(a)中中LC构成滤波电路，其中构成滤波电路，其中L=5H，C=10F。设输入为工频正弦。设输入为工频正弦经全波整流电压，如图经全波整流电压，如图(b)所示，电压振幅所示，电压振幅 ，负载电阻，负载电阻R=2000。求电感电流。求电感电流 i和负载端电压和负载端电压ucd。 m150VU解(1)图（图（b）电压的傅里叶级数为）电压的傅里叶级数为 mab4111(coscos2)2

32、31595.545 2cos(180 )9 2cos(2180 )VUutttt(2)分别计算电源电压的恒定分量和各次分别计算电源电压的恒定分量和各次交流分量引起的响应。交流分量引起的响应。恒定电压作用时电感相当于短路，电恒定电压作用时电感相当于短路，电容相当于开路，故容相当于开路，故0cd095.5V0.0478A;95.5V2000IU电压基波作用。此时基波角频率应为电压基波作用。此时基波角频率应为 2 100 rad/sRC并联电路的阻抗为并联电路的阻抗为 4 .851584 j12000j1)j/(1)j/(cd1CRRCRCRZ例题8.5dcba145 180 V0.0151 90

33、A2980 90I由此得V6 . 439. 2A900151. 04 .851581cd1cd1IZU 二次谐波的作用角频率加倍二次谐波的作用角频率加倍7 .87798 j120002 j1cd2RCRZ2cd2j2j20007987.76280 90ZLZA9000143. 0906280V18092Icd2cd2 27987.70.00143 900.113 2.3 VUZIV)1802cos(29)180cos(2455 .95abttucd115885.4Z12980 90Z 00.0478AI V5 .95cd0Uab端口的输入阻抗端口的输入阻抗902980)158j6 .12(1000j jcd11ZLZdcba(3) 把相量变化为瞬时表达式叠加。把相量变化为瞬时表达式叠加。 01247.8 15.12cos(90 ) 1.432cos(290 )mAiIiittcdcd0cd1cd295.52.392cos(4.6 )0.1132cos(22.3 )VuUuutt说明说明:负载电压负载电压ucd中最大的谐波，即基波有效值仅占恒定分量中最大的谐波，即基波有效值仅占恒定分量的的2.5%，表明这个，表明这个LC电路具有滤除各谐波分量作用电