2021年高考试题真题——数学(理)(全国乙卷)Word版含解析

1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答 案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 =123,4,5,集合 = 1,2,N = 3,4,则Q(MuN)二()A. 5B. 1,21,2,3,42.设设=4 +31,则 Z

2、=()A. -3-41B. -3 + 41C. 3,4D.C. 3-41D. 3 + 413.已知命题：命题, e|Ml > 1 >则卜列命题中为真命题的是a.八 qb.nc.pLqd.（pvg）YY4 .函数x） = sin； + cos：的最小正周期和最大值分别是（）A.3% 和B.3兀和 2C.671 和D.6兀和 2%+y 2 4,5 .若my满足约束条件则z = 3x+y的最小值为（）A. 18B. 10C. 6D. 4,71, 5兀6. coscos =(1212A 1b 6c 版2327.在区间（0,上随机取1个数,则取到的数小于二的概率为（）1 2332A. B43

3、8.卜列函数中最小值为4的是（）A. y = x，+2x+4C. y=2' +22T1 D.-6D. y = lnx+lux1 x9,设函数/（X）=一，则下列函数中为奇函数的是（）1 + XD.x+l)+l10 .在正方体ABCO-Aqca中，p为4的中点，则直线总与ar所成的角为（）11 .设8是椭圆。：工+寸=1的上顶点，点尸在C上，则PB的最大值为（） 5 .A. -B. 6C. yfsD. 212 .设。0,若x = a为函数/（）=4（一（.1一）的极大值点，则（）A. a<bB. a >bC. ab < a2D. ab > a2二、填空题：本题共4

4、小题，每小题5分，共20分.13 .已知向量=（2,5）» =（九4）,若2）,则4=14 .双曲线二一二=1的右焦点到直线4十2），- 8 = 0的距离为4515 .记aABC的内角A, B,。的乂寸边分别为a, b, c,面积为J?, 3 = 60。，a2+c2=3ac,则b=16.以图为正视图,在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三极锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.图图三、解答题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作 答.（一）必

5、考题，共60分.17 .某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一 台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如卜.：旧设备9.810310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和y，样本方差分别记为s；和S）求1 V » 5', 5；J一（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y-I>2j51 >则认为新设备生产产品的该项指标

6、的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.如图，四棱锥P-A6c。的底面是矩形，。，底面46。，M为5c的中点，且PB1 AM .（1）证明：平面平面尸80；（2）若PO = QC = 1,求四棱锥尸一ASC。的体积.19 .设依是首项为1的等比数列，数列“满足"=等.已知%, 3%, 9%成等差数 列.（1）求,和色的通项公式：Q（2）记S”和7；分别为«“和也的前项和.证明:7；, <-A.20 .已知抛物线C:）尸=2PMp > 0）的焦点F到准线的距离为2.（1）求C的方程；（2）已知。为坐标原点，点P在。上，点。满足P0 = 9Q户，求直

7、线。斜率的最大值.21 .已知函数/（大厂3 - V+ar+l.（1）讨论f（x）的单调性;（2）求曲线y = /（x）过坐标原点的切线与曲线y = /（x）的公共点的坐标.（二）选考题:共1。分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做.则按 所做的第一题计分.选修44:坐标系与参数方程22 .在直角坐标系中，OC的圆心为c（2.1）,半径为1.（1）写出OC的一个参数方程；（2）过点尸（4,1）作OC的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求这两条切线的极坐标方程.【选修4-5:不等式选讲23 .已知函数/（工）=上一。| +卜+3 .（1）当 =1时，求不等式

8、f（x）N6解集；（2）若/（x）F,求a的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案解析一、选择题：1 .A解析：由题意可得：A/UN = L2,3,4,则L(MUN)= 5.故选A.2 . C解析： hr u4 + 3/ (4 + 3/)/ 4/-3由题意可得：Z =； = 3-4/.i i2 -1故选C.3 . A解析：由于-IWsinxVl,所以命题为真命题：由于卜|20,所以e'Nl，所以命题q为真命题：所以。人“为真命题，f 八q、P八7、(pvq)为假命题.故选A.4 .C解析：由题，/(x) =+ ?.所以/(X)的最小正周期为，一一一6”,最大值为故

9、选C.5 .C解析：由题意，作出可行域，如图阴影部分所示,y = 4/、由 可得点4(1,3),转换目标函数Z = 3x+ y为y = -3x+ Z ,此时 Jn=3xl + 3 = 6.故选C.6.D解析：、冗r 5乃、2由题意，cos- - - COS- - = COS- -=COS =62故选D.7.B解析：I-设。="区间0,-随机取1个数” 2A= "取到的数小于;" =1x|0<xT ,（乃 九、 ，乃 .、兀 cost= cos-sin" 22 12）1212= LvO<x<-k12J<,所以（川=耦=七=: 2上下

10、平移直线 = 3x+z,数形结合可得当直线过点A时,z取最小值,故选：B.8 .C解析：对于A,），= J + 2x + 4 = （x + l + 3N3,当且仅当/ = 一1时取等号，所以其最小值为3, A不符合题意：对于B,因为0<卜111闻41, > =卜11】刀卜温12 2a = 4,当且仅当卜in. = 2时取等号, 等号取不到，所以其最小值不为4, B不符合题意：对于C,因为函数定义域为R,而2>0, y = 2x + 2对于D, /（x+l） + l =-定义域不关于原点对称，不是奇函数.x + 2故选B 10. D-x = 2x + -> 2>/4

11、 = 4 ,当且仅当22、=2,即戈=1时取等号，所以其最小值为4, C符合题意：对于D, y = liix+ ,函数定义域为（O）U（l,+8），而lnx£/?且InxwO,如当 hi x111X = -1, y = -5, D不符合题意.故选c.9 . B解析：1 Y2由题意可得/（X）= - = -1 + -，1 + X1 + X2对十a, y（X1）1 =2不是奇函数；X2对于B, /（犬-1） + 1 =；是奇函数：2对于C, /（x+l）-l = -2,定义域不关于原点对称，不是奇函数：X + Z如图，连接BCg,PB,因为所以4PBe或其补角为直线PB与AD、所成的角，

12、因为8q_L平面4dc】A，所以84_1尸6；,又PGBQi，sqcqR = a，所以PG_L平面尸64，所以PQ1PB,设正方体桢长为2,则BQ = 2a、PQ = g=& ,pr 1-smZPBC =-,所以NP8G=z.nCj z6故选D解析：设点P（玉）,%），因为5（0,1）,工+），； = 1,所以526二4+（0-1=5（1-，；）+（y0-1' 二一4丁：一2儿+ 6 = -4（/一+个,2）4而所以当£ =；时，|尸5|的最大值为故选A.12. D解析：若。= /?,则x） = "x a）3为单调函数，无极值点，不符合题意，故依期意，x =

13、 a为函数/") = 4(1一4"一)的极大值点，当“<0时，由工，/(x)<0,画出x)的图象如下图所示:由图可知 <，”<0，枚ab > a° .当a>0时，由时,/(x)>0.画出x)的图象如下图所示:由图可知>，a0,故ab>a2.综上所述，成立.故选D二、填空题：13.答案：I 解析:由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4-2x5 = 0,Q 解方程可得：A = -.故答案为§14.解析:距离为由己知，="?Z = 3,所以双曲线的右焦点为(3,0), 所以右焦点(3,0)到

14、直线工+2)，- 8 = 0 故答案为615.答案：2应解析：由题意，S ARC = f/csinB = = >/3 » 6bc 24所以ac = 4,k+c2 = 12， 所以/ =/ + c、2accosS = 12-2x4x； = 8 ,解得 =2应(负值舍去).故答案为2J5.16.(3)©解析：选择侧视图为，俯视图为，Z)1如图所示，K方体人BCD-AUGe中，AB = BC=2,BB1,E，F分别为棱4C，8c的中点，则正视图，侧视图，俯视图对应的几何体为三棱锥七-4。尸.故答案为：.三、解答题.（一）必考题：17.答案：（1） x = 10 = 10.3

15、,5； =0.036,5； =0.04： （2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高.解析:一 9.8 + 103 + 10+10.2 + 9.9 + 9.8 + 10 + 10.1+10.2 + 9.7 ，八(1) x= 10,104 + 104+10.1+10+10.1 + 103+10.6+10.5 + 10.4+10.510= 10.3,- 0.22 + 032 + 0 + 0.22 + 0. F + 0.22 + 0+0.P + 0.22 + 0.325;=110=0.036 >e 0.22 + 0.12 + 0.22 + 032 + 0.22 + 0 + 0.3

16、? + 0.22 + 0.12 + 0.22 八3, = U.U4 10(2)依题意，y-x = 0.3 = 2x0.15 = 2V0.15: =2>/o.O25 » 2J0 0360 04 = 270.038，y-x<2二，所以新设备生产产品的该项指标的均值依旧设备没有显著提高.解析：因为q是首项为1的等比数列且可，3%, 9%所以6a2 = q + 9%，所以6qq = q + 9a«7,RD 0zr_6/+l = n.解汨=一.所以，成等差数列, a答案：(1)尸，" = *: (2)证明见解析.所地=号=奈(2)证明：由(1)可得S,：丁 12

17、n-1 nn 3 323”t 312n-13? ' 33 ' 1 y 13" r1x(1-白 31=j = (1 ),I 12 33，含，18.答案：(1)证明见解析：(2) Y2.3解析：(1)因为POJ.底面 A6CO, AM u平面46。，所以PO_L A何，又PS_LAM, PBCPD = P ,所以AA/J,平面PM,而AA/u平面04M,所以平面PAM _L平面P8Q.(2)由(1)可知，AM _L 平面尸8。，所以 AM ± BD,从而DAB,设5M = x ,AD = 2x,则器=空，即2/=1,解得工=巫，所以4。=应.因为底面 AB AD

18、2ABCD,故四枝锥P-A6co的体积为丫 = gx(lxjl)xl = ¥.3一得=g+/+/+'+/一捻 所以北=（Q_）一片，所以1_& = -(1-)- - -(1-) = _-<0, “ 243"23 43"23网V所以北寸19.答案：（1）y:=4x； （2）最大值为，解析：（1）抛物线C»J=2pHp>0）的焦点尸，,0 ,准线方程为工=一亨, 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为齐（，卜p = 2,所以该抛物线的方程为=4x ；（2）设。（%,%），则叩=9" = （9一9%,9稣）.所以尸（10% 9

19、,10），。），由P在抛物线上可得（10.v0=4（10x0-9）,即/ = 2* ” .k _ -” _ I。3'。所以直线。斜率 豌一小一25），：+9-25），；+9,-io -当），o = °时，L敏=°；/ _ I 9 当）,。0时，因为25），o + N2j25”一二30, ）。V >0当）"。时,。一五二,丫。i93此时当且仅当25y0 = 一,即%=时，等号成立: 3y03当y0<0时，勺Q0；综上，直线。的斜率的最大值为答案：(1)答案见解析：(2)(1,« + 1).解析：(1)由函数的解析式可得：,(%)=3/-

20、2¥+，导函数的判别式 = 4 12a,当A = 4 12。4 0(2:时，/'(工)20,/(工)在区上单调递增，当A = 4 12a>0,，<；时，f'(x) = O的解为：2一”12丁 = 2 + ”-12 , 36-6,2-4-126/当xw -oo时，/'(x)>0J(x)单调递增：O /当+12口时,/，(x)<oj(x)单调递减：66 /当 XG 2 + ',- 12cL 口 时，/'(x)>0J(x)单调递增： 6 /综上可得：当时，/(无)在R上单调递增，,1 L ,/、，(2-y/4-l2a J

21、2-"一 2 + "-12 ),当。时，/(工)在 YO, 上单调递增，在 , 上单调递减,上单调递增.J 2 +，4 124在 ，+°°6(2)由题意可得:/(玉)=片一石+。 + 1，/'(%) = 3*一2.0+ , 则切线方程为：y-(片一片 + "。+1) =(3x；-2x0+a)(x-x0), 切线过坐标原点，则：0一(人；一人；十%+1) =(3看一2%+ 4)(0-%),整理可得：2片一看一1 = 0,即：（jo-1）（2x； + xo + 1） = O,解得：3 = 1,则/（%） = /（1） = 1 -l + a + l = a + l,即曲线y = /（x）过坐标原点的切线与曲线y = /（x）的公共点的坐标为（1,。+ 1）.（二）选考题：选修