2021年高考甲卷-理数试题(含解析)

1、2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题11.设集合 M 0|0 x 4 , N x| x 5,则 M N () 3“，1A.x|0 x -3，1、B.x| x 43C.x|4 x 5D.x|0 x 5答案：B解析：,一1由图知，M N x|- x 4.2.为了解某地农村经济情况， 对该地农户家庭年收入进行抽样调查,3将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为 6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户

2、，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间答案:解析:A.低于4.5万元的比率估计为0.02 1 0.04 1 0.06 6% ,正确.B.不低于10.5万元的比率估计为(0.04 0.02 3) 1 0.1 10% ,正确.C.平均值为(3 0.02 4 0.04 5 0.1 6 0.14 7 0.2 8 0.2 9 0.1 10 0.111 0.04 12 0.02 13 0.02 14 0.02) 1 7.68 万元，不正确.D. 4.5万到8.5万的比率为0.10.14 1 0.2 1 0.2 1 0.64,正确.3.已知(1 i)A.B.3.i23 .-i2C.D.3232答案:解

3、析:2i3Z2(1 i)3 2i2 3i2i4 .青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小24数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据 V满足L 5 lgV .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(麻 1.259)()A.1.5B.1.2C. 0.8D. 0.6答案:得0.8.F1PF2 60 ,|PFi| 3回|,解析:代入 L 5 lgV,知 lgV 4.9 50.1,故 V 10 0.15.已知Fl, F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且则C的离心率为（）A 7 r.2B.,13C.,7D.

4、答案:解析:记 ri |PFi|,2 IPF2I，由 ri 3r2 及 n 上 2a,得 q3a2a ,又由余弦定理知222 2r 22r1r22rr2 cos F1PF2 4c ,得 7a 4c ,从而 e6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为EG ,该正方体截去三棱锥A EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（正视图A.B.C.KD.答案：D解析：由题可得直观图，如下图故选D.7 .等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,设甲：q 0 ,乙：6是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件8 .甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.

5、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B解析：若q 1,则Sn nai.ai 0 ,则Sn单调递增；& 0 ,则Sn单调递减，甲 冷乙，又若Sn单调递增，则Sn i Sn恒成立，an1 0 a1qn 0恒成立，a 0,q 0,甲乙.综上：甲 乙，选B.8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86 （单位：m ）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一. 右图是三角高程测量法的一个示意图， 现有A, B, C三点，且 A, B, C在同一水平面上的投影 A , B , C满足 AC B 45 ,ABC 60 .由C点测得B点的仰角为15 , BB与

6、CC的差为100 :由B点测得A点 的仰角为45，则A,C两点到水平面 ABC的高度差AA CC约为（）（J3 1.732）A. 346B. 373C. 446D. 473答案：B解析：过0作BB'的垂线交BB'于点m过B作AA'的垂线交AA'于点N,由题意得 BM 100 , BCM 15 , ABN 45 ,即 CM所以 1002_BN BA BCsin45tani5250 2sin 75 sin 75 sin15所以100tan15B'CAN BN 50无 50吃 273.得A, C两点到水平面 ABC的高度差AA sin15 624CC约为273

7、 100 373,故选Bo9.若 a (0, ) , tan 22cos2 sina.B15B 5 B.5C 5C.3D.45答案:A解析:tan2tan2cos2 sin2 tan2sin cos2sin4sintan22 cos.2 sincos2 sin(2 sin2 cos. 2 sin2sin21.42 cos. 2 sin1 2sin2(0, £).如图，tan1,151515又10.将4个1和2个0随机排成一行，则1A.一32B.-52个0不相邻的概率为(C. 23D. 45答案：C解析：把位置依次标为1到6.15种.总数：先排2个0,有C2 15种，再排4个1,有一种

8、，故共有满足题设的排法：先排4个1,有1种.其间有5个空，选2个空插入有 C；10种.故c 102P153满足题设排法的另一种解释：0的位置有(1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) ,(2,4) , (2,5) , (2,6),(3,5) , (3,6) , (4,6),共 10 种.11 .已知A, B,C是半径为1的球O的球面上的三个点， 且AC BC , AC BC 1 ,则三 棱车B O ABC的体积为()12B、3B.122口.43D.4答案：A解析：记O为A, B,C所在圆面的圆心，则 OOABC .又AB 、. 2 ,所以OO . OA2 AO2.12(22)

9、22.2二.故选212A.1 _ 一所以 VO ABC 3 S ABC OO12 .设函数f(x)的定义域为 R, f(x 1)为奇函数，f(x 2)为偶函数，当x 1,2时,29.f(x) ax b.若 f(0) f (3) 6,则 f(2)()A. 94B.c.74D. 52答案:D解析：f (x)关于(1,0)中心对称,f0. f(x 1)为奇函数,因f(x2)为偶函数，故f(x)关于x 2轴对称，周期为4.f(0)f(2), f(3)f(1).即 f(1) f (2) 6, f(2)6.a b 04ab 6故91f(-)f(-)22故选D.2)二、填空题2x 1 .一13.曲线y在点(

10、1, 3)处的切线方程为 .x 2答案：y 5x 2.解析：f (x) 5- , f ( 1) 5, f( 1) 3(x 2)21切线：y 3 5(x 1) y 5x 2.14.已知向量a (3,1) , b(1,0) , c a kb .若 a c ,贝U k答案:103解析：10c (3 k,1), a c 03(3 k) 1 0.所以 k 一.32215.已知F1 , F2为椭圆C：1的两个焦点，P , Q为C上关于坐标原点对称的两点,164且I PQ I I F1F2 | ,则四边形PF1QF2的面积为 答案:解析:如图，由|PQ| IF1F2I及椭圆对称性可知，四边形PF1QF2为矩

11、形.D2得2mn 16 .所以，四边形PF1QF2 2m n 8设 | PFi | m , IPF2 | n ,则222m n IF1F2I 48 面积为mn 8 .16.已知函数f(x) 2cos( x )的部分图像如图所不，则满足条件x为答案:解析:由图可知，f(x)的最小正周期T - (13-)，.二2.3 1231313ff 2,2cos()2,，一2k, k Z.12664 一一7f(x) 2cos(2x)，f() 0,f()1 .634 (f (x) 1)(f(x) 0) 0f (x) 0 或 f (x) 1 .结合图像可知，满足f (x) 1的离y轴最近的正数区间(0-),无正数

12、;4f(x) 0的离y轴最近的正数区间为(，5-),最小正整数x3 62.三、解答题(1)必考题17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：二级品含计甲机机15060200乙巩床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?n(ad bc)(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?0. 0500.0100.001k3, 8416, 63510, 828附：K22(a b)(c d)(a c)(b d)答案:见解

13、析 解析：150 3.一 ,200 4(1)由表格数据得：甲机床生产的产品中一级品的频率为120 3乙机床生产的产品中一级品的频率为200 5 '2 2 2 2 2一 ，一 一 一 22n(ad bc)400 (150 80 120 50)(2)由题息 k () ( 10.256 6.635.(a b)(c d)(a c)(b d) 200 200 270 130所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异18 .已知数列an的各项均为正数，记 Sn为an的前n项和，从下面中选取两个作为 条件，证明另外一个成立.数列an是等差数列：数列百是等差数列：a2 3a1.注：

14、若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分，答案：见解析解析：， ，证明：设等差数列an的公差为d .因为a2 3日 ,所以& d 3a ,则 d 2a.所以 Sn na1 "( 1)d n& n(n 1)a n2a ,所以蕊 Y耳7 n向 (n 1)向 向.所以JS?是首项为 向,公差为 四的等差数列.19 .已知直三棱柱 ABC AB1G中，侧面AAB1B为正方形，AB BC 2, E, F分别为AC和CC1的中点，D为棱ABi上的点，BFA|Bi .(1)证明：BF DE;答案:(2)当BD为何值时，面BBGC与面DFE所成的二面角的正弦值最小？见解析;解析：

15、(1)连AE ,取BC中点M连BM ,EM由EM为ACBC的中点，则EM /AB ,又 AB/AB, AB/EM则ABME共面，故DE 面ABiME .又在侧面BCGB中FCBMBBi,则 BF MBiBF A1B1又 MB1r1ABi B1MB11ABi ® A1B1MEBF 面AB1ME ，则 BF DE .2 BF AB,则 BF AB AF2_2BF AB 9.又 AF2 FC2 AC2 AC2 8则 ABBC.C(0,2,0) , A(2,0,0) , E(1,1,0),F(0,2,1).如图以B为原点建立坐标轴，则 B(0,0,0)设 DB t 则 D(t,0,2),0

16、t 2.则面BCGB法向量为m (1,0,0),对面DEF设法向量为n (x,y,z),则EF ( 1,1,1)EF n 05Jn (3,1 t,2 t)ED (t 1, 1,2)ED n 0则 cos.m,n'.f732 (1 t)2(2 t)2要求最小正弦值则求最大余弦值1当t一时二面角余弦值最大，则2B1D20.抛物线C的顶点为坐标原点22 2t 141 ,一、一， 一时二面角正弦值最小.2O ,焦点在x轴上，直线l : x 1交C于POP OQ ,已知点M (2,0)，且0M与l相切.(1)求C , 0M的方程;(2)设Ai, A2,禽是C上的三个点，直线AA均与OM相切，判断

17、直线A2A3,与0M的位置关系，并说明理由 答案: 见解析;解析:,、2(1)C: y x,_22OM :(x 2) y 1A(a2,a)A2(b2,b)Aa(c2,c).lA1A2：y(xa2)(ab)yab|2 ab|1 (a b)2l AB3a (xa ca2)(ac)yac所以b|2 ac|,1 (a c)21.c是方程 |2 ax|,1 (a x)2(a21)x22ax a2 3 0的两根.:x (b c) y bc 0 ,所以|2 bc|-1 (b c)2|2a2 1 a2 1)_|a2_1|、a4 2a2二 1.1f (x)2x 2x 2xln 2 x2(272.当 x (0,)

18、时，f (x) 0 ln2f(x)单调递增；当x (, In 2)时，f (x) 0 , f(x)单所以d r ,即直线A2A3与OM相切.a一 X _21.已知a 0且a 1 ,函数 f(x) -(x 0). a(1)当a 2时，求f (x)的单调区间;(2)若曲线y f(x)与直线y 1有且仅有两个交点，求 a的取值范围答案：见解析;解析：2x(1) a 2 时,f(x),2、x(2 xln2) ln2x(in2 x)_x_x22调递减.22故f (x)在(0,)上单倜递增，在(,)上单调递减.In 2ln 2(2)由题知f (x) 1在(0,)有两个不等根；f(x) 1a x . In x In ax a aln x xln a x a令 g(x)In xg (x)1 ln2 xg (x)在(0, e)单调递增，在(e,)单调递减.-1又 g(1) 0 g(e) x , g(x) 0.' e,所以 0 ma 1 a 1且 a e. a e四、选考题(2选1)22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2、. 2 cos(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,0) , M为C上的动点，