例1光线在垂直于玻璃半圆柱体轴线平面内

1、sin45csin/3例1 光线在垂直于玻璃半圆柱体轴线平面内，以45°角射到半圆柱的平面上，如图1217所示。已知玻璃的折射率为，试问光线将在哪些地方离开半圆柱体表面射解析：这是一个关于全反射的问题，当入射玻璃半圆柱体 后，再从玻璃半圆柱体内出射空气时，可能会发生全反射现象。当发生全反射时，光线将 不会离开玻璃半圆柱体表面射出，只有在半圆柱体表面上不发生全反射的光才能从半圆柱体表面射出。设光经玻璃平面折射后的折射后的折射角为，由折射定律得解得光经平面折射后，折射角均为30°,但光照射到圆柱面上的入射角各不相同。用角表示光射到圆柱面上的位置，由图可知，光在圆柱面上的入射角i

2、 =-(?= 120° (p从玻璃到空气的临界角为.1=arcsin n于是，只有当0 0 045 <120 <45时，光线可以在圆柱体表面射出 即75°165°时，光才可从圆柱面射出。例2 .如图1218所示，用两个薄凸透镜，最后在物体所在处形成一个与物体大小相等的倒立的虚像。已知靠近物体的那个凸透镜的焦距为f1，物体与此凸透镜的距离为山。试求第二个凸透镜的焦距 f2及它与第一个透镜的距离 L。解析：首先可以判定物体不可能先经第一透镜成虚像，因为此虚像已放大，再 经第二透镜又成虚像，更放大，且正立。与题意不符。其次可以判定经第一透 镜不可能成放大实像

3、，因为这样经第二透镜后的虚像更大，与题意不符。所以 只可能先经第一透镜成缩小实像。J-L*11218设经第一透镜后的像距为V1，由透镜成像公式得(1)由（1）式可得V1 =1-/1对第二个透镜，由题意可知，物距:二：'，像距！ .一 4丨i.'，由透镜成像公式得'（3）£一九 一（£ +紂）対将（2）式代入（3）式得1 1 1, = 加1£ +坯 /a/i由放大率公式得，第一透镜和第二透镜的放大率分别为(5)vi/1mi=-珂 «1 - /1(6)(7)(8)总放大率m = m1m2，由题意可知m = mim2 = 1将（5）（

4、6）式代入（7）式可得uifi l-毎i-/i由（8）式得(9)将（9）式代入（4）式得绝和12拆旳|茁 /2眄一 2丿】珀一 /i 珂-2/j由此解得例3 :给定一块平行平板，折射率按xr变化，其中n o为0点的折射率,n o=1.2、r =12cm、x为图中x轴的坐标。一束光线在O点由空气垂直入射平板，并在A点以30°角出射，如图1219（ a）所示。求A点的折射率，并确定 A点的位置和平板的厚度|Ak.J图 1219(a)30°图 1219(b)图 1219(0解析：对于媒质折射率连续变化的问题，可以将其在连续变化的方向（x轴方向）分成任意小薄层来分析。对于这任意小薄

5、层，可以认为折射率是一个定值，对任意薄层多次 运用折射定律求出 A点的折射率，再利用折射率的变化规律求出A点的x坐标；然后再由折射光线方向的关系求出光线所走的轨迹方程，确定平板的厚度。在x轴方向，把平板分成任意小薄层，由光的折射定律得(1)(2)n1 sin h = n2sini2= . =n xSi nix= . =n Asi niA在初始入射点o处有n1 sin h = n° sin90°= n°由（1） （2）两式得n。nxx1 -把r代入（3）式整理得n。_ r - x sin ix= nxr当光在A点射出时有（如图1219 （ b）所示）(4)nAsin

6、 30。sin 30。sin(90。i A) = cosi A(5)no由（ 1）（ 2）式可知 nA sin iA= no，即 siniA=nA由三角函数关系得cosi af sin2 iA =：1-(匹)2nA将（6）式代入（5）式得na = Jsin2 30。+ n。2 = 33(6)(7)n0nxx1 将（7）式代入r，整理得r（n a n°）Xa =nA=0.92cm由（4）式可知，光线的路径是一个半径为 r的圆弧（如图1219（ c）所示） 所以，平板的厚度为d = r cosi a-(n0nA)2=12 X).385=4.62cm也可通过光线的轨迹方程来求出平板的厚度：

7、因为光线的路径是一个半径为 r的圆弧，所以在图12 （a）中的x o y坐标系中，光 线的轨迹方程为y2 (r _x)2 = r2把x=0.92cm、r=12cm代入上式中可得y = 4.62cm即平板得厚度为4.62cm。例4: 一平凸透镜焦距为 f，其平面上镀了银，现在其 凸面一侧距它2f处，垂直于主光轴放置一个高为H的物体,其下端在凸透镜的主轴上，如图12 20所示。试用作图法画出物体经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚像还是实像； 用计算的方法求出此像的位置和大小。E1220解析：这是一个由平凸透镜和平面镜组成的光学成像系统i 用作图法画出该光学系统所成的像，关键是利用透镜的三条特殊光线

8、和光的反射 定律。(如图12 20所示)(1) 通过光心的光线方向不变：由物体最高点A射向光心O的入射光线 AO,它通 过O后方向不变，射向平面镜 MN，然后被MN反射，反射光线与主光轴的夹角等于入射角，均为:-，反射光线入射凸透镜时也通过光心O,所以由凸透镜射出时方向没有改变，即图中的OA ；(2) 平行主光轴的光线折射后通过焦点：由A发出的平行主光轴的入射光线 AC,经过凸透镜折射后的出射光线将射向凸透镜的焦点F,即沿图中的CF方向射向平面镜MN ,然后被MN反射，反射光线指向与 F'对称的F点，即沿CF方向入射凸透镜，此入射光 线经凸透镜折射后的出射光线可用下法画出：通过光线O作

9、平行于CF的辅助线SOS(此辅助线也称为副光轴)，过焦点F与主光轴垂直的平面 FT称为焦平面(T为副光轴与焦平 面的交点)，由于平行副光轴的入射光线与副光轴在焦平面上相交，所以CF经凸透镜折射后的出射光线通过 T点，图中的CT即为CF经凸透镜折射后的出射光线。(3) 通过焦点的光线经透镜折射后平行于主光轴：由A点发出的通过凸透镜的焦点F的入射光线 AFD，经过凸透镜折射后的出射光线与主光轴平行，垂直射向平面镜MN ,然后被平面镜反射，反射光线平行于主光轴入射凸透镜，折射后的出射光线通过焦点F,即图中的DFA。只要画出上述三条特殊出射光线中的两条，它们的交点A就是整个光学系统所成的 A点的像，对

10、应B '为B点的像，由图中可知，像 A B '是倒立的实像。2 利用逐次成像法计算整个光学系统所成像的位置和大小 物体AB经凸透镜第一次成像，由凸透镜成像公式和横向放大率公式得111+=2 fv-f2f可解得vi=2f，即第一次成的位置在像平面镜后距离2f处；mi=1，即像的大小与物相同。第一次成的像作为第二次成像的物，因此物在平面镜 MN的后面，所以对于MN来说是虚物，虚物经平面镜成像于镜前2f处，像的大小与虚物相同，即与原实物相同。第二次成的像作为第三次成像的物，由于光线由凸透镜的右方入射，而物位于凸透镜 的左方，所以为虚物，有物距U3= 2f，由凸透镜成像公式和横向放大率

11、公式得可解得V3 = 3U3，即第三次成像的位置在凸透镜左方距离2f 13 处；m3= 3，即像的大小为1原物的3。-f第三次成像是最后一次成像，所以题目所求的像的位置在凸透镜的左方距离3 处,1像的大小为原物的 3。例5:有一个球面半径相同的双凸透镜是由折射率为1.50的玻璃做成，其焦距在空气中为30cm。把这个凸透镜装在一个装满水的水槽中的一个开口，水的折射率为1.33。在水槽的另一边有一面平面镜，距离凸透镜80cm。有一个实物在水槽外的镜轴上，并距离凸透镜的左边90cm,如图1221所示。试求由这个凸透镜、水和平面镜组成的系统形成 的像的位置和像的特征。90cm双凸透橈图 1221平面镜

12、解析：这是一个多次成像的问题，一般的解决办法是利用逐次成像法来分析。这种方 法需要注意的是：物距、像距的大小和正负号的确定，以及成像公式的运用。（1 ）分析实物在凸透镜第一次成像，因为凸透镜的一侧是折射率不为1的媒质，所以不能用凸透镜成像公式1 1 1r =U V f直接求实物在凸透镜的第一次成像,可用球面折射成nin2n2 F像公式u v 一 r来求解，即先求出实物在凸透镜的左边部分第一次成的像，此像作为凸透镜右边部分的物在右边部分第二次成像。先求出双凸透镜两个球面的半径，由凸透镜在空气中的成像公式得其中门=r2= r，r为凸透镜的半径，将 f=30cm， n = 1.50代入（1）式得r

13、= 30cm实物在凸透镜左边部分第一次成像，由球面折射成像公式得(1)(2)nrn2n2 - n2r =U1V1将U1 = 90cm，m =1，巴=1.50和（2）式带代入（3）式得V1 = 270cm由横向放大率公式得，第一次成像的放大率为(3)(4)(5)在凸透镜右边的第二次成像有u2v2将 U2= vi = 270cm, n2=1.50, n3=1.33 和 r = 30cm 代入（6）式得V2 = 118.5cm（7）由横向放大率公式得，第二次成像的放大率为n 2v21m2n3u2 = 2（ 8）由（7）式可知第二次成像后，像的位置在凸透镜右面118.5cm处，即像的位置在平面镜右方（

14、118.580=38.5cm ）处。由平面镜成像特点可知，经平面镜第三次成像，最后成像于平面镜左方38.5cm处。总放大率为m = m1m2= 1（ 9）由（9）式可知最后成的像是倒立等大的实像。例6 :如图1222所示的洛埃镜镜长l=7.5cm，点光源S到镜面的距离 d=0.15mm， 到镜面左端的距离 b=4.5cm，光屏M垂直于平面镜且与点光源S相距L=1.2m。如果光源发出波长'=6 X10 - 7m的单色光，求：（1）在光屏上什么范围内有干涉的条纹？（2）相邻的明条纹之间距离多大？ （3）在该范围内第一条暗条纹位于何处?解析：洛埃镜是一个类双缝干涉装置，分析它的干涉和它在平面

15、镜中的像S，这两个就是相干光源，然后就可以利用杨氏双缝干涉的结论来求解，但注意在计算光程差时，应考虑光 线从光疏媒质射到光密媒质时，反射光与入射光相位差 1800，即发生“半波损失”。（1）如图1222所示，S点光源发出的光一部分直接射到光屏上，另一部分经平面镜反射后再射到光屏，这部分的光线好象从像点 S 发出，因为到达光屏的这两部分都是由 S点光源发出的，所以是相干光源。这两部分光束在光屏中的相交范围AB就是干涉条纹的范围。由图中的几何关系可以得到：bLd 一 AD（1）b lLd " BD（2）由（1）（ 2）两式解得LdAD = b =4cmLd由图中可知BD = b l =1.5c mAC = AD d =3.85c m（3）BC = BD d =1.35cm（4）由（3）（ 4）两式可知