DC-DC变换器的非线性分析方法及应用

1、北京交通大学毕业设计（论文） 第 47 页第1章 绪论1.1 DC-DC变换器简介DC-DC变换器又被称为斩波器，具有成本低、可靠性高、结构简单的特点，被广泛应用于工业仪表、电子设备、通讯、航空航天及电车的无级变速等领域，能够获得快速响应、加速平稳的性能，还能够有效抑制电网侧谐波电流嗓声及节约电能。由于DC-DC开关变换器具有最简单和最基本的电路结构，为了提高其工作效率而采取的控制措施也可以被其他变换电路所采纳，因此对DC-DC变换器相关问题的研究也一直是电力电子学术界关注的重要领域1。传统的线性控制理论如今已经发展的相当成熟，并且已经成功地运用在电力电子变换器的控制当中，但由于开关变换器本身

2、具有的强非线性的特点，线性控制策略不能确保该类非线性系统中所有工作点的全局稳定性。由于电力电子设备在电子仪器、现代通信、工业自动化、计算机和航空航天等领域中的应用越来越广泛，对传递电能的高精确性、高效性及装置低成本性等要求也越来越高，线性控制策略已不能满足系统性能指标。到了20世纪中期，计算机控制技术发展得十分迅速，一些非线性控制方法陆续被应用于电力电子变换器的控制中2，这使得功率变换器在高效性、轻便性等方面取得了很大的进步。非线性控制理论的深入研究与应用已经成为今后电力电子变换器控制研究领域的一个重要方面，更成为了电力电子学研究的热点3。在传统设计过程中主要采用系统的小信号模型对开关电源的控

3、制器进行设计，但是在实际开关电路的设计与调试过程中，出现了一些比较奇怪的现象。这些不稳定现象对于工程人员来说是不希望也是不应该出现的，而这些现象在传统线性控制理论领域无法给予正确的解释，总是通过经验不断地调节电路参数来避免，因此对电力电子电路中的非线性现象的深入研究具有非常重要的理论和工程价值。1.2 线性系统与非线性系统的区别及几种非线性分析方法线性系统的概念为：状态变量和输出变量对于所有可能的初始状态和输入变量都能够满足叠加原理的系统。一个由线性元部件所构成的系统必然是线性系统。但是，相反的命题在一些情况下可能是不成立的。我们可以用一组线性微分方程或差分方程来描述线性系统的状态变量(或输出

4、变量)与输入变量间的关系，这种方程被称为系统的数学模型。 非线性系统的概念为：对于一个系统，如果其输出与其输入不成正比，则它是非线性的。从数学上看，叠加原理不再成立是非线性系统的特征。叠加原理的概念为描述系统的方程的两个解之和仍为其解。线性与非线性系统的区别在于，线性系统对初值不敏感，而非线性系统对初值较敏感。线性系统的状态可以由线性方程得到，比较容易；而非线性系统就比较难。严格地说，实际生活中的物理系统都不可能是线性系统。在构成自动控制系统的诸多环节中，根据它们的静态特性的不同，可以分为线性环节与非线性环节两大类。当输入-输出的静态特性呈现为线性关系时，称其为线性环节；当输入-输出的静态特性

5、呈现为非线性关系时，称其为非线性环节。在所以构成自动控制系统的环节中，当有一个或一个以上的环节具有非线性特性时，这样的系统就是非线性控制系统。在实际的控制系统中，由于构成控制系统的一些环节总会或多或少地存在非线性特性，所以严格地说，实际中的任何控制系统都是非线性的控制系统，但是，通过合理简化和近似处理，大量的物理系统都可以在一定的范围内和足够准确的意义下被视为线性系统进行分析。为了研究方便，经常将非线性系统近似地看成或处理为线性系统，然后用线性控制理论对系统进行分析和研究。系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式，以解决稳定性问题为核心，对系统实施有效的控制。由于非线性系统形式多样，受数学

6、工具的限制，一般情况下很难求得非线性微分方程的解析解，只能采用工程上适用的近似方法。而常用的方法有以下三种：（1）相平面法4相平面法是应用时域分析法扩展出的一种图解分析法。该方法通过在相平面上绘制相轨迹曲线，得出非线性微分方程在不同的初始条件下解的运动形式。相平面法仅适用于一阶和二阶系统。（2）李雅普诺夫稳定性分析法5李雅普诺夫第二法又称直接法，它的基本思路是借助一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性作出判断。（3）描述函数法6-7描述函数法的基本思想是：当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在给定正弦信号的作用下，其输出可用一次谐波的分量来近似，由此求出非线性环节的近似等效频率

7、特性，即描述函数。这时该非线性系统就近似的等效为一个线性系统，并且可以应用线性系统分析理论中的频率法对系统进行频域分析9。描述函数法主要应用在分析无外作用的情况下，非线性系统的稳定性和自激振荡等问题，并且其应用不受系统阶次的限制，一般可以给出令人满意的结果，获得了广泛应用8，因此本课题中也选择描述函数法作为主要研究方法。1.2 Buck电路非线性特性及拓扑DC-DC开关变换器的建模分析是研究开关电源的基础，对开关电源的分析与设计具有重要意义10。由于DC-DC变换器开关所导致的强非线性特性，所以传统的线性分析方法存在一定的误差。传统的理想模型和实际电路之间的偏差是开关变换器建模不可忽视的问题1

8、1。围绕这个问题，本文将针对Buck变换器，利用一种非线性分析方法进行建模分析12。Buck电路结构如下图所示：图1-1 Buck电路结构图1.3 研究内容本文主要针对上述图1-1所示的Buck变换器进行设计，其设计条件为：表1-1 Buck变换器设计条件输入电压（V）输出电压（V）开关频率（kHz）1510100功率（W）输出电流纹波输出电压纹波4015%1%本论文主要对以上拓扑按照如上要求进行主电路参数设计，并按照如上计算的参数对拓扑进行状态空间平均法建模，然后进行线性稳定性分析和非线性稳定性分析，通过比较稳定性判据、分析过程的相同与不同之处，进行对比，并进行仿真验证。第2章 Buck变换

9、器线性建模及参数设计根据如上1.3节所提出的输出电流和输出电压纹波要求以及功率等级条件，对基础Buck拓扑进行主电路参数设计，并根据所设计的参数对主电路进行仿真，对理论计算结果进行验证。然后设计闭环控制系统并确定参数。2.1 参数设计2.1.1 主电路稳态分析Buck变换器通过改变开关的占空比来控制输出电压，在工作时分为两个阶段，其工作原理如下所示：在Ton阶段，其等效电路如下图所示：图2-1 Buck电路在Ton阶段的等效电路由其工作过程可以得出电感电压和电容电流的方程： （2-1）在Toff阶段，其等效电路如下图所示：图2-2 Buck电路在Toff阶段的等效电路由其工作过程可以得出电感电

10、压和电容电流的方程： （2-2）由电容电流的充放电平衡和电感的伏秒平衡可以对Buck电路的稳态求解： （2-3）2.1.2 主电路电感的设计电感电流纹波计算公式为： （2-4）在Buck电路中，输出电流即为电感电流，由设计条件中所设定输出电流纹波应小于15%，可以得到 （2-5）选取，可以解得：因此由理论推导得当电感取值大于等于的时候可以满足纹波要求。2.1.3 主电路电容的设计电容两端电压纹波计算公式为： （2-6）在Buck电路中，输出电压即为电容两端电压，由设计条件中所设定的输出电压纹波为1%，可以得到： （2-7）选取，可以解得：2.1.4 主电路仿真按照上述计算参数，对Buck电路进

11、行仿真，可以得到以下波形，仿真波形中，输出电流纹波峰峰值，纹波百分比为15.01%，与理论计算的输出电流纹波15%基本相同；输出电压纹波峰峰值，纹波百分比为1.02%，与理论计算的输出电压纹波1%基本相同，所选参数满足设计要求。表 2-1 主电路仿真参数输入电压（V）电感（uH）电容（uF）15567.4电阻阻值（）电感电流（A）输出电压（V）2.5410（a）主电路仿真图（b）电流纹波及电压纹波波形（c）驱动信号图2-3 主电路仿真图2.2 主电路的建模开关变换器的建模与控制是研究开关变换器的基础13，一个直流-直流变换器的控制系统结构中包含了DC-DC变换器和起控制作用的负反馈回路，因为要

12、对变换器的反馈回路进行设计从而使变换器的输出电压保持恒定，需要求得所使用变换器的动态模型，还有输入电压、占空比、负载电流的变化对输出电压所造成的影响，以及小信号传递函数等，所以想要分析其低频交流小信号分量在变换器中的传递过程，就需要对DC-DC变换器进行小信号建模。2.2.1 状态空间平均法运用思路运用状态空间平均法对变换器进行CCM模式下的小信号建模14，可以采用如下思路：（1）分段列写状态方程。当变换器满足低频假设和小纹波假设时，将输入变量与状态变量直接表示为在一个开关周期内的平均变量，再根据变换器在一个开关周期内的不同运行状态为其他变量建立一个开关周期内统一的平均变量表达式。（2）分解平

13、均变量，求得静态工作点及非线性的交流小信号方程。（3）对非线性的小信号状态方程进行线性化处理。当变换器满足小信号假设时，忽略非线性状态方程中的小信号乘积项，建立交流小信号状态方程与输出方程。采用该建模思路可以对Buck电路进行建模，得到变换器的控制输出电压传递函数，从而判断其稳定性15。2.2.2 主电路建模过程根据图2-1、图2-2，Buck变换器连续工作时分为两种工作状态，分别为其建立状态方程及输出方程：工作状态一 （2-8）工作状态二 （2-9）对状态变量在一个开关周期内求平均，并且为平均状态变量建立状态方程 （2-10）求式（2-10）对时间的导数，并且将状态方程带入得（2-11）当变

14、换器满足低频假设（交流小信号的频率远小于开关频率）和小纹波假设（变换器的转折频率远小于开关频率）时，可以近似简化为（2-12）同理得到（2-13）然后建立如下扰动量： （2-15）并且对含有交流分量的控制量进行分解： （2-16）带入上式可以得到交流小信号状态方程和输出方程（忽略乘积项）： （2-17）其中： （2-18）对于理想Buck变换器，我们取电感电流和电容电压作为状态变量，取输入电压作为输入变量，取电压源的输出电流和变换器的输出电压作为输出变量。由于变换器的工作状态分为两种：当变换器处于工作状态一，也就是Ton阶段，电感电压和电容电流为 （2-19）而输入电流即为电感电流，输出电压即

15、为电容电压，所以 （2.-20）将上两式（2-19）和（2-20）写成状态方程和输出方程的形式为： （2-21）所以可以对应得到系数：、当变换器处于工作状态二，也就是Toff阶段，电感电压和电容电流为： （2-22） 由于开关截止，则输入电流为0，则可以整理状态方程和输出方程， （2-23）对应可以得到：、进而由式（2-18）得到：、将所得参数带入交流小信号状态方程和输出方程，并且作拉氏变换，带入理想Buck变换器的参数，得到传函向量为：（2-24）整理后的到理想Buck变换器的控制-输出传递函数： （2-25）输入-输出传递函数为： （2-26）2.3 闭环控制系统的设计2.3.1 闭环系统

16、组成设计电路的电压控制环路系统如下图2-4所示：图2-4 闭环控制系统结构示意图如图，该主电路在控制电路的作用下，将直流电压源输入的能量转换成负载所需要的直流输出电压，而控制电路则由控制器、PWM比较器、驱动电路构成。输出电压经过电压采样网络得到，将其与参考电压比较之后产生的误差信号作为控制器的输入，而控制器的输出作为调制波，与三角波进行比较后产生控制脉冲。具体原理如下图2-7所示，其中为调制波的幅值，为三角波的幅值。当调制波的幅值大于三角波时，设定控制脉冲为高电平，此时开关管导通开始工作；反之，当调制波的幅值小于三角波时，设定控制脉冲为低电平，此时开关管关断，以此控制输出电压。图2-5 脉宽

17、调制的基本原理2.3.2 电压控制环路系统设计在设计电压控制环路时，控制框图如下图2-8所示，其中为参考电压，为误差量，为电压控制器的传递函数，为电压控制器的输出量，为PWM的传递函数，其值为，其中为PWM中锯齿波的幅值，为占空比，为控制输出的传递函数，为输出电压，为电压采样网络的传递函数。图2-6 电压控制环路系统结构框图为了满足动态稳定性和稳态精度，控制方式选择PI控制器，而PI控制器的的传递函数为： （2-27）则整个闭环系统的开环传递函数传递函数为： （2-28）2.3 闭环系统仿真经过不断仿真调试，最终确定PI参数，当，系统可以稳定，进而得到如下图2-7所示仿真波形，输出电流纹波的峰

18、峰值为，电流纹波百分比为15.01%，与理论计算纹波15%的值基本相同；输出电压纹波的峰峰值为，纹波百分比为1.01%，与理论计算纹波1%基本相同，由此可以看出闭环仿真所得的纹波与开环仿真相同。闭环仿真参数如表2-2。表 2-2 闭环仿真参数输入电压（V）电感（uH）电容（uF）15567.4电阻阻值（）电感电流（A）输出电压（V）2.5410三角波幅（V）采样比例41（a）仿真电路图（b）电流纹波及电压纹波波形（c）驱动信号图2-7 闭环系统仿真2.4 本章小结本章利用状态空间平均法对Buck主电路进行了建模，根据输出电流纹波15%、输出电压纹波1%的要求，确定了主电路电感、主电路电容。然后

19、经过闭环仿真调试，确定了可以使系统稳定的参数，并进行了闭环系统仿真。第3章 描述函数法及其应用3.1 背景介绍描述函数法又被称为谐波线性化法16，它是由英国P. J. Daniel 教授在1940年首次提出的，是一种分析非线性系统的近似方法, 是频率法在非线性系统分析中的推广。描述函数法的研究对象可以是任何阶次17，尤其是二阶以上的非线性系统,其主要思想是利用谐波分析的方法,将由于系统中非线性因素所造成的高次谐波部分忽略,仅使用一次谐波分量，即基波分量来近似地描述其非线性特性。在将非线性特性进行谐波化之后, 就可以根据幅相频率特性的定义, 建立非线性特性的等效幅相特性, 即描述函数。 3.2

20、一般描述函数的推导常见的描述函数有两种，我们这里提到的两种非线性系统是分段线性型非线性系统和多项式型非线性系统，分段线性型非线性系统的输入输出特性是由直线部分组成，多项式型非线性系统的输入输出特性是被描述成一个多项式。本节中所有的非线性系统的输入输出特性都当作是相对于输出的奇函数。下面将分别推导两个一般非线性系统的描述函数。3.2.1 分段线性型描述函数如图3-1，在实践中，描述函数的推导可能不存在一个单一的非线性的特点。然而，可以想象这代表了多个级联的非线性系统的组合特性。选择这种非线性的主要原因是，许多其他的分段线性型非线性系统的描述函数分析是适当的的修改了这种一般的类型。在下面的讨论中，

21、图3-1所示的一般类型的非线性系统将被称为A型非线性系统。x和y分别为非线性元件的输入和输出。那么，y可以表示为一个关于x的函数，也就是，而就是图所示的输入-输出特性。当输入为正弦时，一个非线性元件的描述函数或等效表达式被定义为一个关于基础输入振幅与输出振幅的复杂比例。描述函数用符号表示为： （3-1）其中 （3-2）图3-1 输入为正弦波时一般分段线性非线性系统（A型）的响应式（3-1）也可以写成下面这种简单的形式 （3-3）在这个定义中，假定非线性环节的输入x是,。在这里，是正弦波的频率，是时间。那么就可以写成以下形式： （3-4）其中： （3-5）而 （3-6）所以我们可以得到A类型非线

22、性系统的描述函数。但是有时用极坐标形式来表达描述函数更为方便，还可以写成以下形式： （3-7）其中 （3-8）很多分段线性型非线性系统的描述函数可以被当成是A型非线性系统的修改版推导出来。3.2.2 多项式型描述函数除了分段线性型非线性系统以外，还有一种常见的非线性系统为一般多项式型非线性系统，其输入输出特性可以由一系列多项式的和来描述，即式（3-9），在写成多项式形式的时候，我们可以把n加入。 （3-9）在其右侧使用绝对值形式的原因，是要使成为一个关于的奇函数。而多项式型非线性系统的描述函数可以由式（3-10）给出： （3-10）其中可以用下面更紧凑的形式表达： （3-11）例如，多项式型非

23、线性系统的一种特殊形式为其可以表示为输入的整数次幂，这种非线性系统的输入输出特性被定义为： （n为奇数） （n为偶数）（3-12）其非线性系统的描述函数可以用下式来表示： （3-13）3.3 描述函数在Buck变换器中的应用上节中对两种常见的非线性系统的描述函数进行了求导，但是在实际应用中所遇到的非线性系统常常无法转换成这两种形式，对于这种情况，我们就需要分析描述函数的定义，从而求得非线性系统的描述函数。3.3.1 Buck变换器中非线性环节分析所有的电力电子系统本质上都是非线性系统，对于Buck变换器，作为一种分段开关线性系统，必然蕴含了丰富的非线性动态现象。而其开关过程是由脉宽调制器所控制

24、的。由于Buck变换器的非线性特性并非简单的奇函数，那么我们只能根据描述函数的定义分析。根据描述函数的定义：设非线性环节的输入-输出特性为： （3-14）将非线性环节的输入信号设定为正弦信号 （3-15）然后对非线性环节的稳态输出进行谐波分析，由于为非正弦的周期信号，那么可以展开成傅里叶级数： （3-16）忽略由于系统中非线性因素所造成的高次谐波部分，仅保留其一次谐波分量，即 （3-17） 而描述函数即为其一次谐波分量与输入信号的复数比，即 （3-18）的复数形式，其等同于式（3-1），其中，。同理，在分析Buck闭环系统时，则需要将系统非线性环节的输入信号设定为正弦信号，然后根据其稳态输出来

25、求得其描述函数。由于其非线性现象的产生原因，主要是由脉宽调制所引起的开关过程，所以我们只需要将图2-6中的设定为正弦信号，也就是将脉宽调制器的调制波设定为一个正弦信号，并分析其输出信号即可。3.3.2 非线性环节描述函数的推导根据文献22，当载波为三角波，输入调制波为的时候，所产生的开关波形的傅里叶级数为： （3-19）其中 （3-19） （3-21）并且当m=0时，。 那么式（3-20）可以重新写为 （3-22）而非线性部分的输出可以写成（3-23）那么非线性环节的描述函数就是其与输入信号的比值（3-34）的基波分量18。在式（3-34）中，。而为三角波频率，为正弦波频率。由于该推导方法仅适

26、用于载波频率远大于调制波（）的情况，因此在本文中设定，。那么就可以得出和的关系。即： （3-35）将式（3-35）带入式（3-34），得到（3-36）为了得到基波分量，我们需要忽略第一项，并且使第三项中的，也就是；第四项中，也就是；第五项中的，也就是。而由于m，n的取值范围所限定，所有的m，n取值均不能满足第三、第四项的条件，所以忽略第三项，第四项，那么将式（3-36）简化为以下形式： （3-37）其中m和n的关系为，可以得到，则非线性环节的描述函数可以表述为（3-38）式中，为三角波峰-峰值的；为调制波的幅值即式（3-1）中的；为第一类贝塞尔函数，其中为阶数，为自变量，其求值过程可以利用ma

27、tlab来实现。然后将m的值带入并求和，便可以得到其描述函数，这一过程可以通过matlab来实现。在实际计算中，由于随着m取值的增大，式（3-38）中求和部分的值的变化越来越小，则认为当m取一个足够大的值时，的值趋近于极限值，可以近似为恒定值。 经过计算，设定m的取值为1500，根据前文所定参数，则： （3-39）3.4 本章小结本章介绍了了两种一般描述函数的推导及本文所设计Buck闭环系统中非线性环节描述函数的推导过程，为下文的稳定性分析奠定了基础。第4章 描述函数法与线性建模方法的稳定性对比分析一个可靠实用的开关变换器，应该满足其稳定性要求，传统的线性分析方法已经发展得十分完善，那么在使用

28、描述函数进行非线性的稳定性分析方法时，我们需要通过对比，得到其相同及不同之处，并加以分析。4.1 Buck变换器线性模型的稳定性分析传统的线性分析方法思路为，求得系统的传递函数，通过绘制奈奎斯特图等根据稳定性判据判断系统稳定或者不稳定。4.1.1 线性分析方法稳定性判断思路奈奎斯特稳定判据可以根据开环频率响应，确定闭环系统的稳定性。图4-1 线性系统结构图图中所示的闭环系统，其闭环传递函数为： （4-1）特征方程为： （4-2）4.1.2 线性分析方法稳定性判据利用奈奎斯特判据需要绘制其开环传递函数，即图4-1中的奈奎斯特图，并且观察奈奎斯特曲线与点的位置关系，分析系统稳定性。当在s平面内应用

29、奈奎斯特稳定判据判断线性控制系统稳定性时，可能发生三种情况（设定）：1轨迹不包围点，此时系统稳定。如图4-2。图4-2 系统稳定时的奈奎斯特曲线及点分布图2轨迹包围点，此时系统不稳定。如图4-3。图4-3 系统不稳定时的奈奎斯特曲线及点分布图3轨迹与点相交，此时系统处于临界稳定状态。如图4-4。图4-4 系统不稳定时的奈奎斯特曲线及点分布图4.2 运用描述函数法的稳定性分析4.2.1 利用描述函数进行稳定性分析的思路对于一个非线性系统，经过适当简化后，具有如图4-5所示的结构形式，其中为闭环系统的输入，为非线性部分的描述函数，为线性部分的传递函数，为闭环系统的输出。利用与线性系统稳定性判断相似

30、的方法，可以判断非线性系统的稳定性。图4-5 非线性系统结构框图4.2.2 描述函数法的稳定性判据相似的，我们可以应用线性系统理论中的频率域稳定判据分析非线性系统的稳定性19- 21。闭环系统的特征方程为： （4-3）即 （4-4）在复平面中，的轨迹相当于线性系统稳定性分析时复平面上点。因此，在复平面上同时绘出的奈奎斯特曲线与的曲线，根据其相对位置判断非线性系统的稳定性，其中的曲线被称为非线性特性的负倒描述曲线。其稳定性判据如下：1. 若线性部分的轨迹不包围的轨迹，则非线性系统是稳定的。如图4-6。图4-6 系统稳定时的复平面作图2. 若线性部分的轨迹包围的轨迹，则非线性系统是不稳定的。如图4

31、-7。图4-7 系统不稳定时的复平面作图3. 若线性部分的轨迹与的轨迹相交，则系统处于临界稳定状态。如图4-8。图4-8 系统临界稳定时的复平面作图4.3 针对Buck变换器的两种分析方法结果对比通过不断更该参数并进行仿真，最终确定了三组参数，对利用这三组参数设计的闭环系统分别进行传统的线性稳定性分析和利用描述函数法进行稳定性分析的时候，可以得到如表4-1的结果。表 4-1 不同参数下得到的不同结果传统线性分析描述函数法第一组参数稳定稳定第二组参数稳定不稳定第三组参数稳定临界稳定4.3.1 第一组参数及所得结果在Buck闭环电路中，为PI控制器的传递函数、PWM比较器的传递函数、主电路的传递函

32、数三项的乘积，即式（2-28）。利用第一组参数，绘制其奈奎斯特图为：图4-9 闭环系统的奈奎斯特图由于的轨迹不包围点，如图4-9，由此判断该系统是稳定的。对于结构框图4-5，前文已经推导出了基本Buck电路的描述函数，即式（3-39），其中m最大值取500，；而的值为图2-6中主电路传递函数、PI控制器传递函数两项的乘积，即： （4-5）根据第一组参数，且 m最大值取500，在复平面上绘制和的轨迹，其轨迹如图4-10（a），放大后如图（b）。 （a） 与轨迹 （b）放大后的轨迹图4-10 第一组设参数在复平面绘图从图中可以看出，由于其描述函数不包含虚部，所以其轨迹在实轴上，而线性部分的奈奎斯特

33、曲线并没有包围非线性部分的负倒描述函数的轨迹，两者也并无交点，由此可以利用稳定性判据判断系统是稳定的。因此，在此参数条件下，传统线性分析方法与描述函数法得出了相同的结论。其仿真波形如图2-7。4.3.2 第二组参数及所得结果表中第二组参数为， ，m最大值取500，。进而得到其闭环系统的奈奎斯特图，如图4-11。 （a） 奈奎斯特图 （b）放大图图4-11 使用第二组参数的闭环系统的奈奎斯特图由于，从图中可以看出，而奈奎斯特曲线并没有包围点，由此判断此闭环系统是稳定的。然后利用描述函数法分析此闭环系统，同时绘制其非线性部分的负倒描述函数曲线和线性部分的奈奎斯特曲线，如图4-12。 (a)第一组参

34、数所绘制的曲线 (b)第一组参数绘制曲线的放大图图4-12 第一组参数所绘制的曲线及其放大图从图中可以看出，非线性部分的负倒描述函数即的曲线位于实轴上，大约在-0.45-0.65之间，并且被线性部分的奈奎斯特曲线所包围，根据描述函数法稳定性判据，此闭环系统是不稳定的。图4-13 第二组参数的仿真波形利用第一组参数进行PSIM仿真，所得到的电压及电流波形如图4-13所示。从图中可以看出，此时系统超调很大，并且纹波远大于设计值，所以系统并不稳定，所得结果与传统线性分析结果相反，与描述函数法分析相同。由此可以看出，传统的线性分析方法具有一定得局限性，在实际应用中可能会无法分析出正确的结果，而非线性分

35、析方法如描述函数法可以更加准确的得到正确的结论。4.3.3 第三组参数及所得结果表中第三组参数为，m最大值取500，。进而得到第三组参数的奈奎斯特图，如图4-14。图4-14 使用第三组参数的闭环系统的奈奎斯特图从图中可以看出，由于，而奈奎斯特曲线并没有包围点，由此判断此闭环系统是稳定的。然后利用描述函数法分析此闭环系统，同时绘制其非线性部分的负倒描述函数曲线和线性部分的奈奎斯特曲线，如图4-15。 (a) 第三组参数所绘制的曲线 (b) 第三组参数绘制曲线的放大图图4-15 第三组参数所绘制的曲线及其放大图图4-16 第三组参数仿真波形从图中可以看出，非线性部分的负倒描述函数即的曲线位于实轴

36、上，大约在-0.45-0.65之间，并且与线性部分的奈奎斯特曲线在点附近相交，根据描述函数法稳定性判据，此闭环系统处于临界稳定状态，仿真波形如图4-16。此时系统超调很大，对器件耐压、耐流特性要求较高。4.4 本章小结通过对比传统线性分析方法与使用描述函数进行稳定性分析的非线性分析方法，可以看到，在复平面中，轨迹的存在代替了传统线性稳定性分析时复平面上的点，在使用描述函数法稳定性判据的时候，与奈奎斯特稳定性判据类似，分为包围、不包围和相交三种情况。并且通过仿真，得出了相同的结论，即本文所设计的闭环系统无论通过传统线性分析方法还是描述函数法来进行稳定性判断，都是稳定的。而通过后两组参数的对比，我

37、们可以看出，在使用描述函数稳定性判据时，不仅有与传统线性分析方法得出相同结论的情况，还有得出不同结论的情况存在，并且可以解释一些传统线性分析方法无法解释的现象。第5章 工作总结及展望非线性稳定性分析理论正在快速发展，但是由于在实际中应用较少，所以还需要更深入的研究。本课题中以Buck变换器为例，从绘图方法、稳定性判据和实际仿真波形着手，对比了传统线性分析方法和以描述函数法为例的非线性分析方法。本课题到目前为止，已完成以下工作：（1）为Buck变换器主电路建模，并按照输出电压纹波和输出电流纹波条件进行主电路参数计算，进而通过仿真验证，以及闭环系统结构和参数设计。（2）学习描述函数法的基本理论，通

38、过分析常见的描述函数，计算得到Buck闭环系统中非线性部分的描述函数。（3）对同一非线性系统在不同参数条件下进行传统线性分析和描述函数法分析，分别对比得到的结果，并仿真验证。通过比较，发现传统的线性稳定性判据和描述函数法稳定性判据有很多相似之处，均可以通过绘制奈奎斯特曲线来判断，不同的是传统的分析方法讲非线性部分近似线性化，然后通过传递函数绘制整个系统的奈奎斯特曲线，通过其与点的位置关系来判断系统稳定性，而描述函数法则将系统分为线性和非线性两部分，同时绘制其线性部分的奈奎斯特曲线和非线性部分的负倒描述函数，即，通过其位置关系来判断系统稳定性。在第四章的对比中还发现，传统的线性分析方法无法解释仿

39、真中一些接近临界稳定时出现的现象，原因为其在近似线性化过程中忽略了一些应该考虑的因素，而描述函数法可以很好地判断其稳定性。由于时间有限，该课题没有进行实验验证，所以不能轻言结论的准确性，因此在今后的学习工作中，希望自己还有机会和时间对本课题进行更加深入的研究，即PCB的绘制及调试，在本文已确定的参数下进行实验验证。致谢大学生活接近尾声，在此我想对我的母校，父母，老师和亲爱的同学们表达最真挚的谢意，感谢父母对我的默默支持，感谢老师的辛勤培育，感谢同学的相互扶持，因为有你们，我的大学生活才会这么丰富多彩，获益良多。本论文的完成离不开李虹老师和王诗姮师姐的悉心指导，在此向他们表达衷心的感谢，从开始做

40、毕设到结束，我学到了很多知识，由于自己基础较差，每次遇到自己不懂的问题，他们都会耐心给我解答，不仅教会我如何解决问题，还教导我如何思考解决问题的方法，特别是在描述函数的求导过程中，王诗姮师姐能够繁忙的学习中抽出时间给我以指导，他们不辞辛劳的行为更加激励我认真学习专业知识，做好毕设，向着更加广阔的领域前进，再次向他们表示感谢！希望王诗姮师姐能够在今后的学习和工作中能够更上一层楼，李老师事业一帆风顺，蒸蒸日上！参考文献1 闫媛媛. 非线性控制策略DC-DC电力电子变换器中的应用D. 山东: 山东大学硕士学位论文, 2007.2 尹奕光, 于盛林, 虞江心. 电力电子电路中非线性现象研究的发展综述J

41、. 电子工程师, 2001, 2(2).3 李乔, 吴捷. 用于DC-DC变换器的非线性PID控制J. 华南理工大学学报 (自然科学版), 2004, 5: 005.4 王冰. 非线性系统相平面法教学中的新方法J. 电气电子教学学报, 2012, 34(4): 108-109.5 曾癸铨, 自动控制. 李雅普诺夫直接法在自动控制中的应用M. 上海科学技术出版社, 1985.6 Fadali M S, Chachavalvoong N. Describing function analysis of uncertain nonlinear systems using the Kharitonov

42、 approachC/American Control Conference, 1995. Proceedings of the. IEEE, 1995, 4: 2908-2912.7 Page G F, Gomm J B, Douglas S S. An algorithm for generating real describing functionsC/Control (CONTROL), 2012 UKACC International Conference on. IEEE, 2012: 947-952.8 孙家昆, 孙铁, 周逊. 非线性系统描述函数法研究的新途径J. 测控技术, 1992, 4: 009.9 王燕霞, 杨铬. 非线性采样系统的一种描述函数法J. 西安理工大学学报, 1984, 2: 006.10 杨国超. Buck变换器建模与非线性控制方法研究D. 江南大学, 2008.11 Strandberg R, Yuan J. Analysis and implementation of a semi-integrated Buck converter with static feedback controlC/Circuits and Systems, 2000. Proceedin