例说常用三角恒等变换技巧

1、X+ 【分析】考虑到已知角”是、，而朱知角”是和，注意到例说常用三角恒等变换技巧【摘要】 解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。本文结合三角函数问题中常见的 角的差异、函数名的差异和运算种类的差异 ”等特 点，从 角变换技巧” 名变换技巧” 常数变换技巧” 边角互化技巧” 升降幕 变换技巧”公式变用技巧”辅助角变换技巧”换元变换技巧”万能置换技 巧”九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。【关键词】三角公式恒等变换技巧解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。三角恒等变换的公式很多，主要有同角三角函数的基本关系 ”、诱导公式”、和

2、、差、倍、半角公式”、辅助角公式（化一公式）”、万能置换公式”等，这些公式间一般都存在三 种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公 式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点，也是三角问题难得高分”的根本所在。本文从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。1角变换”技巧朱知角”分解角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把 成已知角”的和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。3.T例1已知求二 的值。.V 二，可直接运用相关公式求出J 和-。37【简解】因为r 叭3 n3,tnit 11+ < rv + &l

3、t; 2/T sin,v+ 又因为k4 *5所以亍4，I 4丿所以-sin a +412 sin acos .v+ 2 sin2con .从而|，还,了.原式=I - tan %Sltl =410754i【反思】(1)若先计算出I ,则在计算I 时，要注意符号的选取；(2)本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合平方关系”通过解二元二次方程组求出| 和-.但很繁琐，易出现计算错误；(3)本题也可由(4)-，运用诱导公式和倍角公式求出sin 2asin 2a A + I例2已知I|:，其中，求证：【分析】所给条件中出现的已知角”是w 与口 - P，涉及的朱知角”是“与，将三个角

4、比较分析发现恥-用为匚一沢，T2 - -垃- :，把 朱知”角转化为两个 已知”角的代数和，然后用相关公式求解。siti 2a sin (傅 + /?)+(«-/?)【简证】唇 小A T - 5 - msinl a p) cos( 一0 1 十 cosi a *p 阳 in( a - p)siiil tz 4 0 )cos( a -fl ) - cosl a +)sin( <x - ft )tan( £? + /?)+ lanl a-尸) X ian(© - 0、* 也n(a fl)k+ Itan( « + /?)- lan a- p) A tan

5、(a - p)-Vn(a -fl)l- I【反思】(1)以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了弦化切”技巧.;(2)本题也可由已知直接求出： 与的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难；(3)善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有效 进行角变换的前提。常用的角变换关系还有：，JTJT JT2松-冷十0卜卩，2"2(0)*"，I"石-(厂，75° = 45° +30°2名变换”技巧名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈

6、现时，最常见的做法是切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式和万能置换公式，平方关系也能进行名变换。例3已知向量总二厂-阳辽肮，I' -'，求，的定义域和值域；【分析】易知-11'，这是一个 切弦共存”且 单、倍角共在”的式子，因此既要通过 切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一 角，使函数式更简明。【简解】 1 'I ' - '+ 2sin xcos jr+ 2cos2 x-1)f sin x y二 1 cos X .=2(cos a - sin aXcos sin x)=2cos ha+ £ Z由 - i 得，-：-所以，&qu

7、ot;耳）i2tos.的定义域是I2，值域是（12.【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行弦化切”变形后再进行 切化弦”求解.sin a - cvs asin finlan /?= 例4已知 都是锐角，且扫r汀 mt，求-的值。【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑弦化切”另一方面，若是 切化弦”则很快出现待求式，与目标很近.【简解1】显然一 I时,因为都是锐角，所以sin a I画sin a-+ 1cos a1 +tan a tansin B sin a - cos a= 【简解2】由得,sin卩cos /sin a cos(» sin a + a

8、sin pok fl.-1设：卜订區 茁：】二.：/；:述 疳，则sin fl + cw ? fl -4: sin a - co；* a ) + (sin a + ws & )所以，一 sin fl即：JT :g；叮弦化切”；简【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易 解2很巧妙，其基本思想是整体换元后利用平方关系消元 3常数变换”技巧在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于1 -.石=tan 完善式子结构，运用相关公式求解，如 7 |- -'-.， i. II，1 - sinx - cos a 3例 5（ 1）求证：-

9、心2）化简：.【分析】第（1）小题运用"''和''把分子、分母都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数 和化为熟悉的1;的形式，有利于系统研究函数的图象与性质.z H 22 <36A（sin x+cos x） -sm x- cos x争2 244【简解】（1）左边=II I3 sin * i cos 亠 A（sin' jh cos " x 3s jj2 sin “ xcos' x2 .sin 2a + lan cos 2x（2）原式=二 sin 2x+SH) OK 2 X 二=2 sin2

10、a【反思】“ 1的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利用了I <1.把整式化成分式后进行的，又如例4中，也是利用了 .Lil '，把分式变成了整式.4边角互化”技巧解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，运用代数 运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解例6在中， 分别为角 I 川 I的对边，且 2a sinA = （2b+c sinB + （2c+bsinC,（1）求角'的大小；（2）若惑了恳宀班丄耳'=证明 八 是等腰三角形.【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个 角的正弦的齐次

11、式，所以可用正弦定理把角”化为边或把边化为 角”来求解。【简解】（角化边）由正弦定理- - 得,m (23+ c)bi (2r+ b)c，整理得所以（2）法一：（边化角）由已知和正弦定理得,2sin A - (2sin B+sin C)sin B+ 12sin C + sin B)sin C，所以sin W = sin t?=-所以:是等腰三角形.B+C=- C =B法二：由（1）知，代入： 得,sin cos B sin B - 122，所以 n 宀 /rB= C -所以，,I'-'是等腰三角形【反思】第（1）小题化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定理 的

12、结构，第（2）小题的法一之所以 化边为角”是因为不易把条件sin 5+sin C= I化为边的 关系，而把条件 衣rQm 2H二池x:上转化为边的关系却很容易；法二的基 本思路是消元后统一角，再利用化一公式”简化方程.5升降幂变换”技巧当所给条件出现根式时，常用升幕公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常1 士 sin x -用 降幕”技巧，常见的公式有：2sm + cos - I + cos ,v = 2 cos 2 2 1COS A' 2sin 2，可以看出，从左至右是幕升角变半”而从右至左则是幕降角变倍”例7化简:【分析】含有根号，需 升幕”去根号.【简解】原式二，一=si

13、n 3+ cos 3 + *in 3- cos 3因为，所以< 04，审ii 3 -讹30，所以，原式-(咖 2 + cos 3)+ (亦 3- cos J) = -2cos3例8求函数的最大值与最小值.【分析】函数式中第一项是正弦的平方，若降幕”后 角变倍”与第二项的角一致【简解】-1+2 sinF n itA-< 2x-< 2< l + 2sin24 2一,633 ,即i3)【反思】以上两例表明，升降幕技巧整合各种技巧与方法才能顺利地解题。如例 角”变换技巧.”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地7中用到了常数 变换技巧”，例8中用到了 辅助6公式变用”技巧几

14、乎所有公式都能变形用或逆向用，如tan a +曰* sin 2asin a _2 cos a ,sin laCOS a -I ,：曲” 加工尸了I 丁皿 W I等，实际上，常数变换”技巧与 升降幂”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧 例9求值：（1） 一一 .一；（2）|口：币门谢，【分析】第（1）小题中，除是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式;第（2）小题中两角差为，而是两角差的正切值，所以与两角差的正切公式有关。sin 40° sin X0°、 sin 160& sin 160 *cos 60&=【简解】(1)原式='I 'I-&

15、#39; |- h '（2）原式=tan( 70° - 10 J(1 + tan 70° tan UP) VJtan 70°tan 10° =o【反思】第（1）、A n. j sin 2/t.t*cos a cos 2a *-*cos 2 a =yne N )小题的一般性结论是：'例10求证:、 r 、r itan nxlan Alan 2x+ tan 2Atari 3x + , + ,+ Ian J/j- )xjtan aI o【分析】左边通项是两角正切的积，且两角差为定值，而在正切的和、差角公式中出现 了两角正切的积，可尝试 hn 二

16、 Lin【简证】因为k.x - (A - 1 )atiin k tan( -1) v1 + Ian Actant k-)x k -所以U）n 2a Ian x lun 3.- tin 2a tan 4 v- un 3x tan rn - U）n（ J）a+ *+ a左边=丨I I I -Un nxn=.ii :.【反思】这里通过角变换”和公式变形得出裂项公式，然后累加消项，这也是数列求和的一种常见技巧.7辅助角变换”技巧通常把' +扩命（X r）叫做辅助角公式（也叫化一公式），其作用是把同角的正弦、余弦的代数和化为 11的形式，来研究其图象与性质.尤其是=±1 厂 土迟sin

17、 i+ cos VI（si当，-，时，要熟记其变换式，如VJsin a - cos y= 2（sin k- 1 + sin aa sin x + bc x，然后例11求函数： 的值域.【分析】初看此题，似无从下手，若把分式变成整式，就出现了 利用三角函数的有界性建立关于y的不等式.I + sin x，所以'，【简解】由： 得二）脸炸“血/从而 '二于疋建;0说二訂sin =-其中辅助角 由cos tp -决定.比较多用的方法是类比斜率计算公式，把问.（2）辅助角公式的形所以，由【反思】（1 ）解答本题的方法很多，题转化为直线斜率问题，也有用万能置换后，转化为分式函数求解的Jb

18、、a smcos x成，也可以看成是常数变换”的结果.事实上，占sinbcos x= I訂，可设b=tin 卩.7，再进行 切化弦”变换，就得到了 化一公式”8换元变换”技巧有些函数，式子里同时出现m （或与，这时，可设F _ - r,sin acos x= sin acos x=:' 一“ I （或），贝V'（或），把三角函数转化为熟悉的函数来求解例12求函数sin a cos ay =； ag14 sin v * cns voAl2丿丿的值域.【分析】同时出现与时，可用1门丨 门-.0【简解】设:mm上-,因为f -1T *sin tcos x 1 * 2sm vcos 丫

19、 得?【反思】（1）本题若不换元，则需要用到添、凑、配”技巧，而怎样进行 添、凑、配”则是因题而异，无明显特征 .;（2）引进 新元”后，一定要说明 新元”的取值范围；（3）平方关系的变式Z 丨a 八'应用广泛，如在解答命题 已知， 是方程'1的两根，求'的值.”时，关键步骤是在运用韦达定理后，利用变式消元后求解。【分析】所证等式中每个分式与两角差的正切相似，而所证等式与三角形中的结论hi. .1 Li I ” i；i.( 二.i工' ：；沱相似，从而尝试换元，利用三角知识证代数问题。【简解】设 沉芒7：就汀厂汇？因为-讥-；： - /所以竄|.，Ian (tr /)?Un (u - p)+ tan (fl y)1 - tan (u - )tan (/# - y)变形整理得 II. : 1.-:an er - tan tnn - (an / (an y - tan cr+ + 所以，I + IM or Inn 卩I + I如 p Ian 'fI + tan / tan “tan 住 Um 0tan /? - Uin yIan / - Un zr1 + (an a urn / I + uhi 0 urn 7 I + tan y tan a即，I* iy 1)7 I + za I +