傅立叶变换与拉普拉斯变换

1、附录A傅里叶变换1周期信号的频谱分析 一一傅里叶级数FS狄立赫雷条件：在同一个周期 T1内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信 号绝对可积 f(t)dt ：:： T1傅里叶级数：正交函数线性组合。正交函数集可以是三角函数集1,con it,si n t:N或复指数函数集ejnF : n Z，函数周期为Ti,角频率为二兰。Ti任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。傅里叶级数：f(t) =a° 亠二(ancon 1t bnsinn 1t)n=1系数an和bn统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。称fi =1/Ti(fi = 1)为信号的基波、基频；n fi

2、(i,i=2n)为信号的n次谐波。eintJ +e_in却eint? _0上为根据欧拉公式：cosn，'t 二,sin n't 二22ioOKjnJit t) _Fnen =-°o.周期信号的傅里叶频谱：(i) 称F :为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS谱。(ii)称£为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS幅度谱。伸) 称：；n 为傅里叶复数相位频谱，简称FS相位谱。(iv) 周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率n 1(或频率nfi)上有值。(v) FS也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为-i =2二/T1。(vi) FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表

3、示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS频谱的值、幅度和相位2非周期信号的频谱分析一傅里叶变换(FT)(1) 信号 f (t)的傅里叶变换：F ( J 二 _ f (t)e dt =F f (t) 是信号f(t)的频谱密度函数或 FT频谱，简称为频谱(函数)。1丁j t1 .(2) 频谱密度函数F)的逆傅里叶变换为：f (t)=需 JF(co)e用?FLf(co)(3) 称e J -为FT的变换核函数，ej 为IFT的变换核函数。(4) FT与IFT具有唯一性。如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。(5) FT具有可逆性。如果F f(

4、t).|-F(.)，则必有F“F(.) f(t);反之亦然。(6) 信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成FC) = F( )eJ -C)(i) 称F(创为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化的 幅频特性；(ii) 称二Arg F()为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化的相频特性。(7) FT频谱可分解为实部和虚部：FC ) = Fr C ) jFj ()F( J = Fr2C ) - Fi2C ),(，)二arctanFr (CO)FrC ) =F()cos ( ),F( )=F( ) sin ()(8) FT 存在的充分条件：时域信号f (t)

5、绝对可积，即j、f (t)dt ：。注意：这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有FT。(2) FT及IFT在赫兹域的定义：F(f)f(t)e-j2Pdt ； f (t)F(f )ej2：ftdf(3) 比较FS和FT:FSFT分析对象周期信号非周期信号频率定义域离散频率，谐波频率处连续频率，整个频率轴函数值意义频率分量的数值频率分量的密度值3典型非周期信号的FT频谱(1)单边指数信号： 偶双边指数信号：f(t)=et(a .0)图2 (a)偶双边指数信号(b)频谱(3)矩形脉冲信号(4)符号函数:不满足绝对可积条件，但存在Sgn (t)41 -1图5符号函数(b)频谱(5) 阶跃信号：不满

6、足绝对可积条件，但存在FT0t0图6单位阶跃函数及其幅度谱附录B拉普拉斯变换及反变换一.拉普拉斯变换及逆变换定义式：设有一时间函数f(t) 0, g 或Ow t w %单边函数°(Uedt 二 F(s)其中,S= (T +j 3是复参变量，称为复频率。左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换； 右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数 f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普 拉斯象函数。以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普 拉斯变换。如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函

7、数， 即变为f(t) £( t )，则拉普拉斯变换为F (S)二 f (t) ； ( t)厂std t、o -其中积分下标取0-而不是0或0+,是为了将冲激函数S (t)及其导 函数纳入拉普拉斯变换的范围。1十st拉普拉斯反变换：f(t)(t). F (S ) estd S2 兀 JCT - j °O这是复变函数的积分拉氏变换和拉氏反变换可简记如下-1F(S)=Lf(t)； f(t)=L F(s)拉氏变换的基本性质齐次性Laf(t)=aF(s)1线性疋理叠加性Lf1(t)±f2(t) = F1 (s) ±F2(s)2微分定理一般形式Ldf (t)=sF(

8、s) f (0)dtd 2 f (t)2”、L=s F (s) _sf (0) _ f(0) dtaL 】F(s)£sf7(o)dtk丄(k 1)d k-f (t)f )=k 1dtk-初始条件为零时d' f(t)nL=s F(s) dt一般形式.F(s)f(t)dttL f (t)dt _ i 丿+.-'ssF(s)+jf(t)dtTnf(t)(dt)LL II 1 UUL/一22"sss3积分定:理共n个共k个L（川杠（轨戊）'=洋+£点皿杠（以戊门sk_LS *-初始条件为零时如个L Jf(t)(dt)n-F(s) 'Vs4延

9、迟定理理）（或称t域平移定Lf(t T)1(tT)=eF(s)5衰减定理理）（或称s域平移定Lf(t)e = F(s + a)6终值定理lim f (t) = lim sF(s)t拜 ' 7s与' 77初值定理lim f (t) = lim sF(s)tTsjpc8卷积定理ttL fi(t ® f2 (Ed 可=L 0 fl (t) f2 (t l)d可=Fl (s) F2 (s)常用函数的拉氏变换和z变换表序 号拉氏变换E（s）时间函数e（t）Z变换E(s)11S (t)121QO6r(t)=迟务(t nT)n=0z彳4s1 -ez131s1(t)zz-141tTz

10、""2 s(z-1)251t222T z(z+1)2(z_1)361sn +tnn!.()o / z T n! ca z -71atzs +aeaT z e81._at tet _aTTze(s +a)2/_aT 2(z-e )9osincotzsi n oT2丄2s2z 2zcoscoT +110scosrtz(z coscoT)2 2s +©2z -2zcoscciT +1拉普拉斯反变换的应用用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式，即B(s)bmSm bmSm biS b。F(s)n in

11、A(s)ans +ans +ps + a0式中，系数a0,a1,.,anJ,an和b0,d,11( ,bm,bm都是实常数；m,n是正整数。按代数 定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。(1)A(s)=O无重根：这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式， 即F(s)C1C2Ci99( F-1)sSi ss ss各 yss式中，s,s2/- ,sn是特征方程A(s) = 0的根；Ci为待定常数，称为F(s)在Si处的留数，可按下列两式计算:C =lim(s_Sj)F(s)(F-2)(F-3)_ B(s)A(s)式中，A(s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从

12、式(F-1 )可求得原 函数为_ n c "! nf (t) = L，1F(s)十巨 一cest(F-4)9 S Sj 一i=i(2) A(s) =0有重根：设A(s)=0有r重根S1，F(s)可写为 心一亠一(S - S1)(S - Sr 1) (S - Sn)CrCr 1= -二一1(s - s1) (s - s1)式中，S1为F(s)的r重根，Sr.1，仍按式(F-2)或式(F-3)计算，cr，9 匕®汇(S色)S S sS Sn，Sn为F(s)的n r个单根；其中，c，Ci则按下式计算：i?：1 , Cncr .1 ,Cr = lim (s - 3 )r F (s)

13、S_1drG丄巳叫忑【27)F(s)CrJim 雪(sfEj!s ：S1 ds(J)(F-5)Ci亠m»r1)(r _1)!s s ds(rJ)(r J)(S - Si)F(s)原函数f (t)为f (t) = l-F(s) 1=L< J|(S-S1) (S-S1)=crt丄 tN11(r -1)!(r -2)!CrC1Cr JiCi十B 十 I 十 I r> B 十 I 十K 十(s -) S - S1S - Sjn7 GeSiti =E 1+c2t +C eSitCnS - Sn(F-6)用拉普拉斯变换解微分方程： 例1求解常微分方程x 3x" 3x* x

14、= 6e,x(0) =x(O) =x“(0) =0 .解:令X(s)=lx(t),在方程两边取Laplace变换，并应用初始条件, s3X(s) 3s2X(s) 3sX(s) X(sH，s + 13!求解此方程得X(s)=k，3!.3-t二t e .-3! 1求Lapiace逆变换'得 奶戸細円硏门例2求解常微分方程 x 4x 3x二e丄，x(0) =x'(0) =1.解:令X(s) =lx(t)，在方程两边取Laplace变换，并应用初始条件,2 1s X(s) -s-1 4 sX(s) -13X(sps+12求解此方程得X(s)二s 6s 62(s i) (s 3)2 '4(s 1)2(s 1)24(s 3)求Laplace逆变换，得x(t) = 7t e上3e* .142 丿 41一 2，12 .3x -x-2y =，x(0), x (0)例3求解常微分方程组2x -y -2y