外接球问题习题及答案——老师专用

1、精品文档外接球问题处理一一老师专用1已知如图所示的三棱锥一 -的四个顶点均在球，的球面上，*和;所在的平面互相垂直，£=#，' :，寸_C则球的表面积为（）A一.B”CD解析：如图所示， 罗；"；.于号.孚， i I ；为直角，即过.1；（的小圆面的圆心为的中点，.；'；（和所在的平面互相垂直，则圆心在过.；的 圆面上，即/ ；的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径?球的表面积为、一打I 11 ,故选，.2、 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A 'B.C. -，D. '33

2、设球心为，设正三棱柱上底面为，缀？，中心为i ',因为三棱柱所有棱的长都为- ,则 可知 oof =善=空口 ，又由球的相关性质可知，球的半径23I'，所以球的表面积为，故选 633、 已知；是球f 的球面上两点，厶；QE -亞r,，为该球面上的动点，若三棱锥二:丄匚二体积的最大值为;i，则球，的表面积为（）A J ,B，C.-D.解析如图所示，当点位于垂直于面；：的直径端点时，三棱锥 厂一責:朮:的体积最大，设球的半径为此时；一；一；一.7 小：故沪t则球的表面积为- |山,故选f 18欢迎下载4、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几

3、何体外接球的表面积为（）C.'.19?rD. :.2077A. 解析该几何体为三棱锥' .1 / ,设球心为，LiW.分别为丄；：！和一 ./ /的外心，XFII、懐、易求得八,322球的半径；'=:;-泪=打.:该几何体外接球的表面积为.1- :' 13D5、已知；都在半径为一的球面上，且； ,!，球心到平面|；.的距离为1点.J是线段/ 的中点，过点作球（丿的截面，则截面面积的最小值为（）A V 衍B.3ttc. *；.D. 解析 V7, 圆心在平面的射影为的中点/ , I辽.，./ j.一：匚丁 -山当线段I为截面圆的直径时，面积最小,截面面积的最小值为预

4、.6、四棱锥:啲所有顶点都在同一个球面上,底面' '':是正方形且和球心（ 在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于.则球，的体积 等于（）4辺 A.c 160.32辺 3打解析由题意可知四棱锥 X _的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的直径，且四棱锥的高f半径，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为 （/的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为2R2 十 4（,並 R - V2R sin 60°） = （2 +

5、2 诵）胪=4 + 43£-，j ,于是,' ，进而球f，的体积V = = TT X 2/2 =父"1" 故选 B3337、 一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. ' ： -B.C.,D.".23解析由题可知该三棱锥为一个棱长啲正方体的一角，则该三棱锥与该正方体有相同的外接球，又正方体的对角线长为 .：；，则球半径为，则i"2 2 '故选-.8、 一个棱长都为 的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为（）入解析B.話/C.J14 D.3如图：

6、设 j、（ i为棱柱两底面的中心，球心1To汽打：、,汀，ll_，E3所以亠厂-为 -I的中点又直三棱柱的棱长为可知12因此该直三棱柱外接球的表面积为-., .'；|12A.；IGtt647TD.39、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为解析此几何体是三棱锥P- ABC，底面是斜边长为 以的等腰直角三角形 ACB，且顶点在底面内的射影/是底面直角三角形斜边的中点.易知，三棱锥厂 i ；的外接球的球心 在厂：上.设球的半径为 匚则鳥沙/住，：；一：解得：心一;-,外接球的表面积为答案：D10. 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16

7、，则这个球的表面积是（）A. 16 nB. 20 nC. 24 nD. 32 n【答案】C2 2 2 2 2【解析】V=ah=16 , a=2 , 4R =a +a + h =4 + 4+16 = 24 , S=24n,故选 C.11.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为.3，则其外接球的表面积是.【答案】9n【解析】4R2 =3 3 3 =9 , S=：4 tR2 =9 n.12.已知三棱锥P_ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面 ABC满足BA二BC二.6 , . ABC = n，若该三棱锥体积的最大值为23,则其外接球的体积为（）A.8 nB. 16 n【答案】D【解析】因为 AB

8、C是等腰直角三角形，所以外接球的半径是1 r12 = 3，设外接球2的半径是R，球心0到该底面的距离d，如图，则ABCVABch J 6h =3 ,36最大体积对应的高为SD=h =3，故 Rd23，即 R2 = 3 R 2 3，解之得 R = 2 ,所以外接球的体积是沁，故答案为D.313.棱长分别为2、5的长方体的外接球的表面积为（）A. 4 nB.12nC. 24 nD. 48 n【答案】B2c22o【解析】设长方体的外接球半径为 R ,由题意可知：2R =.223 5 ，则：R2 =3 ,该长方体的外接球的表面积为 S=4 tR2 =4n 3=12n 本题选择B选项.14设三棱柱的侧棱

9、垂直于底面，所有棱的长都为2.3，顶点都在一个球面上，则该球的 表面积为（）A. 12 nB. 28 nC. 44 nD. 60 n【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为r，由正弦定理可得：2r，则= 2 ,sin 60°设外接球半径为 R，结合三棱柱的特征可知外接球半径R23 $ 22 =7 , 外接球的表面积 S =4 n2 =28 n .本题选择B选项.15.把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面 ABC _平面ADC，则三棱锥D - ABC的外接球的表面积为（）A. 32nB. 27 nC. 18nD. 9n【答案】C【解析】把边长为 3的正方形ABCD沿

10、对角线AC对折，使得平面 ABC_平面ADC ,则三棱锥D - ABC的外接球直径为 AC =3.2，外接球的表面积为 4 n2 =18n，故选C.16.某几何体是由两个同底面的三棱锥组成,其三视图如下图所示,则该几何体外接球的面积为（）A. a2 n【答案】C2 2B. 2a nC. 3a nD. 4a2 n【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成,其中底面是棱长为 2a的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直,且侧棱长为a的正三棱锥,另一个是棱长为-2a的正四面体，如图所示:该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以2R二a2 a2

11、 a2二3a= R 3a，所以该几何体外接球面积2S = 4 nR =4 n汉a ： =3a? n，故选 C. I2丿AB _ 平面 BCD , BC 二 BD = 2 ,17.三棱锥A-BCD的所有顶点都在球 0的表面上,AB =2CD =4.3，则球0的表面积为（）A. 16 nB. 32 nC. 60 nD. 64 n【答案】D【解析】因为BC=BD=2,CD =2.3，所以 cosECBD =22 +22 (2x/3 JCBD 吟，因此三角形BCD外接圆半径为lCD2 sin. CBD=2 ,设外接球半径为 R，则R2=22 +B=4 12 =16 , S=4 庶=64 n，故选 D.

12、218如图ABCD - ABjGDj是边长为1的正方体，S-ABCD是高为1的正四棱锥，若点 S ,A , B1 , C1 , D1在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.9n16B.25 n1616D.81n16【答案】D【解析】如图所示，连结 AG , B1D1，交点为M，连结SM ,易知球心0在直线SM上，设球的半径 R=OS=x，在Rt OMBi中，由勾股定理有:OMB1M =B1O ，即:2（2一x）十=x2，解得：x =?，则该球的表面积8S* 長=4 n 9 2 卫（8 丿 16n .本题选择D选项.19.已知球O的半径为R , A , B , C三点在球O的球面上，球心O到平面

13、ABC的距离1为R , AB =AC =2 , ZBAC =120，则球O的表面积为（） 2A 16A.n9B.16n3C. 64 n9D.色n3【答案】D【解析】由余弦定理得:BC=.4 4 2 2 2cos120 =2.3 ,设三角ABC外接圆半径为又R2 =R24，解得:4R2由正弦定理可得：二 2r，则rsin 120°16，则球的表面积S=4 tR64 n.本题选择D选项.33=2 ,20.已知正四棱锥P-ABCD（底面四边形ABCD是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10 ,若该正四棱锥的体积为 50，则此3球的体积为（）A.

14、 18 nB. 8 6C. 36 nD. 32 3 n【答案】C【解析】如图，设正方形 ABCD的中点为E，正四棱锥P_ABCD的外接球心为 0 ,t底面正方形的边长为10，EAh：5，丁 正四棱锥的体积为 50，二 Vpabcd=-Ii0PE=50，33 *'3则 PE =5，. 0E = 5 - R，24在 AOE中由勾股定理可得： 5 R j亠5 = R2，解得R = 3 , . V球 泯3 = 36 n,故选C.21 .如图，在 AABC 中，AB 二 BC = . 6 , ABC =90，点 D 为 AC 的中点，将 AABD 沿 BD折起到APBD的位置，使PC =PD，连

15、接PC，得到三棱锥P-BCD .若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A. 7 nB. 5 nC. 3 nD. n【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面 PCD是边长为3的正三角形，且 BD_平面PCD , 设三棱锥P-BDC外接球的球心为 O , PCD外接圆的圆心为 01，则00面PCD ,四边形OOjDB为直角梯形，由 BD ="3 , 0-D =1，及 OB=OD，得 0B 7，外接球半径为 R=- ,2 2该球的表面积 S =4 kR2 = 4 n 7 = 7 n.故选A.422.四面体 A-BCD 中，.ABC - ABD - CBD =60 , AB

16、=3, CB = DB=2，则此四面 体外接球的表面积为（）A.19n2B 1938 nC. 17n24D 17 17 n6【答案】A【解析】由题意， BCD中，CB =DB =2 , . CBD=60，可知 BCD是等边三角形， BF , BCD 的外接圆半径 r3 =BE， FE 3，33 . ABC = . ABD =60 ,可得 AD =AC =,可得 AF =.；6 , AF _ FB , AF _ BCD , 四面体 A-BCD高为AF h,；6 .设外接球R , O为球心，OE二m，可得：r2 mR2， 26 -n EF2=R2由解得：R四面体外接球的表面积：S=4 n2 =匹n

17、.故选A.8 223.将边长为2的正 ABC沿着高AD折起，使.BDC =120 ,若折起后A、B、C、D四点 都在球O的表面上，则球 O的表面积为（）713D.n3A. nB. 7 nC.n22【答案】BBC =：$3，再由正弦定理【解析】 BCD 中，BD =1 , CD=1,乙BDC =120 ,底面三角形的底面外接圆圆心为M，半径为r，由余弦定理得到£得到 一 2r = r =1 ,si n120°见图示：AD是球的弦，DA =#3 ,将底面的圆心 M平行于AD竖直向上提起，提起到AD的高度的 一半，即为球心的位置 0，二0M =3，在直角三角形 OMD中，应用勾股

18、定理得到 0D ,20D即为球的半径.球的半径0D = 1 37 .该球的表面积为 4n 0D2 =7 n ;故选B.V 42AC =BD =AD =BC =5，则该三棱锥的外接球24在三棱锥 A-BCD 中，AB=CD=6 ,的表面积为（）43 nC.D. 43 n2A 43 43 n43.43 nA. B. 246【答案】D【解析】分别取 AB , CD的中点E , F ,连接相应的线段 CE , ED , EF , 由条件，AB =CD =4, BC =AC =AD =BD =5，可知， ABC与 AADB，都是等腰三角形,AB _平面ECD , AB _ EF，同理CD _ EF ,二

19、EF是AB与CD的公垂线, 球心G在EF上，推导出 AGBA CGD，可以证明 G为EF中点,DE 二 25二9 =4 , DF =3 , EF 二.16二9 - . 7 , GF =匣，球半径DG = J7 +9二43，外接球的表面积为 S=4 n DG2=43n. 2Y42故选D.25. 棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是 【答案】84 n【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为1616r :2 sin602. 3= 2.3 ,则外接球的半径 R = 32 2.3 2 = 9 12 = 21 , 则外接球的表面积为S =4 tR2 =4 n 21 =84 n .26. 已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16J3 ,则该正四棱锥内切球的表面积为 【答案】32 -16 3 n(3)【解析】设正四棱锥的棱长为 a，则4iWa2 =16亦，解得a =4 .I4丿于是该正四棱锥内切球的大圆是如图 PMN的内切圆，其中 MN =4 , PM =PN =2 3 PE =2 2 .设内切圆的半径为r，由 PFO = PEN，得FO，即-=2 2 t ,EN PN 22丿32 !22解得r迈，内切球的表面积为 S=4