储油罐的变位识别与罐容表标定

1、仅供个人参考储油罐的变位识别与罐容表标定摘要通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计 量管理系统”，通过预先标定好的罐容表，可得到罐内油位高度与储油量的变化关系。 但许多储油罐使用一段时间以后，由于地基变形等原因，使罐体的位置发生纵向倾斜和 横向偏转，从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。 因而建立储油罐变位后储油量与油高及变位参数（纵向倾斜和横向偏转 ）之间的一般关系，对罐体储油量的真实计算及加油站的经营管理具有重要意义。对于问题一，本文先建立没有变位时的罐体储油量和油位高度的关系，将计算值与 实际值进行比较，进行图形仿真和误差分

2、析，从而检验模型的可靠性和准确性。对于发 生纵向倾斜后的椭圆型储油罐，在油液面低于柱体右端最低点和咼于左端最咼点，及两 者之间，储油量与油位高度有不同的关系式，因而我们分了三段积分处理，得出储油量 与油位高度的函数关系式。用建立好的函数关系式计算出给定油位探针监测高度的储油 量，和实际储油量进行图像曲线对比，并进行误差分析，从而验证建立的函数关系式的 准确性。在用建立好的模型对变位和未变位的两种情况的储油量随探针监测油位高度变 化的曲线进行对比并列表分析，从而得出罐体变位后同一监测高度，变位后罐容体的实 际储油量比原先罐容表上标定的值小，并计算出罐体变位后油位高度间隔1cm的罐容表标定值。对于

3、问题二，本文利用几何关系，将横向偏转修正，以消除其对储油量的影响， 将问题归结为只需要计算纵向偏转对储油量的影响，将储油量的计算分成三部分：圆 柱体和左右球冠体，圆柱体可直接积分得到，球冠体通过柱面坐标变换，将二重积分 转换为定积分，然后利用微分中值定理近似计算该定积分。三者相加得到整个储油量 体积，且和问题一一样分为油液面低于圆柱体部分右端最低点和高于左端最高点，及 两者之间三段，再整合为一个函数关系式。得出的计算值与实际数据比较，进行误差 分析，从而用线性拟合的方法对函数关系式进行修正使其与实际值的误差更小。最后 利用循环迭代并结合矩形套定理，逐步缩小范围，以确定偏转角和，以使误差在一定精

4、度范围内符合实际值，最后将得到的偏转角2.1118°，2.5024°代入建立的函数关系式，用以模拟检验，得出结果与实际相符。之后我们给出了油位高度间隔 为10c m的罐容表标定值。最后，本文对模型进行了进一步的讨论和改进， 对问题二建议制定出不同的和 对应储油量体积增长的拐点的表，只要根据实际数据利用二阶差分近似求得拐点位置，只 需查表即可得到和。关键字：罐容体储油量 分段积分 微分中值定理 线性拟合 循环迭代一、问题的背景通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计 量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进 /出油量与罐内油位高度等数据，通过预

5、 先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油 位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾 斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需 要定期对罐容表进行重新标定。二、问题的提出与重述由于地基变形等原因，使罐体的位置发生变位，从而导致罐容表不能显示实际的储 油量，罐容表误差过大而不能正常使用，造成加油站油品虚假盈亏。这样，就给加油站 经营管理带来一些问题。如造成加油站虚假盈亏，无法对油品数量进行正确的监控和管 理，以及年底盘底或新旧站长变更时，无法进行正常的油品库存交接。因

6、而需要对罐容 表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端 为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图 4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为4.1的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。图1储油罐正面示意图T（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，

7、即罐 内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系C 请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学 模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm的罐容表标定值。进一步利 用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。图2储油罐纵向倾斜变位后示意图（a）无图3（ b ）横图3储油罐界面示意图图4小椭圆油罐截面示意图三、基本假设1假设油浮子始终处于水平状态，并且油浮子的体积不记，视为质点；2假设油位探针是固定的，不发生任何转动；3.忽略外界因素对储油罐内部的影响并排除储油罐的机械故障；4假设油位不受温度

8、、压力等因素的影响；5假设油位探针检测液位控制灵敏，罐容表标定无误；6假设储油罐容器壁光滑平整，没有凹凸现象；7.忽略储油罐内各器件所占的体积。四、模型的主要符号变量说明问题一的主要符号说明：V:无变位时椭圆形储油罐的储油量；Vi：椭圆型储油罐变位后，底部部分覆盖时的储油量；V2：椭圆型储油罐变位后，底部覆盖顶部未覆盖时的储油量；V3：椭圆型储油罐变位后，底部覆盖顶部部分覆盖时的储油量；V总：椭圆型储油罐的总体积； h:探针监测到的油位高度；Zo :椭圆型储油罐变位后，底部部分覆盖时，油位与底部的相交线离左端的距离; Zi :椭圆型储油罐变位后，顶部部分覆盖时，油位与顶部的相交线离左端的距离;

9、 问题二的主要符号说明：12 3 0VV V V h h:储油罐总体积:油罐圆柱体部分的体积:左端球冠体体积:右端球冠体体积:油位探针监测到的高度:横向偏转修正后的高度五、问题的分析题目中的第一问要求我们建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为icm的罐容表标定值。我们首先建立了无变位时小椭圆形储油 量与油位高度的一般关系函数式，并用附件 1中的数据检验模型的正确性，由此得到无 变位情况下理论值与实际值的相对误差 A。由于小椭圆型储油罐纵向变形后，在油量少 到低于油位探针最底端时和油量多于探针与椭圆柱体顶部的交点时，不能写出储油量与油位高度对应函数关系式，对这两

10、种情况不做出具体的对应关系式。纵向变位后，在油 液面低于柱体右端最低点和咼于左端最咼点，及两者之间，储油量与油位咼度有不同的 关系式，因而我们分了三段处理，得出储油量与油位高度的函数关系式。将油量理论值 和实际值比较而得到相对误差 B,并和误差A进行比较，检验建立的函数关系式的正确 性，并用所得的理论计算公式对变位前后储油量同一高度储油量进行比较，从而得出罐 体变位后对罐容表的影响以及油位高度间隔为 1cm的罐容表标定值。第二问要求我们对图1所示的罐体建立变位后标定罐容表的数学模型，得出罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系式，并根据附件2的实际检测数据，

11、用所建立的模型确定变位参数。由于横向偏转不会引起 油液面的变化，只会影响油位探针测得的油位高度，所以我们对纵横向变位后的标定高 不得用于商业用途仅供个人参考度转换成只有纵向变位时的油位标定高度， 设ho为发生横向偏转后的油位探针测得的高 度，h为转换成只有纵向偏转的油位探针测得的高度，由于探针必经过探针所在圆柱横 截面的圆心，如图5,有：h R (h0 R) cosh Rcosho R所以把研究储油量与油位高度及参数，的函数关系转变为只研究储油量与油位高度及参数 的关系。则研究方法和问题一类似，也要分为三段，油液面低于圆柱体部分右端最低点，油液面图5高于圆柱体部分左端最高点和介于两者之间的三段

12、 储油量和油位高度的关系式。其中对圆柱体部分和左右 球冠体分别积分求油量体积，三部分油量体积相加得出 三段储油量和油位高度的关系式，综合得出储油量与 油位高度及变位参数的关系式V V（h。，），得出计算 值，并与实际值比较，进行误差分析。然后运用线性拟 合的方法对V进行修正，再利用附件2中的数据，用二 分法原理，对 ，划一个比较宽的范围，结合闭矩形套定理编程，求出附件2的数据所对应的参数，从而得出关系式V V（ho）。由此可求出储油量的理论值， 结合实际数据进行误差分析，验证函数关系式的可靠性， 从而给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm的罐容表标定值。六、问题一的模型建立与求解由于对于特定的

13、椭圆型储油罐，当其所处状态（变位或未变位）确定时，对于进油和 出油的研究都一样，所以本问题只用进油这一情况进行分析。研究对于图 4的小椭圆型 储油罐，我们首先建立无变位时罐内储油量与油位高度的函数关系式。建立如图6所示XX的坐标系，设椭圆的长半轴为a,短半轴为b,得2 2 椭圆方程：x2 y 1，则：x a y，设储油量的体积为V,椭a bb圆柱体的长度为L,油位高度为h,贝U：L （h b） Jh （2b h） b2 arcsin（- 1） b2 bb 2其中 a=1.78/2=0.89m，b=1.2/2=0.6m，L=2.45mo 把附件 1 工作表“无变位进油”中的油位高度一栏的高度值代

14、入式，计算出储油量的理论值，计算MATLAB程序见附件一（part1 ），实际值与理论计算值随油位高度变化的图像见图7o从图7可以看出实际值和理论计算值的曲线吻合的比较好。 又将对应高度的实际值 与计算值列入excel表中并计算理论计算的储油量与实际储油量的差值， 并算出理论计 算的储油量对实际储油量的相对误差。其计算结果见附件二（sheet1 ），现截取其中十行见下表一。从附件二（sheet1）中的计算结果可以看出，对于同一油面高度，理论计算的储油量对实际储油量的相对误差=理论计算学洁头际值，其相对误差的最大值为实际值3.4917316%,最小值为3.486559%,总体平均误差为 3.48

15、83831%,近似为3.488%,说明 无变位情况下计算值和实际值的相差比例可以看成常数。图和表的结果说明了理论公式的科学性，同时也说明了积分求理论公式这种方法的合理性。从而得出了未变位时小椭 圆罐的罐容表每隔1cm的标定值，程序见附件一（part2），结果见附件二（sheet2），表 二给出了罐容表的部分理论标定值。而计算所得的相对误差结果可以为椭圆型储油罐变 位后罐容表的重新标定提供参考依据。油位高度/mm理论计算 储油量/L实际储油量/L理论值-实际值/L（理论值-实际值）/实 际值159.02322.882631210.88260.0176.14374.63336212.6330.03

16、489779192.59426.364941214.36490.0208.50478.131846216.13180.0223.93529.851951217.85190.0238.97581.605856219.60580.0253.66633.35261221.3520.0268.04685.08166223.0810.0282.16736.846871224.84680.0296.03788.577776226.57770.0表二油位高度/m理论计算 储油量/L油位高度/m理论计算 储油量/L油位高度/m理论计算 储油量/L油位高度/m理论计算 储油量/L0.1163.590.41199

17、.310.72489.1513659.880.2450.270.51621.000.82910.841.13946.550.3803.540.62055.070.93306.611.24110.15椭球型储油罐发生倾角为=4.1 0纵向变位后，在油液面低于柱体右端最低点和高于左端最高点，及两者之间，储油量与油位高度有不同的关系式，因而我们分了三段处 理，(1).在油液面低于柱体右端最低点时， 设Zo为柱体底部部分覆盖时,油位与底部的相交线离柱体左端的距离，由题中图 4可知Zo 0.4m时，油位探针不能检测到油，所以 此时油位探针检测到的油位高度 h值为：h=0。又柱体长度L=2.45m, 所以

18、对于0.4<Zo<2.45，对于Z处的油截面有y O.6,(Zo Z) tan0.6，由此导出：z0(z0 z) tan 0.6即：V1此时：h z0 tanZ0(Z0 z) tandz00.60.6c 1.782grT0.4 tanz0 tan0.0287(122)2dy(0.4< Z 0<2.45)V10 dz 0.62gxdy从而得到 h 的范围为：(0,2.45tan 0.0287)，即：h (0,0.1469)。(2).在油液面高于柱体右端最低点和低于柱体左端最高点时，y|z0 h 0.4 tan 0.6所以,对于Z处的油截面有y的积分上限为：y上限y|z0

19、ztan h 0.4 tanztan0.6则这种情况下储油量与油位探针监测到的油位高度的关系式为：2.45h 0.4 tanztan0.6V20 dZ 0.62 xdy2.450dzh 0.4 tan0.6z tan0.61.78dy(.2)2(2此时h的范围为2.45 tan 0.4 tanh 1.2 0.4tan，即(3).在油液面最咼点咼于柱体左端最咼点时，设 Zi为顶部部分覆盖时，油位与 柱体顶部的相交线离柱体左端的距离，因为在 Zi>0.4m时，油位探针不能监测到储 油量的值，此处不予考虑，所以 Zi<0.4m。因而有：tanyiy1 (0.4 Z1) tan ( y为油

20、位离柱体顶部的距离)，贝U:0.4 Z1h 1.2y1 1.2 (0.4 Z1) tan对于Z处的油截面：tan 乩 y (Z ZJ tan( y?为Z处油位离柱体顶部的距离)，所以可Z Z1得y的积分下限为：y下限 1.2 y2 0.6 1.2 (Z 乙)tan0.6 0.6 0.0716&Z ZJ由上可得此时储油量的表达式：2.45V3V总dz0.6y下限2 xdy2.45V总dz0.62y下限1.78*)2dy式中V总为椭圆柱体的总体积,即:abL0.890.62.454.11m 3佃1自此处 0<Z1<0.4,1.2 0.4tan <h<1.2,即 1.

21、1713m<h<1.2m.0.6所以34.112.45dzZ10.6 0.0716(Z Z1)以上将椭圆柱体倾斜纵向变位时储油量与油位高度的关系分为三段进行考虑，得出了储油量与测得的油位高度的关系式、。而题目中附件1的工作表“倾斜变位进油”油位高度一栏油位高度的范围为： 411.29mm h 1035.36mm，工作表“倾斜 变位出油”油位高度一栏油位高度的范围为：411.73mm h 1020.65mm，所以对附件1中的数据只需用函数关系式：V22.45h 0.4 tanz tandz00.62.45h 0.4 tandz0 0.6z tan2 xdy0.6(Ady首先建立对应于

22、式的体积积分函数 V=tuo (h,)，程序见附件三。把附件一工作 表“倾斜变位进油”油位高度一栏的数据代入公式计算，得出储油量的理论计算值， 其计算的MATLAB?序见附件四。在加油过程中，理论值和实际值随高度变化的图像见 图9。从图9可以看出理论计算值和实际值的吻合效果很好。同时，将对应高度的实际值 与计算值列入excel表中并并计算理论计算的储油量与实际储油量的差值，并算出理论计算的储油量对实际储油量的相对误差。其计算结果见附件五，现截取其中一部分，见 下表三。从下表三和附件五知相对误差有一个波动范围，相对误差的最大值为4.587221%,最小值为1.2719502% 平均误差值为3.2

23、303292%。此处的平均误差与椭圆 型储油罐无变位时的平均误差值 3.4883831%很接近，这说明从整体上看，理论计算值与 实际值产生的误差是一样的，即产生误差的原因是一样的。纵向变位后，从附件五的误 差数值和油位高度可以看出误差数值随油位高度呈现出先升后降的趋势，这可能是由于椭圆型储油罐发生纵向变位后，沿Z轴各处液位深度不一致及油罐壁厚各处不完全均匀 引起的。40003500300025002000150010005000.40.50.60.70.80.91It1理论计算-实际L-："-trtrr1.1表三油位高度/mm理论计算 储油量/L实际储油量/L理论计算值-实际值（理论

24、计算值- 实际值）/实际值411.29999.1649962.8636.30490.0423.451047.4491012.8634.5890.0438.331107.1651062.8644.30480.0450.541156.6511112.8643.79070.0463.91211.2631162.8648.40330.0892.923033.332962.7370.60040.0904.343078.763012.7366.03020.0917.343129.9493062.7367.21910.0929.93178.843112.7366.11030.0941.423223.1653

25、162.7360.43530.0954.63273.2333212.7360.50320.0968.093323.7243262.7360.99420.0980.143368.1413312.7355.4110.0从以上对结果的分析可以知道，以上建立的函数关系式可以用来对罐体变位后储油 量的计算。可用以上公式、对罐容体进行重新标定。在h （150,1160）时，对变位和没有变位时同一高度的储油量比较的图10，Matlab程见附件六。由图10可以看出变后油位探针监测同一油位高度时，变位前的储油量大于变位后的储油量。所以需要对 罐容表进行重新标定。首先建立对应于式的体积积分函数 V仁tuo1（ h

26、,）（见附件七）和式的体积积 分函数V3=tuo3（ h,）（见附件八），再分别编写程序算出h （0,0.1469）对应的V1值,，1.1713m<h<1.2m刈应的V3的值，程序见附件九。从而得出罐体变位后油位高度 间隔为1cm的罐容表标定值，标定值见表四。综合图形和表格可以看出，在误差允许的范围内，该模型计算得到的结果具有可 行性，进而可以说明该模型是正确可靠的。从而问题一得到解决。表四油位高度/m储油量/L油位高度/m储油量/L油位高度/m储油量/L油位高度/m储油量/L0.001.67440.30595.24520.601798.5240.903072.4270.013.5

27、310.31630.14620.611841.7970.913112.0010.026.26350.32665.58080.621885.1310.923151.2340.039.97480.33701.52560.631928.5130.933190.110.0414.75630.34737.95840.641971.9310.943228.6120.0520.69080.35774.85770.652015.3720.953266.7220.0627.85420.36812.2030.662058.8240.963304.4210.0736.31630.37849.97470.672102

28、.2750.973341.6910.0846.14240.38888.15370.682145.7130.983378.5110.0957.39350.39926.72170.692189.1260.993414.8620.1070.1270.40965.66080.702232.51.003450.720.1184.39680.411004.9540.712275.8241.013486.0640.12100.25410.421044.5840.722319.0861.023520.870.13117.74750.431084.5350.732362.2731.033555.1140.141

29、36.9230.441124.7910.742405.3721.043588.7690.15157.81840.451165.3360.752448.3721.053621.8080.16180.25910.461206.1550.762491.2591.063654.20.17203.99940.471247.2340.772534.021.073685.9150.18228.90660.481288.5570.782576.6431.083716.9180.19254.88490.491330.1110.792619.1151.093747.1710.20281.85770.501371.

30、8810.802661.4231.103776.6360.21309.76080.511413.8540.812703.5521.113805.2660.22338.53870.521456.0150.822745.4911.123833.0130.23368.14260.531498.3520.832787.2251.133859.8190.24398.52850.541540.8510.842828.741.143885.6180.25429.65670.551583.4990.852870.0221.153910.3320.26461.49060.561626.2830.862911.0

31、571.163933.8590.27493.99670.571669.190.872951.831.173956.0560.28527.14380.581712.2080.882992.3261.183976.510.29560.90240.591755.3230.893032.5311.193995.3921.204012.599图10七、问题二的模型建立与求解1 体积公式推导不得用于商业用途仅供个人参考由以上问题分析式可得：发生纵向偏转和横向偏转时的油位探针监测高度ho转换为只有纵向变位时的油位探针监测高度 h,有：h Rcosho Rh R cosh0 R则以下只需建立只有纵向变位时储油

32、量与油位高度的数学模型。 纵向偏转下储油量与油位高度的关系式建立如下：I?图11如图11 (储油罐发生变位后的等价示意图)所示,ll表示油位探针与圆柱体左端面的距离，12表示油位探针与圆柱体右端面的距离,h1， h2分别表示液面与圆柱体左端面、右端面的交线到圆柱体底部的距离，则有：由图1和题目中的数据可得：(r 1)2 R2h, h l1 ta n、h2 h l2 tanr2, r为球冠体的半径，R为圆柱体横截面的半径，由R=1.5求得r=1.625m。图11中氐为油液面与左球冠体的交线和油液面与圆柱体左端面的交线的高度差，设d=r-1=0.625m，由勾股定理：d tan关系式。同理，可得到

33、 也和 的关系式:d为球冠体球心到对应圆柱体端面的距离，则22X R hx r2，所以可以得到h1x和2dh2xh2x h2R2 r2tan我们把实际储油罐体积分为三部分计算，在问题的分析中已有说明，即为中间圆柱 体、左球冠体、右球冠体体积的计算。(1) 中间圆柱体体积的计算：仅供个人参考由图12所示的油面和圆柱体左右端面都相交的情况简单容易计算体积，所以先 计算这种情况下的体积。如下所示。其他较复杂的情况油面低于圆柱体右端面 最低点和油液面高于圆柱体左端面最高点时的情况，在计算总体积时计算。h2 R ,故油面方程为： y ±2zo2y sincos如图13，yt1, yt2分别为左

34、、yt2体部分储油量为：Viytiz Zo右端面的z0 ytandy1.5zZoy tany轴坐标值，又z2 R21.52，则可得圆柱2 ；1.52 z2dz，记为 M yt1, yt2平。V阴，左的公式:（2）左球冠体、右球冠体体积的计算。为了方便计算左球冠体、右球冠体储油的体积，如图14,我们把这每一侧的球冠体 的体积用一平行于x0y平面的截面切割成两部分，且两截面与圆柱体底部的距离分别为 h1，h2。这两部分体积我们分别形象地称之为 V阴、V平首先计算下图14左球冠体阴影部分的体积图14吨尹帧7" Iif ./、hl-RJ I图15z h| Rtan由几何关系有（图15）:d

35、0.625z h R- tan dx不得用于商业用途仅供个人参考又斜面过点0.625,0, hsin x 0.625cosR ,斜面的单位法向量为（sin ,0,cos ），故斜面方程为:h,R 0经柱面坐标变换cossin,代入方程得cot zh-j R 0.625cos在z坐标确定时,由图16中几何关系得:积分上限；0 cotzarccosJ1.6252h1 R 0.625dx 0.625 ，zz为柱面坐标下'TJF利用对称性，W，左coshi2hi的积分下限h1xdzdz001.6252 z221.6252 z2dh, R h,2h,R2 21.625 z02亠d2ta ncot

36、 zh-jRg图1620.625dz由于纵向偏角不会太大，故hx很小，为了便于计算，利用微分中值定理做近似计算有2 2V阴，左hxg 1.625 z2z tan z cot z h1 R 0.625z m上述结果记为：V阴，左 V阴，左同理可得右球冠体的V阴，右：1.6252 z22gd.6252h2 RV阴，右2 ha R %hnhix,g z tang(cot 的2 R z) 0.625)2 dz近似为：V阴，右h2x记为V阴，右V阴，右V阴，左 36，h2x,然后计算下图2tan z（cot 的2 R z） 0.625） R 堅比2，且V阴，右等价于V阴，左3 m,h2x,，所以程序里用

37、 ，以便于编程。17的阴影部分体积平 ,由文献容器内存留液体体积与液位高度函h2,h2x,代替V阴，右z2)g z数关系 有：V平h ch2 3D 2h （本题中c为1m,D 6D为3m）, C为球冠体的厚度，D为圆柱体的底面直径，h油罐 体水平时的油面高度。最后根据上述两半部分公式，对储油罐两端球冠体进行 平行罐体分割后再计算储油罐两端球状体的体积：左球冠体体积（图18）:V2 V阴左h1,hx,V平 h，记为V2 h1 （因为h1x也由h1不得用于商业用途h2x图19仅供个人参考唯一确定）右球冠体体积（图19）:V3 V平 h2 乂阴，右 h2, h2x,，记为 V3 h2图17图18yt

38、1 - - 2 ;积分上限，yt2 4,且 Iyt yt1，tan图21从上面可以看出中间段、左球冠状、右球冠状储油体积计算的表达式都可以实现。（3）总体积V的计算经过问题分析，可以明显地得到油面和实际储油罐的对应函数关系分成如下图20所示的三种情况：一-图20情形I （图21）:y :由图中几何关系有：积分下限,即i为油液面与罐体顶部交线所 在位置到圆柱体左端面的距离。即 M V1 yt1,yt2 l R2V2： V2 V2 3V3:公式不变化，V3 V3情形II :所有V1, V2, V3同原公式带入情形III （图22）:V1：由几何关系，积分上限为：yt2tan仅供个人参考V:公式不变

39、化,V V2 hV3：为 0综合以上三种情况可得：Vytiyt22V1 yt1 > yt2 V2（hii） V3 h221 R ,3 htan h tanminmin2,yt2, yt1 max yt yti,0h11 min 3,h ,h22 max 0,h22 体积函数的修正利用以上公式用Matlab计算体积，由于油罐 开始标记时并未发生偏转（见题目的附件2）,可认为显示高度与显示体积即为两种偏转角皆为0因此时的对应值。将油位高度代入理论公式，并与实际值进行比较，计算程序见附件十，得 出理论储油量与实际储油量的比较图，见图23:图23图23中红线为计算值，蓝线为实际值。从图中可以看出

40、两者有误差，误差来源可能 是在计算体积中应用微分中值定理产生的，设这一误差为o he。因此对计算函数进行平移修正为：V Myti, yt2V2（hn）V302lR2匕h。k?（单位：ni）其中ki,k2为待定系数。为了求得该系数，y V Vi yti，yt2 V2 hn V3 h22 l R2则原公式变为：y kih° k2，则y为线性函数。在无变位情况下，将h°代入各部分 不得用于商业用途仅供个人参考储油量体积计算公式，从而得出 y值，再利用Matlab中的polyfit函数对y与h°拟 合，从而得到 k10.4921101,k2 0.1332825，程序见附件

41、十四。再将油位高度代入修正后的理论公式，并与实际值进行比较，得出理论储油量与实际储油量的比较图，见图24：图24从图24可以看出修正后的函数与实际数据吻合得很好，因而修正后的计算公式可以用来确定变位罐容体的变位参数和罐容表值的重新标定。3 偏转角的计算简记前述体积计算公式为：V V h0,。利用二分法的原理，对 ，平面划 一范围不断四等份搜索偏转角。具体算法如下：(1) 取题目中的附件2中的一组油高，记为hi。对应累计出油为Vi。又在理论上，从hi到hi 1的累计出油为：Wi V hi 1, , V h,。则总误差为；2e ,(VVi Vi)i(2) 取定区域为1, 21, 2 ，四等份，取每

42、一小区域的中点R, i 1,2,3,4 ，计算 e R , i 1,2,3,4 。(3) 比较e R的大小，把总误差最小的点所在的小区域的四个顶点赋给1, 21, 2，返回(2)继续计算直到总误差达到足够的精度停止。在以上算法中，记步骤(3)第j次重复得到的区域为 1 j , 2j 1j, 2j ，必 有1 j , 2 '1 ' , 2 '1 i , 2 ' 11 ' 1 , 2 ' 1，边长以-的速度收敛到0,2仅供个人参考由闭矩形套定理必定能收敛到一个点，。利用附件十六的搜索数据（由原题提供的附表二计算得到）及附件十一提供的程序， 循环10次

43、，计算得：2.1118°，2.5024°将2.1118°，2.5024°代入修正后的体积计算公式与附表二提供的数据比较如图25、图26,程序见附件十五。所有具体的数值与相对误差见附件十二（一次性补充进油前的数据）与附件十三（一次性补充进油后的数据），部分数据如表五。从图25、图26可知理论计算值和实际数据几乎重合。而从附件十二中可得相对 误差的最大值为4.05%,最小值为0,平均值为0.533%;附件十三可得相对误差的最大 值为4.61%,最小值为0，平均值为0.591%。从图和这些数据可得求得的，两偏转角精度很高，可靠性和准确性很好，可以用来对题中附件

44、2所对应的变位罐容体的罐容表的重新标定。因而，将2.1118°，2.5024°这组偏角代入校正后的罐容体储油量计算公式，即可得出高度与体积的关系，程序见附件十七，罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值见表六。35030025020015010050000.511.522.53图25 （一次性补充进油前的数据。红点为计算数据，蓝叉为实际数据）仅供个人参考350300250200150100500.51.52.5图26(一次性补充进油后的数据，红点为计算数据，蓝叉为实际数据)表五显示咼度(m)实际数据(L)计算数据(L)相对误差2.6243149.09149.250.0

45、010731772.620768.4568.7460.0043243242.6103199.27198.040.006172532.606670.0570.7230.0096074232.5996136.36135.650.0052068062.5876232.74233.890.0049411362.582107.97109.190.0 12.579649.2448.9810.0052599512.575480.6581.8250.02.5695120.29119.040.02.5641108.24106.860.02.559883.4686.2260.02.5485229.93229.94

46、4.34915E-052.5396181.7180.520.0064942212.528238.52239.380.0036055682.5216131.79132.430.0048562112.5102238.33238.358.39173E-052.508242.9243.3040.0089468782.5001171.34170.960.002217813仅供个人参考表六(变为后罐容表重新标定值)高度(m)体积(L)高度(m)体积(L)高度(m)体积(L)0180. 331167042441220.1450. 131.1193042.1467590.21125.11.2219772.24

47、93130.32258.61.3247062.3517680.43730.71.4274772.4541050.55460.31.5302732.5563000.67401.81.6330812.6583300.79521.91.7358842.7601660.8117941.8386692.8617670.9141951.9414202.963078363976同时，为便于比较计算结果，这里给出无变位时储油罐的罐容表每隔10cm的储油量标定值，见表七，程序只需将附件十七中的，都换成0即可。表七(无变位时罐容表理论计算值)高度(m)体积(L)高度(m)体积(L)高度(m)体积(L)0133.2

48、81185852461790.1693.151.1212532.1487690.217741.2239832.2512650.33192.61.3267582.3536470.44876.71.4295622.4558940.56780.31.5323822.5579830.68869.51.6352012.6598870.7111171.7380062.7615710.8134991.8407812.8629900.9159941.9435102.964071364630综上图形和表格可以看出，在同一油位高度下计算得到储油罐的油量容积和实际 储油罐的油量容积吻合的很好，因此在误差允许的范围内

49、，该模型计算得到的结果具 有一定的可行性，进而可以说明该模型是正确可靠的。八、模型的进一步讨论和改进对问题一的改进：椭圆型储油罐纵向变位后，从附件五的误差数值和油位高度可以看出误差数值随油 位高度呈现出先升后降的趋势。虽然计算值和实际值的误差很小，但为了计算更准确， 更接近实际，我们对误差随监测油位高度的变化进行了多项式拟合，发现三次拟合效果 最好。拟合图形和散点图见图27 (散点为附件五中的(理论计算值-实际值)/实际值， 蓝线为拟合曲线)，从图中可以看出拟合效果很好。因而设误差随油位高度变化的函数 关系式为f x qx3 a2x2 a3x a4。有理论计算函数关系式为： V里论计算 V h

50、,，又 不得用于商业用途仅供个人参考r 相对误差，为使矫正后的结果更接近实际值'因而可近似得到(V理论-V 矫正 )/ V 矫正 =f(h),导出ifh。由以上公式重新标定罐容表的值将更准确。V矫正0.050.0450.040.0350.030.0250.020.015图27对问题二的改进：在前述模型建立的V的函数后，对于问题(2)中求偏转角度的解答是通过不断迭 代尝试搜索，只能逐步逼近，方法上不够简洁，且需要计算机帮助。由于偏转角的不同， 导致罐体位置的变化，会影响油量进出与高度升降的速度，即V h0,关于h。有拐点2V hn位置。同时又有0时的h。即为拐点。因此，我们可以改进偏转角

51、度的方h0法，以简化寻找 ，的难度。首先在偏转角的一定范围内计算不同高度hi的油的体积Vi，在进行一次数值差分d1i 以，再重复进行二次插分d2§，用以h hi 1代替二阶导数，di2最小的点即为拐点。以建立偏转角hi hi i,与拐点的近似对应关系表。只要对实际测量所得的数据做与以上同样的处理， 找到拐点并与关系表对应即可找出偏 转角 ，九、模型的检验及科学性分析模型的检验：对于问题一，我们首先建立了无变位时椭圆形储油罐的储油量和油面高度的关系 式，由关系式计算出来的出油量和实际值的比较见图 7,从图中可以看出，理论计算和 实际很接近，吻合得很好，这说明我们建立的模型的正确性、可靠性