傅里叶变换的性质

1、傅里叶变换的性质2.6傅里叶变换的性质2. 6. 1线性询F；创f期;阳.釦若信号和的傅里叶变换分别为和，Ff1(t)=F1(£u)?Ff2(t)=F2(cy)则对于任意的常数a和b,有FafJt)+fdt)=aFJ 辺+bF2(少i=l,2,3,n将其推广，若，则 F £心 © = fa占(a)J-li-L%其中为常数，n为正整数。山傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含 义:均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数/则信号的傅里叶变换也乘 以相同的常数&，即叠加性表明，儿个信号之和的

2、傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 枷)" M加)+治2. 6. 2反褶与共辘性砒(幼=伫.几)宀必=%)设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共辘以及既反褶乂共辘 后，新信号的傅里叶变换。(1) 反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为羽/(-<)=匸/(-切计必 =丄/(磁妙(一对=L/仅沁妙必 =匸/0)尹2)”必=歹(一3)(2) 共轨=匸 l/(o'wr=£lr(or(<因为址是实数，所以(dtr=dt 将共辘提到积分之外 根掏傅里叶变换的定义(3) 既反褶乂共辄FfJ)二匸厂日宀必聲=匸/严仏二于(3) 本性质还可利用前

3、两条性质来证明:设 g(t)=f (-t), h(t)=g*(t),则> hr,t)=g* it)» 则R)=Fg), Fjco)=F)在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质 用")=氏)砒(恥FJ)2. 6. 3奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。在一般悄况下，是复函数，因此可以把它表示成模 与相位或者实部与虚部两部分，即=卩(如* 丿盼)=i?G) + jX 冏(2- 33)qXo) = arctan根睜定义，上弓还可以写成F(ca ) = j2 / (字 x/= L

4、 “(0 cos t)dt - J 匚(/( sin 讷 (2- 34) 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。(1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2 - 34),由FT的唯一性可得cosg) (m) = | /(/)sin tai'yit(1. l)f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)x()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()二0,于是F(2j) = 2£ /(Z)coscrftf/可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即R 卜 3)= F(cd)=叭 co)左边反褶,右边共轨(1.2)f(t)是实的奇函数,B

5、|J-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()二0,于是可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即 F(g)= f f(C)edt= f 于&J J左边反褶，右边共辄有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号，乂 不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特 点。2. 6.4对称性傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性 质。若已知F()=Ff(t)J则有Ff(t)=2nf (-)证明：因为于是f(-t)=-£ F(氓讥0将变量t与互换，再将2乘

6、过来，得上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是F(t)所以FF(t)=2uf(-)若f(t)为偶信号，即f(t)=f(-t),则有FF(t)=2f()从上式可以看出，当f(t)为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立一一即 f(t)的频谱是F(), F(t)的频谱为f()o若f(t)为奇信号，即f(t)=-f(-t),则有FF(t)=-2f()利用FT的对称性，我们可以很方便地一些信号的傅里叶变换。下面我们举些例子来说明这一点。弋尸 妳？如?ism朮社 t商伤偵弓肋偉生：十丈的诗或审弓的is室匕賢9-于沪总佰弓挪里叶RV尹讣心®，怖玳那P初扫E01!匹熬，WU8哂冋盹彩也冃：!那

7、"：讲乙浹喷r庖柄低 十克姮那械岂sm的阿里叶赍)荒空恥曲费客何亘叶茨金W：壬陲那13帀肩弓伽生片芟JUJ 快Q卜珂罟 财"的剤拠，砖花M ,BJ”&©g 的带乍代空徹保警E力&舶侖刃询声啊滋角死楸毗唱辭g£或丸S代絶匕怡苗咬剛尸丹所示於J2苗和啲刊称性：FS诃鞅的FTpen «ip«-rr£awi和斗苻耳的得甲叶5越衆帝护龙话号珀心川的僧甲叶艺祐F:已知箝出咖傅出叶芟多为珂號皿)|二j能IKny期华可津1 Fj百即0)-2 9决旗側询性J考卷刮粋*昧匡孤勺-加(丿舟即(匈-jxsgn(a>)2. 6.

8、 5尺度变换"忙讣若 F Ef(t)=F(), Ri这里d是非零的实常数。下面利用FT的定义及积分的性质，分a>0和a<0两种情形来证明傅里叶变换的尺度变换特性。卢丿（加）=/-so/（川）厂丿叫“证明：因为令 at=x,A（-»_扣_I /y（加）1 =-J Z（x> 讼=F（） a 5a aF畑）=a ma a上述两种情况可综合成如下表达式:/V（讣詁（計Q0）山上可见，若信号f（t）在时域上压缩到原来的1/a倍，则其频谱在频域上将展 宽a倍，同时其幅度减小到原来的1/ao尺度变换性质表明，在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展，反 之，信号的时

9、域扩展对应于频域的压缩。对于a二-1的特殊情况，它说明信号在时 域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的实例来说明，在 录音带快放时，其放音速度比原磁带的录制速度要快，这就相当于信号在时间上受 到了压缩，于是其频谱就扩展，因而听起来就会感觉到声音发尖，即频率提高了。 反之，当慢放时，放音的速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑厚，即低 频比原来丰富了（频域压缩）。2. 6.6时间平移（延时）若Ff （七）寸）,则F圧（七-如）上尸（少対一2岛下面进行证明证明：J oo令t-to=Xr则有Ff(t-t0) = Ff(x) 二

10、6;f仗才如已也 J -OD上式右边的积分项为傅里叶变换定义式,Ff（Zj = F（族却于是可以得到同理可以得到2. 6. 7时域微分=丿窗（少）证明：因为,两边对t求导，可得所以0呦"尺佃）同理，可以推岀由上可见，在时域中f(t)对t取n阶导数等效于在频域中f(t)的频谱F()乘以(j)n下面举一个简单的应用例子。若已知单位阶跃信号u(t)的傅里叶变换，可利用此定理求出(t)的FTF"(£)=丄+凶(旳)F旳=4i=12. 6. 8频域微分若 Ff(t)=F()，则珂将牛(如尸鲁牛E朋加®)二匚-丿如叫证明：因为，两边分别对求导，可得J?co 所以例2

11、.6利用频域殺分特性求F th解：由于/1>2(«) 根据频域徽分特性可得(_九)/(£)再由町的线性可彳旱2. 6. 9时域积分若Ff（t）=f（co），则也蚀必卜（窗歹（劲+曲（0）方 证明：/滋二匸/（乃旳厂吧*"一8=匸匸/规（1刃如沁变换积分次序并且利用阶跃信号的傅里叶变换关系式Fui _ 7)=说(a) + 于是f /（） " （/ -叹 W必必=f佝兀风冷严肚十/ w一溉 k：“ jdj=（窗F間说33）特别地，如果空2在r处有界，则 例2.7利用吋域积分特性求FuQ）.解：由于F0二1，且t£（f） = fJ9由时域枳分特

12、性可得可见，这与利用符号函数求得的结果一致。2. 6. 10频域积分若 Ff(t)=F(),则有r <d1匸歹(3)必=才(0)馳)+ /(£) 2. 6.11时域卷积定理尸出的j创-起曲心尸也工X® y (f)卜匚I匚弘用吐谕|厂伙 叫.4S枳税刃田定幻CE3W 畑匚A(T)kUKOk小尿wwx阿:问陀)二 讨£：仆)严皆£ 対般爻!K»盹茗X坤=H(ol -刃五卜川齐卜f叙)片足加由丄硏也笈 盯玄£少花妙莎:磚丁 VWEilXW松门瞬咆肚二淀.為*碍硼丁孙：耳2. 6. 12频域卷积定理与时域卷积定理类似，证明方法同时域卷积定理，在这里不在重复，同学们可自己证明。由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积。或者说，两 个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以1/2。显然，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性决定的。2. 6. 13帕斯瓦尔定理前面我们在讲信号分解时，提及帕斯瓦尔定理。下面我们来研究一下该定理在 FT中的具体表现形式。若 Ff(t)=F()，则929292匸幽I dt =茄附|為=匸pw)| dj这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明了信号的能量在时域与频域推导信号能量的求解。是守恒的。下面利用FT的定义和性质, 匚血)1% =匸几)八切1 一比丄比匚_