工程数学(高等数学第三册第三版物理类专用)第三章

1、1第三章第三章 线性方程组线性方程组2第一节第一节 向量组与矩阵的秩向量组与矩阵的秩线性相关与向量组的线性无关3.1.1 向量组的秩1212,.,. -1(-1),.,; 1 设是一组向量若其中有一个向量可经组中的个向量或者说是其余个向量的线性组合 ，则称是线性相关的向量组这 个 定至少其余线性表出线性相。关向义量sssss 否则，就称该向量组是线性无关的向量组这 个向量。线性无关s321112 ,.,.,().,.,2 设向量组线性相关，则任意添上若干个同维向量之后，得到的 向量线相例组也必性关rrrssr 1 任何含有向量的向量组一定例零线性相关。1212122. =+.+. ：因为, ,

2、线性相关，不妨设可经, ,线性表出， 即证明rrrr 122r+1=+.+0+.+0，rrs 12r+1.故, , ,线性相关rs ().部分相关则全体相关4 ：用反证证法即可.明12121 ,.,.,(311)()设向量组线性，则从中任意取出若干个向量之后，得到的例线性向量组且称为原向量组的子组 也必无。关关无irsiiriisr ()对于只含一个向量 的向量组补单个向量：充定义 . 当 为向量时，称它是线性的，当 为向量时，称它是线零相性的关非零无关 全体无关则(部分无关)5112111. ,.,(1). 0100设线性相关 若，依补充定义知，对于任何 ：必都有成立要。证明性sss 121

3、2 ,.,(1),.1,向量组线性相关的充要条件是，至少存在一组的 个数，使得不零等式为定全理ssss 11 若，由定义 知，向量组中至少有一个向量是其余向量的线性组合。s 1122-1-1 .不妨设sss 1122-1-1 .()0.-1移项得sss 11221=.0 (1) 成立。sjjssj 61(1) 当时，由可得s (1)(1) ,0. 设成立，且中至少有一个不妨设充分性不为零jsjs 11111(1)0. 00当时， 式成为且，必有s 12,.,(1).因此，推出线性相关ss 1122.+0ss -11212-112-1 -.- ,., 移项后，可得，即可经线性表出。sssssss

4、s 712 ,.,(1)(1,2,., ),(1)向量组的充要条件是线性无关所有，仅当的都为零时式才。推论能成立sjsjs 11221=.0 (1)sjjssj 812121122 ,.,01. .0.因为， 线性相关，故至少有一组不全为 的个数 ， ， ， ，使得等证明：式成立sssss 121212 ,.,.,.,.4无关相设向量组线性，而向量组，线性，则向量 必可经向线性例量表出关sss 0()需说明即可 1122 .0.0：反设，则上式成反证为法ss 1212.0,.(,?)而且，这时 ， ， 中至少有一个不为，从而推出线性无关 题设矛盾，故 一定不为零ss 1,.,即 可经向量线性表

5、出。s9 | 0设，证明它的 个行向量线性相:关必要性证明An | det()20()阶行列式的充分必要条件是，它的 行 列向量组线性定关。理相ijnAan1当时，结论显然成立；n 11201,.,.若，由例 知，线性相关n 1110. 0若，它必有非零的分量，不妨设a 111|(2,.-., )由行列式性质,将的第一行的倍加到第 行上，jAjanaj 归纳法-1. 假设结论对成立，现在也成证结论对立明nn12(,.,)(1,2,. )|.第 个用记的行向量iiiinaaaiinA 1012111( ,.,)02,.-().,不难得知，jjjnjjaaajan 1112122222211112

6、20|.0|于是得到等式nnnnnnnnnaaaaaaaaaBaaaaA 11| 0|-100.由，推知阶行列式AnBa 223|,.,-1.(0)线性相 由归纳法假设，的个行向量线性相关，从而知，即存在不全为 的数，？，关，使得nnnB1112211112121(-)(-)0 ，nnnjjjjjjjnjjjjjjaaa 12,.,故线性相关。n 111212-11122-1-1,.,.1,., . 设线性相关时,不妨设是的线性组合：，nnnnnnn 充分性： (-)(1,2,.,-1),.则： 将第 行的倍加到第对 作初行等第 行变上行变换成零向量则jjnjnAn | 0.1于是， 当时，显

7、然结果成立。An121.2 任何个 维向量必线相推论性关nn , |()|01|阶行列式的充分必要条件是的 个行推列向量线论。性无关AnAn 12 (,.,) (1,2,.,1).设， 证明：iiiinnaaai 121 ,.,10.但以为行的最后一列为阶行列式中，该行列式零nn 121121 2,.,.,由定理 知线性相关，从而也线性相关nn 12(,.,)(1,2,.1,.0) 令，iiiinnaaai 111100.显然，当时，必有nnjjjjjj 13 (0) 任何含有向量的 维向量组 含有有限或无限个向量 ，必有线性；非无关子组n:结论.它的任何一个线性所含向量的个数都不超关子组过无

8、个n14 2 若向量组的一个线性，但将向量组中任何一个向量添加到这个线性无关子组中去，得到的都是的子组，则称该线性无关子组为向子组无关线量组的 定义极大线性性相关无关组。4,. 由推知 向量组中的任何向量都是它的中向量极大线的线性无关组性组合例0仅有的向量组没有极大线向量性无关组。一个的向量组的极大线性无关组就是该向量线性无关组本身；15一般地，一个向量组的极大不是线性无关组唯一的：123312123 4=(1,0,1,2)=(0,1,0,-1)=(1,1,1,1).=+,维向量组，因为，所以线性相关. 122313, 但都是线性无关组 因而都是它的极；大线性无关组。 161212 ,.,.,

9、 . 设和是所给向量组的两个极大线性无证明关：组rs .3 对于一个给定的向量组，它的一切极大线性无关组所含向量的理个数相同定,.若设rsrs1711111221221122221122, (2 ).rrrrssssrrddddddddd 1212,.,.,都由极大线性无关组定是义知,的线性组合：sr 112111222212121212(,.,)(,.,)( )(,.)3.,ssrrrrsrsddddddDddd 12,.,( )?需要证明线性相关s (2):把改写成矩阵形式181211221122120,., 0=.(,.,)因此，存在一组不全为 的数，使得ssssssdddd ddD 1

10、2 sr,.,. 22由于 大于 ，由知 的 个定理 推理维列向量线性相关sDsrd dd112112212221.(,.,)(,.,)0则ssrsssD s12,.,.这表明线性相关，矛盾，故rs 1900.仅含 向量的向量组，它的秩等于规定3 .一个向量组的极大线性无关组个数所含向量的，称为义该向量组的秩定 1.秩为 的向量组中，任何个向量必线相推论性关rr 20 (),;.设是矩阵 它的 个行向量是一个 维向量的向量组个列向量是一个 维向量的向量组ijAamnmnnm3.1.2 矩阵的秩矩阵 的行向量组的秩称为；秩的行AA. 的列向量组的秩称为 的列秩AA? ()行秩与列秩的关系211

11、11 212 12 22121212 () 1 ,.11 在矩阵 中，取出 个不同行与不同列相交处的元按排列 构成的 阶行列原顺式称为矩阵 的一个序阶定子义式kkkkk ki ji ji ji ji ji jkki ji ji jAkkaaaaaaiiimjjjnkaaaA221112121222120.|00 证明：设 中有一个 阶子式不等于上角一切高，不失一般性，可设位于 左的 阶子，式阶的子式为而于都rrrrrrAraaaaaaDrAraaa 0.1 矩阵 的秩等于 中行一切非 子式的最理数定高阶AA12| 0,.,( )? .，立刻推知 的前 个行向由于量线性无关rDrA () ()短

12、无关则长一定无关证明向目标？量2311| 01. 若两列，其中中有相同，；rrDDkjrmr 11121121222212121,()|11,考察阶行列式rjrjrrrrrjkkkrkrjarkmjnrDaaaaaaaaaaaaaaa 110. 若是 的阶子式，由假设它也等于，则rDArjrn 1 | 0于是。恒有rD 11212 .|.| 0|按最后一列展开得将jjrjrkjraaaDDa 112| |,.,1,2,.,., 对皆成立，其中分别是中最后一列各元的代数余子式，它们是与 无关的常数rrjDDjn 2412| 0(),.,.由于，知可经线性表出krarDkm 11221,2,.,.

13、| 0 )(.由这 个等式：jjrjrkjanjDaaan 12,.,. ：是 的行向量组的极大线性无关组，因而 的行向量组即为有的秩rAAr .矩阵 的的秩也等于同理中非列向量组零子式证，数可的最高阶AA1122|0( ) 得到rrkaaaD arkm25 .2 矩阵 的行秩，称为矩阵 的秩，记定义为AAAr 20. 矩阵的行秩等于列定理秩，等于矩阵中非 子式的最高阶数结论：1. 0的行秩的列秩中非 子式的最高阶数ArAAA2. AArr 261122,的第 个行向量iiinnABiaaa1212 84 12 ()(),设，若以记 的列向量，作记 的行向量，业:证明：ijm nijn snn

14、AaBbA AAABP 1122.的第 个列向量jjnjnBAjb Ab Ab A(1,2,; 1,2, )imjs27.证明：先证ABBrr 3min().，矩阵乘积的秩不超过的定秩每理个因子ABABrrr ()(). 设，则为矩阵ijm nijn pAaBbABmp12,.,.由于的每个向量都是 的向量组的线性组合行行jnABB.从而也是 的行向量组的极大无关组的线性组合B121212 ,.,.,.,.不妨设 的行向量组的极大无关组是,则它们维向量的向量组的极大线性组是关也无BBrmrBp12 ,.,.于是知向量组中的任何线性不无关子组，所含向量过数必，即超mABBBrrr .同理可证AB

15、Arr 28.即任何矩阵乘上可逆矩阵后，其秩不变 ,. 1 设 为 阶可逆矩阵，则推论，m nn pAQQPAPAnPPQQrrrr证明：AQQrr -13().由定理 知，又因为，所以AQQQAQrrQAAQrr 2. 初等变换不改变矩阵的秩推论29 A 求一个矩阵秩的方法：对 进行一系列初等变换，将其化成便于确定秩的矩阵阶梯形矩阵.12* * 0*00-irrm r 行行i(1)0.第一个表示该行中的元，称为该行的零不非首元为ir阶梯形阶梯形矩阵矩阵30 2130541003430000100001015 , , 01000021300123002000: 00000000例子阶梯形矩阵1

16、003401015,020 000000 1 阶梯形矩不是阵31 0,1().阶梯形矩阵的秩等于它所含非零行向量的个数 ，因为它至少有一个 阶子式而任何阶子式如存在向零量个都有一rrr12* * 0*00-irrm r 行行321 200-1-1214-102A=-1-42-1028112互换 、行 例 求矩阵的秩14-10200-1-12-1-42-1028112(1)+(3)-2+(4)14-10200-1-12001-120031 -2行行(1)行行 -10200-1-12000-240000.140， 用初等变换把一个矩阵化成阶梯矩阵，其并不唯一；但所结果个数得阶梯形矩阵的非零行向量的

17、都等于原矩阵的秩，因而是一样的。A r =3.因此33-10200-1-1214 若在化的过程中，既用行初等变换又用列初等变换，则可得到具有最简单形状的阶梯形矩阵：000一般对于秩为 的矩阵,必可经初等变换转化为rEr-最简单的阶梯形矩阵。000000-100000-200000.01.00000000=0000001110003000E34 0 (1)00.单秩为 的矩阵必可经一系列初等变换化成形状为的阶梯形矩阵，其中为 阶矩阵位rrrEEr ()00. (2)040设且的充分必要条件是，存在可逆矩阵和使得定理ijm nArm mn nAarrEPPQQAPQ 35

18、第二节第二节 线性方程组的解法线性方程组的解法 形式变换形式变换 解方程组本质原理：解方程组本质原理： 线性方程线性方程组组(n元一次元一次)矩阵矩阵(增广矩阵增广矩阵)表示表示 每个每个方程方程与一个与一个n+1维维行向量对应行向量对应(反之亦然？反之亦然？) 同解同解(减少方程个数减少方程个数)线性相关线性相关 去掉多余方程去掉多余方程 消元消元(简化方程的求解简化方程的求解)初等行变换初等行变换361. 有解的条件3.2.1 非齐次线性方程组的解法11112211211222221122 (1) ().0非齐次线性方程组的一般形状是或者用矩阵形式记为，nnnnmmmnnma xa xa

19、xba xa xaxbaxaxaxbAXbb , .它的增广矩阵记为BA b 37 证明：必要性 (1) .1 非齐次线性方程组有解的充要条件是,系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同，即 定理ABrr B, B 极大线性无关组 又由推知， 的列向量组的是的列向量组的极大线性无关组，从而.ABA bArr 12 (1),.,(1)-设方程组有解，即存在数组使方程组的列向每一量个方程成为恒等式矩阵 的是矩阵的线的性组合。列向量组nbAxxxB38B. 因此,增广矩阵 的前 个行向量是其的一个极大线性无行量组关组向r11121212221B2. =r(r0)Ar0.r=0A设,则 中至少有一个 阶子式不等

20、于 ，不妨设 的左上角的充分性:阶，子式rrrrrrAaaaaaaaaarr (1)(1) 即方程组中个方前同程是的。解方程r(1)-. 方程组中后个方程都可用前从而推知，个方程表出m rr(1)-因此，方程组中后个方程是的，多余m r3911 .0) (2 ,任意,因,用解,得到克莱姆法则解于组值唯对一一rrnnxxxx 1,.)(,由于,并将其中含的项都移到右端,就得？到rnxxrn 1122 .， ，rrxxxxxx121( ., .)(1)而， ， ，就是方程组的。一个解rrnxxxxx 1111221121122222111112212112211.-.-.-. - (2.)rrrr

21、rrrrrrnnrrnnrnrrrmnaxa xaxaxa xa xa xba xa xa xba xa xa xbaxax 40-(1).个参当时解向量依赖于方程组有无穷多解数rnn r (.2 1)充分性的证明过程也是解线性方程组的定一般规则理(1)当时，方程组只有唯一解。rn (1)3 当时，非齐次线性方程组只有唯一解；当时，它有无穷多个解； 定理当时？ABAABBrrnrrrnrr 41. 用初等变换来化简方程组，从而简化了解线性方程组的手续2. 矩阵消元法11()(1)(1)若用初等行变换 仅限于把方程组的增广矩阵 化成矩阵，则以为增广矩阵的线性方程组是方程组注意：初等行的方程.变换

22、同解BBB421(1) 第一步，写出方程组的增广矩阵，并用初等变换把它化成阶梯矩阵，行B(1)解线性方程组的步骤如下：1( , )().行变换即阶梯形矩阵BA bB 110. 比较和所成的矩阵的非 行数可知中前 列是否成立ABBrBrn (1)(1)若，方程组无解。ABBArrrr+-同解 消元431 B-0100把化成“行简化矩阵” 每行非 首元都等于 ,且所在的除本身外其余元全为 的阶梯形矩阵.列非 首元再消(元、同解)B1 B第二步， 若，则解以为增广矩阵的阶梯形方程组：Arr 1B 111,111222,1121,1111.,.,., ,. . . . . .rrnnrrnnrr rr

23、rnnrrxbaxa xxbaxaxxbaxa xxx . ,) (3nnxx 1(1)(1). 其中为任意常数,就是方程组的全部解，即.的.,通解rnxx 11112122110.0.01.0.00.1.00.00.00.00.00.00解为rnrnrrrnraabaabaab 441212 x=rrrnxxxxxx (3)通解也可写成向量的形式：11112122 12 221212-=+11+.+0000000001+rrrnrrnrrrrrnrrnbaaabaaabaaaxxx 12=.( ).01特别当时，得到方程组的特解一个：rrnxxx12(,.,0,0,.,0).rb bb111

24、 ,111222 ,1121,1111.,.,., ,. . . . . .rrnnrrnnrr rrrnnrrxbaxaxxbaxaxxbaxaxxx . ,) (3nnxx 45 解 对方程组的增广矩阵施行初等行变换1234512345134512345 223 - 30 22664533 - . 4解线性方，程例组，xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1111122311-30 B=1022664533-141022660-1-1-5-4=B . 000000000000112.可见，原方程有无穷多解BArr1345234512 2 +66, - - - 5-4.B 所对应的方程组为

25、xxxxx xxx 行初等变换 4613452345334455, , , 62-6-4+5 -2+ , xxxxxxxxxxxxxx 33445512 =，解出 ，得通令解xxxxxxxx312345456-2-2-6-411501=+0000100001+或xxxxxxxx345.其中 ， ，为参数xxx470当非齐次线性方程组右端全部常数项 都等于 时，ib3.2.2 齐次线性方程组的解法 A X=0它的矩阵形式是.齐次线性方程组是非齐次线性方程组的特殊情况,原解法也适用111122121122221122.0.0. (1).0得到的方程组称为齐次线性方程组nnnnmmmnna xa x

26、a xa xa xaxaxaxax 48-.-0当时，只有唯一解解Arn ( ,0), (0,0,.,0)0()：称为齐次线性方程恒有组的必平凡解有解解ABrrBA -.当时，它除零解外还有依赖于个参数的非零解AArnn r 0| 0. 对 个未知量 个方程的齐次线性方程组，有非 解的是系数行列式 结论：充要条件nnA 1. ：直接对系数矩阵 作初等行变换，将它齐次化成线性方程组的解阶梯形矩阵法AA1.然后解以为系数矩阵的阶梯形齐次线性方程组A49 1111110-1-1-53211-301226 =.01226000005433-A100000行初等变换对方程组的增广矩阵施行初等行变换解 1

27、234512345234512345 032 - 30 2260543 3 - 0.解线性方程例，组，xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 250. ，方程组有非 解Ar 13452345- -50, +2+2+60 .与方程组同解x xxxxxxx 50345341122334453554354 ,11,-2-2 ,10 ,01 +-2 X=+5- ,002 -6解出或xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 55-6001+x 13452345- -50, +2+2+60 .由方程组x xxxxxxx 345.其中 ， ，可取任意值xxx51 例例 求求 ，使齐次线性方程组，使齐次线性

28、方程组有非零解，并求其通解有非零解，并求其通解123123123(3)20,(1)0,3(1)(3)0 xxxxxxxxx解解 系数行列式系数行列式2312|11(1)3(1)3A2|(1)0A0,1当当 ,即即 时时,方程组有非零解方程组有非零解52 将将 代入原方程组代入原方程组，得，得01232313320,0,330,xxxxxxx1312011303A123()111xxkkRx 方程组的系数矩阵方程组的系数矩阵10101100053再将再将 代入原方程组，得代入原方程组，得112313123420,0,640,xxxxxxxx2412101101012614000A123()121

29、xxkkRx方程组的系数矩阵方程组的系数矩阵54例例 取何值时，线性方程组取何值时，线性方程组 12312321231,xxxxxxxxx（1）有惟一解；（）有惟一解；（2）无解；（）无解；（3）有无穷多解，并求解）有无穷多解，并求解解解 方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为1111 ,11A21111111B2(1) (2)A 则则551111 ,11A21111111B2(1) (2)A12 0,A 3,ABrr2 211112 12121203 3311240003B23ABrr此时方程组无解；此时方程组无解；（1）当）当 且且 时，时，（2）当）当 时，时，

30、此时方程组有惟一解；此时方程组有惟一解；56（3）当）当 时，时，11 1 1 111111 1 1 100001 1 1 10000B1ABrr12322331,xxxxxxx 得通解得通解12123111010001xxxkkx 12( ,).k kR，此时方程组有无穷多解，此时方程组有无穷多解由同解方程组由同解方程组57第三节 线性方程组解的结构 讨论线性方程组的解之间的关系讨论线性方程组的解之间的关系 一个线性方程组的全体解向量所成的集合称为一个线性方程组的全体解向量所成的集合称为该线性方程组的该线性方程组的解集合解集合. 解集合是解集合是n维向量的集合维向量的集合58当时，齐次线性方

31、程组的有无穷多个解向量.解集合Arn 3.3.1 齐次线性方程组的基础解系.-(n+1n)极大线性无关子组这个解集合一定存在个 维向量必相关1212 ,.,.,.是它的极大线性无关子组，则齐次线性方程组的任一个解向量必可出如用线性表例ssXXXXXX591sjjjXA 12s1X ,X ,.,X又由于的任意线性组合都满足齐次线性方程组：sjjjX 12s12s X ,X ,.,XX ,X ,.,X.即的任意组合都是齐次线性方程组的解向量，从而知的一切线性组合构成了齐次线性方程组的解集合1=AsjjjX 10=0.sjj 60 当时(秩未知量个数),才有基础解系,且不止一个；但基础解系所含解向量

32、数同小于个相.Arn 齐次线性方程组解集合的一个极大线性无关子组，称为该齐次线性方程组的一定义个基础解系.-解齐次线性方程组就是它的基求础解系.61 3.2.2rn - ： 从知，当时，齐次线性方程组的解向量证明赖于数.依个参n r =-.当时,齐次线性方程组的基础解系含有定个解向量理Arrnn r 12-,.,.不失一般性，可假设这个参数是rrnn rxxx(1,0,.,0), (0,1,.,0), ., (0,0,.,1).-现在分别给它们组值：n r62011112102212220- 1- 2-1,0,00,1, ( , , , ,),( , , , ,), ,00,0,1 (,).r

33、rn rn rn rn rrXCCCXCCCXCCC -对应地得到齐次线性方程组的个解向量：n r00012- ( - )-1, .由于以它们为行的矩阵的最后个列所成的行列式，得知，线性无关n rn rnn rXXX 63只需证明齐次线性方程组的任何一个解向量()-需证明它们就是解集合的一个极大线性无关子组01212,(,),rrrnkXk kkkk 00012-, .都可用，线性表出n rXXX00001212- - .依据齐次线性方程组的可知解向量被它所依赖的：个成参数定立唯一确rrnn rXn rkkkXXX64 先用初等行变换将系数矩阵化为解阶梯形矩阵12345123451234512

34、3453+-8 202-2-3-7 +20+11-1234-50-52-16 + 310.求齐次，的一个基础解系及通解，例线性方程组xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 193110-31-8218822-2-3-72725101- =.882111-1234-5000001-52-16300A000行初等变换 25-2=3.，基础解系应有个线性无关的解向量Ar 134523451931= ,8827251= ,882 解出阶梯形矩阵对应的方程组得xxxxxxxx 6503452010 (0,1,0)325,(-,01 0)88令代入可求得解向量,， ，,xxxX 1345021197 ,

35、8819 7 (,(1,0, 0 1 0 0)8810 )令代入上式解出，于是对应的解向，量为，xxxxxX 03453(0,0,11 1,(-,0 0)01)2 21令代入得,解向量， ，；xxxX 000123000112233123 ,()于是,是方程组的一个基础解系,因而方程组的全部解向量为其中 ， ，为任意的实数XXXXk Xk Xk Xkkk66124512341234512345+-3 -0-+2-04-2+6 3-402+4-2 +4 -70. 2，求齐次线性方程组的一个基础解系例xxx xx xx xxxxxxxxxxx 67 352.，基础解系应由 个线性无关的解向量构成A

36、r 110-3-110-3-11-12-100-2-2-14-263-4000-124-24-70003 0102系数矩阵作初等变换解1245234545+-3 -02-2-2-03-0.写出的方程对应组： ， ， xxx xxxx xx x 12435.三个非零首元对应未知量为,由于,故选取,为数,参xxxxx1245243545+-3 =2-2=2+3=.，得 项 移 ，xxxxxxxxxx 6851324,=-1=1,=100令代入解出，xxxxx1245243545+-3 =2-2+3= =2.，xxxxxxxxxx 1 X =(-1 1,1 0 0)对应的解向量为， ，1235475

37、1,=,=6=0=163令代入，解得，xxxxx27 51X =(,01)6 63对应的解向量为，12XX.则，是所得方程组的一个基础解系693.3.2 非齐次线性方程组解的结构 对非齐次线性方程组，由于解一般向量的线性组合不是它的解向量。 .0非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组,称为非齐次线性方程导组的出组AXAXb AB012n-r r =r =rnXX ,X ,.,X 特设，是非齐次线性方程组的一个，是解基础导出组的个解系一.121212XXXX A=A= (0) A()=2XXAX=.,不是方程组的解bb bbbb 700011222-1 , .(1). .加到它的的每个解向量上，就

38、得到非齐次线性方程组的全部解向量，它的全部解向量可表为 把非齐次线性方程组的一个特解导出 , ，,定为任组常数理意n rrrnnXXXkk Xk XkkkX 1.( )非齐次线性方程首先：是组的证明解AXb (1)代入非齐次将线性方程组得到0011()0.n rn rjjjjjjA Xk XAXk AXbb012-0,.,!-特解导出组的基础解系，的线性组合n rXAXXXX7100 (-) -0 其次，假设 是非齐次线性方程组的任意一个解向量，由于，XA XXAXAXb b0-.导出组知是的一个解向量XXX 12-1122- . .即存在一组常数 ， ，使得成立n rn rn rkkkXk

39、Xk XkX 001122- .(1).于是,即成立n rn rXXXXk Xk XkX 12-,.,. 基础解系线性组从而是导出组合它的的n rXXX721234512345134512345 223 - 30 22664533 -4. ，解线性方，程组例xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1111121022662311-3001-1-1-5-4 B=.1022660000004533-14000000行初等变换对方程组的增广矩阵施行解行初等变换 25.，原方程有无穷多解ABrr731.先求它的一个特解、134523452 2 +66, - - - 5-4 (2.)写出与阶梯形矩阵对应

40、的方程组为 xxxxx xxx 34512= =0=6=-4. (2) 在令得，中到xxxxx0X =(6,-4,0,0,0) 于是得到特解742 、一个基础导出组的解系求：134523452 2 +60, - - (3 - 5.)0导出组方程为xxxxx xxx 345 1 0 0 0 1 (3)0 0 0 1取， ，；， ，在中分别；，让，xxx123 =(-2,1,1,0,0); =(-2,1,0,1,0);XXX = (-6,5,0,0,1);可求得导出组的基础解系123 (6,-4,0,0,0)(-2,1,1,0,0)(-2,1,0,1,0)(-6,5,0,0,1)方程组的通解为 X

41、kkk 75 例例 求求 ，使齐次线性方程组，使齐次线性方程组有非零解，并求其通解有非零解，并求其通解123123123(3)20,(1)0,3(1)(3)0 xxxxxxxxx解解 系数行列式系数行列式2312|11(1)3(1)3A2|(1)0A0,1当当 ,即即 时时,方程组有非零解方程组有非零解76 将将 代入原方程组代入原方程组，得，得01232313320,0,330,xxxxxxx1312011303A123()111xxkkRx 方程组的系数矩阵方程组的系数矩阵10101100077再将再将 代入原方程组，得代入原方程组，得112313123420,0,640,xxxxxxxx

42、2412101101012614000A123()121xxkkRx方程组的系数矩阵方程组的系数矩阵78例例 取何值时，线性方程组取何值时，线性方程组 12312321231,xxxxxxxxx（1）有惟一解；（）有惟一解；（2）无解；（）无解；（3）有无穷多解，并求解）有无穷多解，并求解解解 方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为1111 ,11A21111111B2(1) (2)A 则则791111 ,11A21111111B2(1) (2)A12 0,A 3,ABrr2 211112 12121203 3311240003B23ABrr此时方程组无解；此时方程组

43、无解；（1）当）当 且且 时，时，（2）当）当 时，时，此时方程组有惟一解；此时方程组有惟一解；80（3）当）当 时，时，11 1 1 111111 1 1 100001 1 1 10000B1ABrr12322331,xxxxxxx 得通解得通解12123111010001xxxkkx 12( ,).k kR，此时方程组有无穷多解，此时方程组有无穷多解由同解方程组由同解方程组81特征值与特征向量特征值与特征向量相似矩阵和方阵的对角化相似矩阵和方阵的对角化82 1 1.XAnXXAnAXA设是 阶 矩 阵 ， 如 果 有和维使 关 系 式（ ） 成 立 ， 那 么 称 实 数为 方 阵的，向

44、量称 为的 对 应 于 特非 零 列 向 量特 征 值征 值的非义零特 征 向 量定 (1) ( 2)0 AE X式也可写成（ ）nn 个未知量 个方程的齐次线性方程组83111212122212.(.3). 0 0.()Xnnnnnnaaaaaaaaa 0EAEA非有解的充要条件是零系数行列式即nA一元 次上式是以 为未知量的，方程特称为 的征方程。,( ),.nfAEA左端是 的 次多项式 记为为 的特征多项式称A的特征值就是特征方程的解。nnA阶矩阵 在范围内有 个复数特征值.84 ()X0X, iiiiiAAEppA设是方阵的一个特征值，则由方程可求得那么便非零解是 的对应于特征值的特

45、征向量 。8531 .11 .3A例求的 特 征 值 和 特 征 向 量2 2 31(3)113 86=(4)(2)AAE解： 的特征多项式为12 2 4A所以的特征值为8612当时 ， 对 应 的 特 征 向 量 应 满 足12321(0 = 1 320)Xixx AE1211 1xx p解得，所以对应的特征向量可取为 1 2 1 20 0 xxxx即87122121223410 =13401 10 0 00-1 4 ()X1ixxxxxx AEp当时 ， 由即， 解 得所 以 对 应 的 特 征 向 量 可 取 为88 ( .0) iiiikkpAp显然，若是方阵 的对应于特征值 的特征向量，则也是对应于的特征向量891 1 04 3 0.1 0 2. 例2A求矩阵的特征值和特征向量 1 2 23 110430(2)(1)102 2, 1 AEAA解：的特征多项式为所以的特征值为9011 11 3 1 01 0 0 24 1 0 0 1 01 0 00 0 00 2(2)X01( 200)