大连理工大学矩阵与数值分析真题答案

1、大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业20XX级试A卷答案课程名称：计算方法授课院(系):应用数学系-一一二三四五六七八九十总分标准分4281515155/100得分考试 日期：20XX年11月 日试卷共_6_页16x5 -17x418x3 -14x2 -13x-142x 16x 8x 1、填空(每一空2分，共42分)1 为了减少运算次数，应将表达式1 改写为06X-17X 18 x-14x-13x-11写iiix 0 x 16 x 8 x -12.给定3个求积节点：冷=0, x 0.5和X2 =1，则用复化梯形公式计算积分1edx求得的近似值为1 1 2e.5 e，,0 4用Simpson

2、公式求得的近似值为1 V 4e'5 L 。61 .设函数s(x)S3 -1, 0, 1 ,若当x ： -1时，满足s(x)二0 ,则其可表示为 s(x) =G(x+1 L + c2X*+q3(x_13+。4.已知 f(0)=0, f(1)=6, f (2)=12,则 f0,1 = 6 ,f0,1,2=卫逼近f (x)的Newton插值多项式为6x。公式为:5.用于求f x二ex-1 -x=0的根x=0的具有平方收敛的Newton迭代"0 0 0"巾0 0"巾1 0)6.已知A =-10 1,则A的Jordan标准型是0 0 1或0 0 03 0 0 700

3、 0,0 0 /Xk 1 = Xk - 2Xk丄e -1-XkXkAe k -1o7.设A是n阶正规矩阵，则A2二A ;8求解一阶常微分方程初值问题u(t) =(t2 -1)u 亠t , u(t°) =u° 的向后(隐式)Euler法的显式化的格式为：un Vunhtn 12 。1 h 1 - t n 19 .设a =211.00112为x的近似值，且x-a乞0.5 10,，则a至少有5_位有效数字;10.将 x = (3,4，化为 y = (5, 0的 Householder矩阵为:r35454535011. %k £0.5u0：'0丿'2 O&

4、#39;<3 112.用二分法求方程f (x) =2x-5x-1 =0在区间1,3内的根，进行一步后根所在区间为1,2，进行二步后根所在区间为1.5,2 。13.1n若 f x dx ：、v Ak f Xkin _ 2 为 Newton-Cotes 求积公式，则0k=0n'AkXkk =01，若为Gauss型求积公式，则Ax：=丄2 _k =014.-10<012，则在Schur分解A=URUh中，R可取为 一11 0<0 -10 1、Z1 t 'i A t d e，z0 1，则 eAt =0 0丿<0 1丿dt<0 0丿O15.设 A二、(8分)

5、已知近似值c =1.21，a2 = 3.65， a3 =9.81均为有效数字,试估计算术运算a3 ar-a2的相对误差界。a3解：由已知,X1 兰丄灯0 J =丄“0,；X2 a2乞丄如0工；X3 a32 22令-10,。2f X1, X2 ,X3 二 XX2 X3， f a1, a2 ,a3 二a3，X3a3由函数运算的误差估计式f Xi, X2 ,X3 - f ai, a2 ,a3 :fx1ai, a2 , a3X1-ai+fx2ai,a2 ,a3X2a2+fx3ai,a2, a3X3-a3a2a1PX1®+ma3a2a3X1 -印 +a1a3x2 -a2| +a1 ，a21 2

6、 a3| X3 _ a3a1 ，a2. _+a2a3#f 洛23f a1,a2,a3 乞从而，相对误差可写成、(15分)设线性方程组：|X13x2=43x1X2=42x1X24X3 =7f ai, 82 , a3(1) 列主元消元法求出上述方程组的解， 并利用得到的上三角矩阵计算 出det( A)(要有换元、消元过程)；(2)试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seide迭代法求解上述方程组是否收敛?(3)请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel 迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。解：Z13 04'z3104 '3104勺 1 0 4&

7、quot;8 88 83104T13 04T0 _ 0 _T0 _ 0 _3333<214 7.<2147,M 1130 4 QQ J<0 0 4 4；(1)故, x 二 1,1,1，det(A) =(一1)0 0 418 3 03 o U二-32。(2) 由于Gauss-Seide迭代法的特征值满足:det D - L U 戸3_36 2 =4 2 _9=0，贝U BG-S =0,0,9，故BG-S =9 1，从而 Gauss-Seidel迭代法发散。f、0-3 0九 30-300，deg _Bj )=3X011门1 1 、-0 一 九< 24丿2 4又由于Jacob

8、i迭代法的迭代矩阵为:B j 二 Bj =0,3, -3，故 Bj 1=3 1，从而 Jacobi迭代法发散。(3)将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后，新的方程组的系3 104数矩阵为：A =13 0 4是严格对角占有的，故 Jacobi和Gauss-Seidel(2147 ?迭代法均收敛。且新的方程组与原方程组同解。Jacob、Gauss-Seide迭代法的分量形式的迭代公式分别为：才1 4-x2k)3x2k J 4 - x1k)3x3k ° J 7 - 2x(k _ x2k 14(k 卅)1 乙 (k) 为 =14 X2)3丿x2f =丄(4一沙)3x3Ht)=1(7-2

9、x(k)-x2k)4四、(15分)对于如下求解一阶常微分方程初值问题 u (t f(t, u)，U(to) = Uo的数值方法11 hun22un12unG3fn2 8fn1 fn证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间;要用此方法解20 u，u(0) =1。为使方法绝对稳定，求出步长h的取值范围并以U0 =1，U1 =1初值，0.01为步长，求出u(0.02)的近似值U2。解：(1)注意，:-0138'v-=8，从而111 = 02 21 13G =2（1_） =02 881 13C2（盲4）-（12-H02 28113 123C3（-二2）（12訴 06228114 1

10、33C4（-一 2 ） -一（1 2 -）=4!23!8Co148故此为线性隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为:14（4）/h（。48（2）令，i ） = ' $ - 1 ' - 12 2_1仏+儿0， 2丿得 1=1，满足根条件；又方法阶p=3 1，故此差分格式收敛。；一3"2一（h< 8 .丿12.丿12 8丿（ ）- h = ）二2 =/u（1 - y13-、-+h一+ h228 3r3r1 h1-h'、8 丿8丿=0而要使得入1的充要条件为:1+ h23-1 - h8:11 1 h 厶»1-1-玄 8山 8而1 一土卫8 3h:2自然

11、成立。现在再由4 8h8 3h:g得8-3h(3) 又对于模型问题：亠(：0),取h-1 h < 1 2h ：1-h一4 4h ： 4 8h ： 4 一 4h =由 一1 h ： 1 2h，可推出一 2 h : 0，即 h 三卜 2, 0 。 #五、(15分)(1) 用Schimidt正交化方法，构造-1,1上以(x) = 1权函数的正交多项式系：0 (x)，1(x)，2(x)，3 (x);54叱dx的数值解。X即应构造具有 3个Gauss点的求积公式。首先023023025230250X322220020202033332222222(1)-0+0X -00X +00353533222

12、220000000555351X3 X2 XA15278 X3亘4525二 Xx315 27145汉25丿= 22x2x ；令 3 x =0即得，135225宀131( 1 2I'曰3(X )=X X = X XI 0，得 Xo 2 _ 135225<135225 丿O-X1+_取 f x =1, X令“"小“口+和(0)+九1(2)构造计算f f(x)dx,具有5次代数精度的数值求积公式;(3) 利用2)的结果求出$0解：由 2n 1 =5 =构造3次正交多项式，令00即得到方程组:2 二人 A A?，0 = -”, 5民孰2，| =|A0 |a. 5 535558解

13、之，得A。=A2 = -，A =-，从而具有5次代数精度Gauss求积公式998f0 I1 5 f x dx '44-4(2) x = 21 t，贝U有 °f x dx = 2, f 21 t dt+ 8江 f (2 )+5汇 f 2 1 +sin/1-4sin x-0J3516 sin2 52弋sin2 1 +' 5 JFTsin'10 2"550X910-2,15sin32.门 50si n29910 2 1510 215sin10一2 15 50 10.15128 sin2 sin_ 10十2/15 i（5010吊）36六、证明题（5分）任选一题1设A, B Cn n均为可逆矩阵，且齐次线性方程组A - B x= 0有非零解，证明：对于Cn n中的任何矩阵范数，都有A，B >1（1）由题意，可知矩阵 A B = A-1 I - A-1B奇异。故I A-1B奇异。反证法，若存在某种范数I"，使得|AB| <1，则P（A"*B）<1，则可知（I + A-1B）非奇异，与条件矛盾。（2）由于A B x= 0有非零解，故对x = 0，取与向量x的范数