谈如何解答最值型应用题

1、谈如何解答最值型应用题德化县葛坑中学张贵焰最（极）值型应用题是高考的重要题型之一，这类问题贴近生活、贴近社会，有利于体现数学的人文价值和社会价值， 有利于考查学生的分析、 猜想、建模和综合应用等各方面的能力，如何解答该类题型是数学课堂必 须解决的一个重要专题。针对最（极）值型应用题，笔者习惯通过归纳不 同的模型，采取三步走的方式引导学生解答。一、认真读题、析题，从中提炼相应的数学模型。当一个应用题摆在你面前，你首先要做的就是把它读懂，然后认真分析题目，找准关键信息，提炼数学模型。例1、某企业为适应市场需求，准备投入资金 10万元，生产 Wffi R型 两种产品。经市场预测，生产 W型产品所获利

2、润y（万元）与投入资金x（万 元）的关系为y = 2-10+ 6xx +1x。生产R型产品所获利润y（万元）与投3，一 一1一.1 一一一、一 入资金x（万元）的关系满足y = -xo为获得最大利润，问生产 W R型两种3产品各应投入资金多少万元？获得的最大利润是多少？（精确到0.01万元） 通过读题，从中可以得到以下四个重要信息：（1）这是一个“最值型应用题”；（2）投入生产 储口 R两种产品的总资金是10万元。如果投入生产 W 的资金是x万元（0ExW10）,则投入生产R的资金是（10-x）万元；（3）生产W型产品所获利润y（万元）与投入资金x（万元）的关系为y-10 + 6x-x2 1=

3、2 十+1xo生产R型产品所获利润y（万元）与投入资金x（万元）31的关系为y=§x。(4)企业所获总利润是生产 W口 R两种产品的利润总和。依据上述四个重要信息，并设投入生产 W的资金为x万元，可以建立 本题的利润数学模型：y = 2,0#" +1x + l(10 . x)=20* +"(0<x<10)o333建立了数学模型，就等于迈出了成功解题最关键的第一步。高中数学 最值型应用题主要涉及哪些数学模型呢？1、常用函数型。通过建立常用函数模型进行解题的最(极)值型应用题是高考及平时 训练最常见的，所涉及的常用函数有：一次函数、二次函数、三角函数、 指

4、数函数、对数函数、分段函数、复合函数等，如例1所建立的就是复合函数的模型。例2、A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往 C、D 两村，如果从A城运往C、D两地运费分别是20元/吨与25元/吨，从B城 运往C D两地运费分别是15元/吨与25元/吨，已知C地需要220吨，D 地需要280吨。如果个体户承包了这次运输任务，请你帮他算一算，怎样 调运花钱最少？解析：此题文字信息量大，数2000$据较多，可先凭借图形处理，如图所示。设A城化肥运往C地x吨。1r1rl计 口吨 本题的终极目标量是总调运费。考虑建立总调运费的等量关系：总调运费=运了的化肥费用。设总调运费用为 y,则可建立如

5、下一次函数模型:y = 20x + 25(200 x) + 15(220 x) + 22(80 + x),化简，得 y = 2x+10060(0<x<200)o例3、在某沙漠地区，A地生产汽油，B地需要汽油，汽车若由A地直接向B地运油，由于往返一次的耗油量恰好等于汽车满载量，所以此法不可行，因此，需要在A到B的途中设一中转站D。先由往返于A D之间的汽车将油从A运到D,再由往返于D. B之间的汽车将油从D运到B（设此过程中，每辆运油车的满载量、耗油量、行驶速度均相等 ）为使运油率达到一 ，一弛收到的油最大，则中转站D就建在何处？（运油率=/", ）s解析：设每辆汽车的满载

6、量为 W ABN间的路程为s, AD=- （x>0）, xW swu小W" 2s x 2 x-1则从A到D的运油率为P1 =W=v vx(x>0),W 2s s (1 x) 2从D到B的运油率为P2 =W1 .=-(x>0), x从A地到B地的运油率P= Pi P2,通过计算可建立以二次函数为主的 11 o 1复合函数模型：P= （1 2） +4（x>0）。例4、某企业生产一种产品时，固定成本为 5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销12 一一一， 售的收入函数为R（x）=5x2x2（万兀）（0WxW

7、5）,其中x是产品售出的数量（单位：百台）。（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量多少时，企业所得的利润最大？解析：利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入 R(x)与其总成本 C(x)之差，由题意，当xW5时，产品能全部售出，当x>5时，只能销售500 台，所以由y= R(x)- C(x)可得：1 25 5x 2x2 (0.5+ 0.25x) 0< x< 5y=11化简得到以下分段函数模型： (5 X 5 - 2 X 52)-(0.5 + 0.25x) x>5,4.75x- Jx2- 0.5 0<x< 5y=2。1 12-0.25xx>52、不

8、等式型。一些最值型的应用题可建立一个不等式模型，通过解不等式(组)而 达到求解的目的。或者先建立形如y= f(x) ,g(x)或y= f(x) + g(x)的函数，再应用“ a+b2«b(a A0,b A0) ”系列不等关系求得最值。例5、根据实验可以测出：汽车从刹车到停车所滑行的距离(m)与时速(km/h)的平方及汽车总重量成正比例关系。设某辆卡车不装货物以时速 50km/h的速度行驶时，从刹车到停车走了 20m,如果这辆货车装着等于车 重的货物行驶时，发现前面 20m处有障碍物，这时为了能在离障碍物5m以外处停车，最大限制时速应是多少(答案只要求保留整数部分，设卡车司 机从发现障

9、碍物到刹车需经过1s)?解析：(1)理顺以下关系：。汽车从刹车到停车所滑行的距离(m)与时 速(km/h)的平方及汽车总重量存在正比例关系；O 2正比例关系中的系数 k 可求吗？题中所给的两个数据：设某辆卡车不装货物以时速50km/h的速度 行驶时，从刹车到停车走了 20m有何作用；G汽车滑行距离的函数表达式是什么；G问题的结论中有障碍物时汽车所允许滑行的最大距离(2)建立函数与不等式模型：建立汽车滑行距离的函数模型：设汽车的时速为x千米/小时，汽车总重量为W,则滑行距离y=kx2 W,其中k为比例系数；今设汽车自重为P,20则当 w=p, x=50 时，y=20Xl0 2千米.由 1OO0=

10、k 502 P,得 k =20.1.2500Px 1000o . y=125PX 103xW °建立最大限速的不等式模型：由题设， 令滑行距离小于等于15米：得 x+ dncDv m3x2 2F>< tJ3o最后通过解不等式求得最大限速。3600125Px 10103、线性规划型。线性规划是运筹学中的基本内容，是通过数形结合方法来解决日 常生活实践中的最优化问题的一种数学模型，具有很强的现实意义。例6、某工厂生产甲、乙产品。已知生产甲种产品1吨需耗A种矿石10吨，B种矿石5吨，煤4吨；生产乙种产品1吨需耗A种矿石4吨，B 种矿石4吨，煤9吨。每1吨甲种产品的利润是600元

11、，每1吨乙种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A种矿石不超 过300吨，B种矿石不超过200吨，煤不超过360吨。甲，乙两种产品应 各生产多少吨(精确到0.1吨)，能使利润总额达到最大值？解析：这个问题中涉及数量很多，相互关系较复杂，可先通过列表帮 助理清数量关系，设生产甲种产品x吨，生产乙种产品y吨，利润总额z元, 建立目标函数，约束条件组，画出可行域。成:目标函数：z=600x + 1000y ,整理3 zy 二 x 5100010x 4y <3005x 4y <2004x 9y <360作直线y = 3 x,5约束条件组:画出可行域,并平移观

12、察找出最优解对应的点。（如图）4、可应用导数型。一些最值应用题可建立高次线性函数模型（三次的较为常见）或一些 复杂但可导且易求驻点的函数模型，就可通过导数的方法求得最值。例7、如下图，用半径为R的圆铁皮，剪一个圆心角为a的扇形，制成一个圆锥形的漏斗，问圆心角 a取什么值时，漏斗的容积最大？分析：设圆锥的 底面半径为r,高为 h,如果求出r,就 可以由Ra = 2二r求 出a。设圆锥的体 积为V,那么V= 1nr2h。由图知：r2+h2=R2。选择对a或r求导数的方法，求漏斗容积的 3最大值。二、提取问题中的特殊限制条件最值型应用题的背景材料来源于生活或其它学科，就会有一些变量的 取值范围受到限

13、制，这一些特殊的限制条件可分成两类:一是明确的限制条件。如例4中题目就对产品售出的数量x做了明确 规定，必须在0WxW5和x>5两个范围内分别建模。例6也有“要求消耗 A种矿石不超过300吨，B种矿石不超过200吨，煤不超过360吨”的明确 限制。二是隐藏的限制条件。限制条件没有明确告知我们，它是现实条件及实际需要的体现，在解题时要给予充分考虑。如例 1中投入生产 W勺资金 必须在0到10万元之间；例2中从A城运往C地化肥的量必须在0到200 吨之间等。这些特殊的限制条件，不管是显性的还是隐性的，在解题中都容易被忽视，因此每次解应用题都要特别重视。三、操作、运算、给出结论。给问题建立了数

14、学模型，找出了各变量的特殊限制条件，就可以开始进行具体的操作、运算，即解模。解模过程中要充分利用“模型”的各种现成属性，时刻注意各变量的特殊限制条件。还有一些“模型”的解答过 程有它自身的步骤模式，解答时一定要按它的步骤模式踏踏实实完成。如解答线性规划型的最值应用题的一般步骤是（见例6） ：（ 1 ）将题目条件条理化、归类，并列表（2）设未知变量x、y,目标变量Z建立目标函数，约束条件组（ 3）作可行域，将目标函数变为y = kx + f（z） 形式，并作直线y = kx（ 4）根据求Z 最大（小）值及f（z） 中 Z 的系数判断直线y = kx 的平移方向。（ 5）找出最优解对应的点，列方程组求出最优解，并计算Z 最大（小）值，写出答案。又如应用导数求解最值型应用题的步骤是（如例7） ：（ 1）建立模型：认真分析实际问题中的数量关系，建立