线性变换学习教案

1、会计学1第一页，共9页。3 线性变换的不变子空间(kngjin)* 定义定义(dngy)3.1 设设是线性空间是线性空间V的线性变换，的线性变换， V1是是V的子空间的子空间.如果对任意的如果对任意的V1 ，总有，总有（）V1 ，则称，则称V1是线性变换是线性变换的不变子空间的不变子空间. 显然，平凡(pngfn)子空间V及0是任何线性变换的不变子空间. 例例 设V是数域F上的线性空间， 是V的线性变换.证明的值域（象集）11()(),VV 是的不变子空间第1页/共9页第二页，共9页。 证明证明 首先可证非空子集首先可证非空子集（V）是）是V的一个子空间的一个子空间.事实上，对于事实上，对于（

2、V）中任意）中任意(rny)向量向量, 及数域及数域F上任意上任意(rny)数数k ，则有，则有1, 1V ，使，使 = （1 ） ，= （1） .于是于是11111)()()()(),V 112)()()().kkkV 可见（V）是V的一个(y )子空间. 又，对于子空间(kngjin)（V）中任意向量 ，当然有 V ，于是（ ） （V），即知（V）是的不变子空间(kngjin).例例3.2 对于数域F上线性空间V的线性变换 ，集合 10()0,V 称为线性变换的核核.证明它是的不变子空间.第2页/共9页第三页，共9页。 证明证明(zhngmng) 显然显然0-10 .对于任意的对于任意的,

3、 -10及任意的及任意的kF，则由，则由（ ）=0， （）=0可推出可推出 1） （+）= （）+ （）=0， 2）（k）= k（）= k0=0. 由1）即知+-10，由2）又知k-10 .于是知-10是V的一个(y )子空间. 例、例告诉我们，对于(duy)线性空间V的任一线性变换 ，其值域和核都是V的子空间，并且是线性变换的不变子空间. 例例 设V是数域F上的线性空间， 是V的线性变换.对于的特征值0 ，记00(),.VV 证明V0是的不变子空间.第3页/共9页第四页，共9页。 证明证明 由习题（由习题（B）中第）中第*4题的结论可知，题的结论可知， V0即是线性变换即是线性变换的对应于特

4、征值的对应于特征值0的所有的所有(suyu)特征向量及零向量组成的非空集合特征向量及零向量组成的非空集合.先证它是的一个子空间先证它是的一个子空间.对于任意的对于任意的, V0及任意的及任意的kF ，有，有0001)()( )()() 002)()( )(),kkkk 再证V0是线性变换的不变子空间(kngjin).事实上，对任意的 V0 ，有（）= 0 ，注意V0是子空间(kngjin)，则有0V0 ，即（）V0 .便证得V0是的不变子空间(kngjin).由1),2)即知+V0, kV0 .于是V0是V的一个(y )子空间. V0称为线性变换相应于特征值的特征子空间特征子空间.第4页/共9

5、页第五页，共9页。 例例 设设V是数域是数域F上的三维线性空间上的三维线性空间(kngjin),线性变换线性变换在基在基1，2，3下的矩阵为下的矩阵为1 1111 .0A试求的各个(gg)特征子空间. 解解 的特征值的特征值(即即A的特征值的特征值)为为1=0, 2 =1(二重二重).对于特征值对于特征值1=1,求得矩阵求得矩阵A与之对应的全部特征向量为与之对应的全部特征向量为k1(1,0,0)T,其中其中k1为数为数(wish)域域F上任意非零数上任意非零数.于是于是,线性变换线性变换对应于特征值对应于特征值1=0的全部特征向量为的全部特征向量为k1 1, k1为数域F上任意非零数.第5页/

6、共9页第六页，共9页。注意到特征子空间(kngjin)V1应由对应于1的全部特征向量及零向量组成这一事实,便知111L(),F .Vkk 类似(li s)地,可求出线性变换对应于特征值2 =1的全部特征向量为k2(21-2-3), k2为数(wish)域F上任意非零数.若记= 21-2-3,则有2123L()(2),F .Vll 定理定理 设是线性空间V的线性变换, V的子空间V1, V2都是的不变子空间,则V1 V2, V1+V2也是的不变子空间.第6页/共9页第七页，共9页。 证明证明 对于对于(duy)任意的任意的V1V2,则则V1且且V2.因为因为V1,V2都是都是的不变子空间的不变子空间,所以所以()V1且且()V2.于是于是() V1V2.即知即知V1V2为为的不变子空间的不变子空间. 又,对于任意(rny)的V1+V2,则有1V1及2V2,使= 1+ 2.由(1)V1, (2