大数定律和中心极限定理

1、第五章 大数定律和中心极限定理、选择题h tn Y r < it1 假设随机变量序列Xi,，Xn独立同分布且EX=O,贝U(A) 0 .(B). (C). (D) 1 .2. 设X,，Xn是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布 (n=1 , 2,)，贝U下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是(A) X 1, X72，Xn/n，.(B) X i, %,，Xn,.(C) X 1, 2X2,，nX,.(D) X i, 2梵，n乂，.n3. 假设Xn, n1为随机变量序列，则当n充分大时，可以用正 态分布作为S的近似分布，如果(A) X n, n1相互独立、同分布.(B) X

2、 n, n1相互独立，且方差存在.(C) X n, n1相互独立，且有共同的密度函数(D) X n, n1相互独立，且有共同的密度函数= -( A > 0) hU),TWO4. 设Xn, n1为相互独立的随机变量序列且都服从参数为入的指数分布,则(B)(C)(D)5. 设随机变量X,，Xn相互独立，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当n充分大时，S近似服从正态分布，只要 X，Xi(A) PX i=m=pq1-m, m=0 1,(1 < i < n).(B)=I T ,匚二：工(C)(1 < i < n)，常数 m =(D) X i服从参数为i的指数分布(1 <

3、; i < n).6. 假设X,，Xn,为独立同分布随机变量序列，且EX=O, DX=C2,贝Ulirn P y V, W 01=丄丄(A) 0 . (B). (C). (D) 1 .7. 下列命题正确的是(A) 由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律.(B) 由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律.(C) 由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律.(D) 由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律.8. 设随机变量X1,人，Xn,独立同分布，EXp(i=1 , 2,)，则根据 切比雪夫大数定律，X1,鬼，X.,依概率收敛于 卩，只要X1, %, %, (A)共同的方差存在.(B)服从指数

4、分布.(B) 服从离散型分布.(D)服从连续型分布.9 假设天平无系统误差将一质量为 10克的物品重复进行称量，则可以断定“当称量次数充分大时，称量结果的算术平均值以接近于1的概率近似等于10克”，其理论根据是（A）切比雪夫大数定律.（B）辛钦大数定律.（C）伯努利大数定律.（D）中心极限定理.二、填空题1 设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为0.05 现在对100个这样的元件进行超负荷试验，以X表示不能承受试验而烧毁的元件数，则根据中心极 限定理P5W X 10.2将一枚骰子重复掷n次，则当n-x时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于.3. 设随机变量序列X1，X,相互独立且都在（-1

5、，1）上服从均匀分布，limA'痴 1 ）则 一2" ； - 1=（结果用标准正态分布函数 （X）表示）.4. 设X,鬼，X100是独立同服从参数为4的泊松分布的随机变量，是其算术平均值，则P0 < 4.392.三、解答题1. 设某种元件使用寿命（单位：小时）服从参数为入的指数分布，其平均使用 寿命为40小时，在使用中，当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件，如此 继续下去，已知每个元件进价为 a元，试求在年计划中应为购买此种元件作多 少预算，才可以有95%勺把握保证一年够用.（假定一年按2000个工作小时计 算,（1.64）=0.95 .）2 .假设每人每次打电话通话

6、时间 X（单位：分）服从参数为I的指数分布，试求 800人次通话中至少有3次超过6分钟的概率a ,并利用泊松定理与中心极限 定理分别求出 a 的近似值（e-2=0.1353，e-6=0.00248，（0.707）=0.7611 ，（1.41）=0.9207）.一、选择题1. D 分析由题设条件及所求概率即知解答此题必须应用大数定律或中心极限定 理，我们仪知“ EX=0”，因而考虑应用辛钦大数定律：y > 0 , Ilin 即IIlimP y A <，取£ =1,有p近"<打f = I又-J又lim F V J < zj = 1 所以，故选(D).2.

7、 D 分析切比雪夫大数定律要求“ Xn, n1是相互独立随机变量序列，且方差 一致有界，即D（Xn） < C, C为常数”.依题意，Xn相互独立且D =丄七1芒 ，由此可知0(= DXa = - « !,门(讥)小兀-1 <2, D(泌兀 J% = n«* JCn所以正确选项为(D).3. D分析由独立同分布中心极限定理的条件：Xn独立、同分布且EX, DX存在， 即知正确选项是（D）.事实上，（A）缺少DX存在条件；（B）缺少同分布条件；（C） 虽然同分布，但发散，故EX不存在，所以选择（D）.4. A分析显然要应用独立同分布中心极限定理来判定.由于Xn独立同

8、分布，且人 川，故ft歼工仏-臥工心* = Ii -1人洛产=PYn< x(x)( n X ).所以正确选项是（A）.5. C分析对应用定理成立条件即知正确选项是(A).事实上,(A)中的所以满足定理条件.儿 * /( v) = -yv(B) 中，即X服从柯西分布，由于J二 bl/U)心右k = 56所以EX不存在，从而知'不存在，选项(B)不成立.p '亦二：用£小：对选项(C)而言，由，知不存在，因而选项(C)不成立.-而选项(D)中的X不是同分布，故'不是同分布，所以也不成立.6. C分析由题设条件即知要应用中心极限定理计算相应的概率，即由丁沖v

9、aJtI "(DJ% 白lim Y V W"二二取x=0,得所以正确选项是(C).7. C分析服从切比雪夫大数定律的条件是：随机变量 Xi, X2,，X.,两两独 立，并且存在常数C,使DXWC(i=1 , 2,，门，)；这样的常数C对于选项(C) 存在.伯努利大数定律可以表述为：假设随机变量 Xi,茨，X，独立 同服从参数为p的0-1分布，则列于任意& >0,都有出叮十£兀-p 彳对于服从参数为P的0-1分布的随机变量X,茨，Xn,，显然= p 1 - p) W i - 1.2从而满足服从切比雪夫大数定律的条件故应选 (C).8. A分析切比雪夫大

10、数定律的条件是：方差存在且存在常数C,使DXW C(i=1 ,2, ，n,).由于各变量同分布，可见它们的方差都等于同一常数，从而切 比雪夫大数定律的条件成立.故应选(A).9. B分析因为各次称量的结果可以视为独立同分布随机变量，其数学期望都等于10克，所以根据辛钦大数定律，当 n-x时，n次称量结果的算术平均值依概率收敛于其共同的数学期望10克：戸心鬥忙4 .故应选(B).二、填空题1. 0.4890分析“电气元件不能承受超负荷试验”视为“试验成功”，p=0.05是成功的概率，对n=100个元件进行超负荷试验，视为n=100次伯努利试验.这样，不能承受试验而烧毁的元件数 X是“试验成功的次

11、数”，X服从参数为 (n , p)的二项分布.根据棣莫弗-拉普拉斯定理，X近似服从正态分布N(np,npq)，其中n=100, p=0.05 , q=0.95 .从而，随机变量近似服从标准正态分布.因此rV - 5二 -1 0 W2. 29 血 2, 29-0 f - ft. 4890,I4.752. 7/2分析设X1,鬼，X是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出 点数的数学期望等于7/2 .因此，根据辛钦大数定律，依概率收敛于7/2 .分析由于X相互独立且都在（-1,1）上服从均匀分布，所以A， °T A ' l：,根据独立同分布中心极限定理，对任意 xR有

12、3;v(-£x.)I - I1=1fJ.X V.7 fl取，得iin)r 壬 | 二 f触 y?)4. 0.975 分析由于=叫7”二4.小二4/JOOur亠"2 .因为n=100充分大，故由列维-林德伯格定理知，近似地服从正态分布N（4，0.22）.因此，有J 答'卜尸* J.% - 0 9751.假设一年需要n个元件，则预算经费为na（元），如果每个元件使用寿命为If厂I ¥鼻2000 M心95i = J、解答题X，则n个元件使用寿命为，依题意n应使得其中X独立同分布（都服从参数为入的指数分布），EX = 1 = 4O.DV = ' = 4护V

13、 I'儿.为求得n需要知道 的分布，根据独立、宀 f2同分布中心极限定理，当n充分大时，近似服从正态分布N（40n，40 n），因此n应使V 工 t,夕 2MH) i 一 少 i »1= !-</>50r.f n - 50“而 (1.64)=0.95，所以I jM k 64 H - 1.64 血50 (J.解得n63.04 .故年计划预算最少应为 64a（元）.2 由题设知X的概率密度为x)若记A=“通话时间超过6分钟”，则A=X>6,p P ( A ) = e = e如果用Y表示“800人次通话中通话时间超过6分钟”的次数，则丫为800次独立重复试验事件 A发生的次数，故丫2o = /* I y > 3; - i3.営丨一工