奥数最大公约数与最小公倍数例题练习及答案

1、精心整理最大公约数与最小公倍数(一)教学目标：1 通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。2 通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。3 .培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。教学过程：一、基本概念知识1. 公约数和最大公约数 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。 如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然 数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约 数。例如：12的约数有：1, 2, 3, 4, 6, 1

2、2;18的约数有：1, 2, 3, 6, 9, 18。自然数a1,a2, ,an的最大公约数通常用符号(引?, ,an)表示，例如，12和18的公约数有：1, 2,3, 6.其中6是12和 18的最大公约数，记作(12, 18)=6。 (8, 12) =4, (6, 9, 15) =3。2. 公倍数和最小公倍数如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。 在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。例如：12的倍数有：12, 24, 36, 48, 60, 72, 84,18的倍数有：18, 36, 54, 72, 90,自然数a1，a

3、2， ，an的最小公倍数通常用符号a1，a2，弘表示，例如12和 18的公倍数有：36,72，. 其中36是 12和18的最小公倍数，记作12 , 18=36。8 , 12=24 , 6 , 9, 15=90。3.互质数如果两个数的最大公约数是1,那么这两个数叫做互质数。常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求n个数的最大公约数：(1) 必须每次都用n个数的公约数去除；(2) 一直除到n个数的商互质(但不一定两两互质)；(3) n个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。求n个数的最小公倍数：(1) 必须先用(如果有)n

4、个数的公约数去除，除到 n个数没有除去1以外的公约数后，在用 n 1个数 的公约数去除，除到n 1个数没有除1以外的公约数后，再用n 2个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2） 只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到n个数的商两两互质为止；（3）n个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。例1用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240 克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格 最低是多少元钱？分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克

5、三级茶叶都是60元，分 装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分 装的袋数应相同，即分装的袋数应是 144，180，240的公约数。题目要求每袋的价 格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。是144,180，240的最大公约数。所以（144，180，240） =2X 2X 3=12即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60+ 12=5（元）。例2用自然数a去除498, 450，414,得到相同的余数，a最大是多少？分析与解：因为498, 450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的 公约数应能被a整除。

6、498-450=48, 450-414=36, 498-414=84 所求数是（48, 36，84） =12。例3现有三个自然数，它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中，最大的 可以是多少？分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求 最大公约数。只能从唯一的条件 它们的和是111T入手分析。三个数的和是1111, 它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101X11它的约数只能是1, 11, 101 和1111，由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111, 1111不可能 是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101,

7、101和909。所以 所求数是101。例4在一个30X 24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？分析与解：（30, 24） =6，说明如果将方格纸横、竖都分成 6份，即分成6X6个 相同的矩形，那么每个矩形是由（306 X （246 =5X4（个）小方格组成。在6X66勺简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线， 所以经过5个格点（见左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的5X4个小方格中,对角线不经过任何格点（见右下图）。所以，对角线共经过格点（30, 24） -1=5 （个）例5甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别

8、需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会， 即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是 60，75, 90的公倍数。所求时间为60， 75, 90=900 （秒）=15 （分）。例6爷爷对小明说：我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保 持不变的。爷爷的年龄现在是小明的 7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理， 他们的年龄差也是5,

9、4, 3, 2，1的倍数。由此推知，他们的年龄差是 6, 5, 4, 3, 2的公倍数。6, 5, 4, 3, 2=60, 爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差 应是60岁。所以现在 小明的年龄=60-（7-1） =10 （岁），爷爷的年龄=10X 7=70（岁）。二、随堂练习1. 甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是5冬甲数是多少？ 乙数是多少？2. 块长方形地面，长120米，宽甜米，委在它的四周和匹角肿树，每两 棵之间的距离村等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少氷？3. 己知两个自然数的积是5M&,它们的最大公约数是乱求

10、这两个自然久兄弟三人在外工作，大哥&天回菇一次，二哥呂天回家一次，小弟12天回 家一次.兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？5将长鬲分）It宽羽分氷，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能 大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体枳是多少？ 一共可锯多少块？6箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过1的整千克数，去掉箱子 后地雷寿重23千克，拿出若干个地雷后浄重1茅千克求一个地雷的重量7最大公约数与最小公倍数（二） 摘要：这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍 数的概念加以推广。在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法可知，(18

11、, 12) =2X3=6, 18, 12=2X 3X 3X2=36。如果把 18与 12 的最大 公约数与最小公倍数相乘，那么(18, 12)X 18, 12=(2X3)x( 2X3X 3X 2)=(2x3x 3)x( 2x 3x 2) =18x 12。也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18, 12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论： 两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，(a, b)x a, b=ax b。例1两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18, 求另一个自然

12、数。解：由上面的结论，另一个自然数是(6X 72)- 18=24。例2两个自然数的最大公约数是 乙最小公倍数是210。这两个自然数的和是77, 求这两个自然数。分析与解：如果将两个自然数都除以 乙则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。这两个自然数的和是11,求这两个自然数。”改变以后的两个数的乘积是1X 30=30,和是11。30=1 x 30=2x 15=3x 10=5x 6,由上式知，两个因数的和是11的只有5X 6,且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6,故原来的两个自然数是7x5=35和 7X6=42。例3已知a与b, a与c的最大公约数分别是12和15, a,

13、 b, c的最小公倍数是120,求 a, b, c。分析与解：因为12,15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是12,15=60的倍数。再由a，b，c=120知，a只能是60或120。a，c=15，说明c 没有质因数2,又因为a, b, c=120=23 x 3,所以c=15。因为a是c的倍数，所以求a, b的问题可以简化为：“ a是60或120,( a, b)=12, a, b=120,求 a, b。” 当 a=60时， b= (a, b)x a, b-a=12x 120-60=24;当 a=120 时，b= (a, b)x a, b -a1=12 x 120 例4有甲'

14、; 乙 丙三刊溶液，分别重4土千总 哥千克和頤千克。现120=12。所以 a,b,c为60, 24, 15或120, 12, 15。要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入 液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克？分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三种溶液重量 的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以 将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。为此， 先求几个分母的最小公倍数，6, 4, 9=36,三种溶液的重量都乘以36后，变为 150, 135 和 80,( 150, 135, 80) =5。上式说明，若三种溶液分

15、别重150, 135, 80千克，则每瓶最多装5千克。可实际重量是150, 135, 80的1/36，所以每瓶最多装在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。如果若干个分数(含整数)都是某个分数的整数倍，那 么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称 为这若干个分数的最大公约数。由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法：(1) 先将各个分数化为假分数；（2）求出各个分数的分母的最小公倍数 a;（3）求出各个分数的分子的最大公约数 b;（4）b即为所求。a例5求55，25，6-的最大公约数。689类似地，我们也可

16、以将最小公倍数的概念推广到分数中。如果某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。求一组分数的最小公倍数的方法：（1）先将各个分数化为假分数；（2）求出各个分数的分子的最小公倍数 a；（3）求出各个分数的分母的最大公约数 b；一个陷井。它们之中谁先掉进陷井？它掉进陷井时另一个跳了多远？同理，黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为所以黄鼠狼掉进陷井时跳了 311/2 + 63/10=5 （次）。黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了专题练习1将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。2两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？3求下列各组分数的最大公约数：4求下列各组分数的最小公倍数：部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶？于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。L甲数是1乩乙数是飙