113导数的几何意义

1、1.1.3导数的几何意义导数的几何意义OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)1 1、平均变化率、平均变化率 一般地，函数在区间上一般地，函数在区间上 的平均变化率为的平均变化率为 )(xf,21xx1212)()(xxxfxfxy割线割线AB的的斜率斜率1212)()(xxxfxfxykf(x2)-f(x1)=y复习引入复习引入2 2、平均变平均变化率的几何意义：化率的几何意义： x2-x1=x3.3.导数的概念导数的概念)(xfy 0 xx 4.求函数求函数在在 处的导数的步骤处的导数的步骤（1）求平均变化率（2）取极限)(xfy 0 xx 函函数数在在 处的导数处的导数:000

2、00()()()limlimxxf xxf xffxxx y 0000,.,?fxfxxxfxxxfx我们知道 导数表示函数在处的瞬时变化率 反映了函数在附近的变化情况 那么 导数的几何意义是什么呢提出问题提出问题xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)Mxy能否由平均变化率的几何意义推出导数的几何意义？能否由平均变化率的几何意义推出导数的几何意义？xyPQk 即：当即：当x0时，割线时，割线PQ的的斜率的极限斜率的极限，就是曲线，就是曲线在点在点P处的处的切线的斜率切线的斜率，所以：切线k 0 xfxylim)(00 xxfyxo)(xfy P相切相交再来一次 表示表示f(x)在点

3、在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率处的切线的斜率。 )(0 xf 导数的几何导数的几何意义：意义：xxfxxfxyxfxx)()()(k00000limlim切线 .,.105 . 69 . 4, 31 . 312102附近的变化情况在述、比较曲线请描据图象根图象的数时间变化的函示跳水运动中高度随它表如图例tttthttth0l1l2lthO0t1t2t31 . 3图变变化化情情况况. .刻刻画画曲曲线线在在动动点点附附近近的的, ,利利用用曲曲线线在在动动点点的的切切线线 .,210变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttth展示成果展示成果 .,.,10

4、000几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当ttxltthtt .,. 0,2111111附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当ttthttthltthtt .,. 0,3222222单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当ttthttthltthtt .,31 . 32121附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图ttthll0l1l2lthO0t1t2t31 . 3图hto3t4t 附近的变化情况。、在较曲线根据图像，请描述、比43ttth。数在两点附近单调递增点附近曲线上升，即函，所以

5、在两斜率均大于处的切线的、函数在0tt43附近上升的快速附近比在这说明曲线在处切线的倾斜程度，处切线的倾斜程度大于但是4343tttt变式变式 结论：结论：根据导数的几何意义，根据导数的几何意义， 当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；是上升的，即函数在这点附近是单调递增； 当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；是下降的，即函数在这点附近是单调递减； 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的几何意义

6、，就是曲线线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是处的切线的斜率是 . )(0 xf 故曲线故曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:)()(000 xxxfxfy 导数的几何意义导数的几何意义xxfxxfxyxfxx)()()(k00000limlim切线例例2:2210(1)1 (11)|limxxxyx 解：22(1)yx切线方程：20 xy即：（2）求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.202lim2

7、xxxx （1）若）若曲线曲线y=f(x)在点在点(x0,f(x0)处的切线方程处的切线方程 为为2x+y+1=0，则，则 . )(0 xf-20BxAxxyBA 的大小关系是与则的图象如图所示、已知函数)()()(1BAxfxfxfy)()(.BAxfxfA)()(.BAxfxfB)()(.BAxfxfC不能确定.D反馈反馈 达标训练达标训练B处的切线方程）点的斜率；（）割线（，求：的横坐标是点，的横坐标是上的两点，且点是曲线和点、已知点PPQQPxyQP2121322042),1(2)2(2)2(2)31 (3)1 ()2(312)2(111 , 22-1limlim0022yxxyPxxyKxxxxyKQPxxPQ即：处的切线方程为：所以，在点）（）（），（解：由题意可得3、求切线方程的步骤：、求切线方程的步骤：)() 1 (0 xfk求切线斜率)()2(000 xxxfyy切线方程为：总结总结1、导数的几何意义：、导数的几何意义： 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是 . )(0