《必修2：圆与圆的位置关系》教案

1、适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版区域课时时长分钟2课时知识点圆和圆的位置关系的判定教学目标掌握圆和圆的五种位置关系教学重点判定两圆位置关系教学难点根据两圆位置关系求参数【教学建议】在学习了“直线和圆之后 ,再来学习本节内容 ,学生会有一种熟悉的感觉 ,如在研究两个圆的位置关系时 ,通过画图就可以得到。而在解题方法上 ,依然可以采用数形结合的方法 ,而有的问题那么必须通过代数方法才可以获得准确的解 ,所以对不同的题目要判断用什么方法是最正确的。对于五种关系的代数判断方法 ,也应该让学生在理解的根底上去记忆对应的代数形式。【知识导图】教学过程一、导入两个圆的位置关系有外离、外切、相交、内

2、切、内含如何判断圆与圆的位置关系方法一几何法：设两圆连心的距离为 ,两圆的半径为R、r ,那么两圆外离d>R+r 没有公共点两圆外切 d=R+r 有唯一的公共点两圆相交 R-r<d<R+r(Rr) 有两个公共点两圆内切 d=R-r (R>r) 有唯一的公共点两圆内含 d<R-r (R>r) 没有公共点二、知识讲解考点1 圆和圆的位置关系的判定1.两个圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含2.如何判断圆与圆的位置关系方法一几何法：设两圆连心的距离为 ,两圆的半径为R、r ,那么两圆外离d>R+r 没有公共点两圆外切 d=R+r 有唯一的公共点两圆相交

3、 R-r<d<R+r(Rr) 有两个公共点两圆内切 d=R-r (R>r) 有唯一的公共点两圆内含 d<R-r (R>r) 没有公共点方法二方程法：将圆与圆的方程联立成方程组一个变元的二次方程 ,判别式为 ,那么<0方程组无解圆和圆无公共点相离或内含=0方程组仅有一解圆和圆相切内切或外切；>0方程组有两组不同解圆和圆相交考点2 相交弦方程两个圆的方程作差 ,即可得它们公共弦所在的直线方程三 、例题精析类型一 两圆相切及其应用例题1 如图 ,在平面直角坐标系中 ,以为圆心的圆.及其上一点设圆与轴相切 ,与圆外切 ,且圆心在直线上 ,求圆的标准方程。【答案

4、】： 【解析】：在直线上 ,设 ,圆与轴相切 ,圆为：,又圆与圆外切 ,圆： ,即圆： , ,解得 ,圆的标准方程为类型二 圆与圆相交的应用例题2如图 ,在平面直角坐标系中 ,点 ,直线设圆的半径为1 ,圆心在上假设圆上存在点 ,使 ,求圆心的横坐标的取值范围【答案】： 【解析】：设点 ,由 ,知： ,化简得： ,点的轨迹为以为圆心 ,2为半径的圆 ,可记为圆 ,又点在圆上 , ,圆与圆的关系为相交或相切 , ,其中 , ,解得：四 、课堂运用根底1. 圆 ,圆 ,试判断圆与圆的关系？2. 求经过点M(2,-2),且与圆与交点的圆的方程3. 圆的方程是: ,圆的方程是:,为何值时两圆相切；相交

5、；相离；内含.4. 圆C与圆相外切,并且与直线相切于点,求圆C的方程. 5. 圆：和圆： ,那么当它们圆心之间的距离最短时 ,两圆的位置关系如何? 答案与解析1【解析】两圆相交.2【解析】x2+y2-3x-2=0.3【解析】 1两圆相交-1m2或-5m-2；2圆相外切 ,m=-5或m=2；3两圆内含-1m-24【解析】(x-2)²+(y+23)²=4;或(x-4)²+y²=4.5【解析】两圆心之间的距离 ,显然当时 ,两圆心之间的距离最短 ,此时圆的方程为 ,圆的方程为 ,所以两圆的圆心距为 ,故这两圆的位置关系为相交.稳固1. 如果圆C：x2y22ax

6、2ay2a240与圆O：x2y24总相交 ,那么实数a的取值范围是_2. 在平面直角坐标系xOy中 ,圆M：(xa)2(ya3)21(a>0) ,点N为圆M上任意一点假设以N为圆心、ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点 ,那么a的最小值为_3. 圆(x2a)2(ya3)24上总存在两个点到原点的距离为1 ,那么实数a的取值范围是_4.假设O1：x2y25与O2：(xm)2y220(mR)相交于A ,B两点 ,且两圆在点A处的切线互相垂直 ,那么线段AB的长度是_5 两圆交于点A(1,3)和B(m,1) ,两圆的圆心都在直线xy0上 ,那么mc的值等于_答案与解析1【解析】圆C的标准方程为

7、(xa)2(ya)24 ,圆心坐标为(a ,a) ,半径为2依题意得0<<22 ,所以0<|a|<2所以a(2 ,0)(0 ,2)2【解析】由题意 ,得圆N与圆M内切或内含 ,即MNON1ON2 ,又ONOM1 ,所以OM3 ,3a3或a0 ,因此a的最小值为33【解析】由题意 ,两圆(x2a)2(ya3)24与x2y21相交于相异两点 ,所以1<<3 ,即解得<a<04. 【解析】由两圆在点A处的切线互相垂直 ,可知两切线分别过另一圆的圆心 ,即AO1AO2 ,在直角三角形AO1O2中 ,(2)2()2m2 ,m±5 ,|AB|2&#

8、215;4.5.【解析】由题意 ,知线段AB的中点在直线xy0上 ,20 ,mc3.拔高1.在平面直角坐标系中圆的方程为 ,假设直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,那么的最大值是 .2.如图 ,在矩形中 , ,以为圆心1为半径的圆与交于圆弧为圆在矩形内的局部。在圆弧上确定点的位置 ,使过的切线平分矩形的面积；假设动圆与满足题的切线及边都相切 ,试确定的位置 ,使圆为矩形内部面积最大的圆答案与解析1【解析】圆的方程可化为:,圆的圆心为,半径为1. 由题意,直线上至少存在一点以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点; 存在,使得成立,即. 即为点到直线的距离,解得. 的最

9、大值是. 2【解析】(以点为坐标原点 ,所在直线为轴 ,建立直角坐标系设 ,圆弧的方程切线的方程：可以推导：设直线的斜率为 ,由直线与圆弧相切知： ,所以,从而有直线的方程为 ,化简即得设与、交于可求 ,平分矩形面积 ,又 解、得：由题可知：切线的方程： ,当满足题意的圆面积最大时必与边相切 ,设圆与直线、分别切于 ,那么为圆的半径 ,由舍 , ,点坐标为.五、课堂小结1判断两圆的位置关系的方法:(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定.(2)依据连心线的长与两半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系.设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0) ,圆O2：(xa2)2(yb2

10、)2r (r2>0). 方法位置关系几何法：圆心距d与r1 ,r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离d>r1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|<d<r1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d<|r1r2|(r1r2)无解2对于求切线问题 ,注意不要漏解 ,主要是根据几何图形来判断切线的条数.3一般地 ,两圆的公切线条数为：相内切时 ,有一条公切线；相外切时 ,有三条公切线；相交时 ,有两条公切线；相离时 ,有四条公切线.4求两圆的公共弦所在直线方程 ,就是使表示圆的两个方程相减消去二次项即可得到.六、课后

11、作业根底1.点 ,圆： ,过作圆 ,使与相切 ,并且使的圆心坐标是正整数 ,求圆的标准方程2.圆与圆相切 ,求的值.3. 圆,与圆相交 ,求公共弦所在的直线方程.4. 圆： ,圆： ,为何值时 ,1圆与圆相外切？2圆与圆相内含？5.如果一个圆与圆外切 ,并与直线相切于点 ,求这个圆的方程.答案与解析1【解析】圆方程为或2【解析】3【解析】4【解析】125【解析】或 稳固1. 求以圆：和圆：公共弦为直径的圆的方程.2圆与圆的公切线有_条3假设圆与圆的公共弦的长为 ,那么_.4.设两圆都和两坐标轴相切 ,且都过点 ,那么两圆心的距离_.5两圆和.求：(1)取何值时两圆外切？(2)取何值时两圆内切？(3)时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长答案与解析1【解析】圆的方程为2【解析】因为两圆的位置关系是相交 ,所以公切线有两条3【解析】4【解析】5【解析】 (1)(2)(3)拔高1在平面直角坐标系中 ,假设直线上存在一点 ,圆上存在一点 ,满足 ,那么实数的最小值为 2在平面直角坐标系中 ,假设圆上存在点 ,且点关于直线的对称点在圆上 ,那么的取值范围是 3两圆C1：x2y22x10y240 ,C2：x2y22x2y80 ,那么两圆公共弦所在的直线方程是_4两圆x2y26x6y480与x2y24x8y440公切线的条数是_5O的方程是x2y2