121任意角的三角函数（2）

1、任意角的三角函数的定义 设设是任意一个角是任意一个角,的的终边与单位圆终边与单位圆交于点交于点P(P(x, ,y), ), 那么那么 (1)(1)正弦正弦:sin=:sin= (2)(2)余弦余弦:cos=:cos=(3)(3)正切正切:tan=:tan=P(P(x, ,y) )0 0 xyA(1,0)A(1,0)y ；x ；yx(0)x 一般地一般地，设角，设角终边上任意一点终边上任意一点( (异于原点异于原点) )P P( (x, ,y),),它到原点它到原点( (顶点顶点) )的距离为的距离为r(r(r0)0)，则，则sinsin= ;cos= ;cos= ;tan= ;tan= .=

2、.yxxryr三角函数的坐标定义三角函数的坐标定义 ：三角函数值符号法则 均为正均为正sinsintantanx0 0ycoscos口诀：口诀：“一正二正弦、三切四余弦。一正二正弦、三切四余弦。” (1)(1)正弦正弦:sin=:sin=y ; ;(2)(2)余弦余弦:cos=:cos=x ; ;(3)(3)正切正切:tan= (:tan= (x0).0).yx1.2.1 任意角的三角函数（任意角的三角函数（2）终边相同的角的同一三角函数值相等，终边相同的角的同一三角函数值相等，（诱导公式一）（诱导公式一）由三角函数的定义可知：由三角函数的定义可知： 利用公式一，可把求任意角的三角函数值，利用

3、公式一，可把求任意角的三角函数值，转化为求转化为求 0 360角的三角函数值角的三角函数值P(P(x, ,y) )0 0 xyA(1,0)A(1,0)P(P(x, ,y) )0 0 xyA(1,0)A(1,0)（诱导公式一）（诱导公式一） 利用公式一，可把求任意角的三角函数值，利用公式一，可把求任意角的三角函数值，转化为求转化为求 0 2角的三角函数值角的三角函数值例例1 1、求值、求值: :sin(-1740sin(-1740)cos1470)cos1470+cos(-660+cos(-660)sin750)sin750+2tan(-2115+2tan(-2115).). ;45tan)31

4、1sin(2313cos2)65tan(3)1( 练习、求值练习、求值: :练习、求值练习、求值: :.37cos49tan)47sin(417tan3325tan)2(32 思考思考1 1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆的为第一象限角，其终边与单位圆的交点为交点为P(P(x, ,y) )，则，则sinsin= =y,cos,cos= =x都是正数，你能分别都是正数，你能分别用一条线段表示角用一条线段表示角的正弦值和余弦值吗？的正弦值和余弦值吗？P P( (x, ,y) )O OxyM M三角函数线 |MP|=|MP|=y=sin=sin|OM|=|OM|=x=cos=cos

5、思考思考2 2：若角若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P(x,yP(x,y) )），则），则sinsin= =y,cos,cos= =x都是负数，此时角都是负数，此时角的正的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？弦值和余弦值分别用哪条线段表示？P P( (x, ,y) )O OxyM M-|MP|=-|MP|=y=sin=sin-|OM|=-|OM|=x=cos=cos 为了简化表示，我们设想将线段的两个端点规定为了简化表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符

6、号带有正负值符号. . 我们把我们把规定了方向规定了方向( (即规定了起点和终点即规定了起点和终点) )的线段的线段称为有向线段称为有向线段. . B BC CA AAB=4AB=4BA=-4BA=-4CB=-2CB=-2有向线段的数量：有向线段的数量：若有向线段若有向线段ABAB在有向直线或与有向直线在有向直线或与有向直线平行，根据有向线段平行，根据有向线段ABAB与有向直线方向相同和相反，分别与有向直线方向相同和相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量段的数量。 我们把我们把规定了方向规定了方向( (即规定了起点

7、和终点即规定了起点和终点) )的直线称为的直线称为有向直线有向直线. .思考思考3 3：由上分析可知，当角由上分析可知，当角为第一、三象限角时，为第一、三象限角时，sinsin、coscos可分别用有向线段可分别用有向线段MPMP、OMOM表示，即表示，即MP=sinMP=sin，OM=cosOM=cos，那么当角，那么当角为第二、四象限角时，为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？你能检验这个表示正确吗？ P P( (x, ,y) )O OxyM MP(P(x, ,y) )O OxyM MP P( (x, ,y) )O OxyM MP P( (x, ,y) )O OxyM M思考思考4

8、4：当角当角的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角的正弦线和余的正弦线和余弦线的含义如何？弦线的含义如何？O OxyP PP P定义：定义：设角设角的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的交点为P P，过点，过点P P作作x轴的轴的垂线，垂足为垂线，垂足为M M，称有向线段称有向线段MPMP, ,OMOM分别为角分别为角的的正弦线正弦线和和余弦线余弦线. .P PO OxyM M思考思考5 5：设设为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sin+cossin+cos 1 1吗？吗？P PO OxyM MMP+OMOP=1MP+OMOP=1A AT T思考思考6

9、6：如图，设角如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆的为第一象限角，其终边与单位圆的交点为交点为P(P(x, ,y) )，则，则 是正数，用哪条有向线段表是正数，用哪条有向线段表示角示角的正切值最合适？的正切值最合适？P PO OxyM MATxytanxytanA AT T思考思考7 7：若角若角为第四象限角，其终边与单位圆的交点为为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P(P(x, ,y) )，则，则 是负数，此时用哪条有向线段表示是负数，此时用哪条有向线段表示角角的正切值最合适？的正切值最合适？P PO OxyM MATxytanxytanA AT TP PO OxyM M思考思考8 8：若

10、角若角为第二象限角，其终边与单位圆的交点为为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P(P(x, ,y) )，则，则 是负数，此时用哪条有向线段表示是负数，此时用哪条有向线段表示角角的正切值最合适？的正切值最合适？ATxytanxytanP PO OxyM MA AT T思考思考8 8：若角若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P(P(x, ,y) )，则，则 是正数，此时用哪条有向线段表示是正数，此时用哪条有向线段表示角角的正切值最合适？的正切值最合适？ATxytan正切线：正切线：过点过点A(1,0)A(1,0)作单作单位圆的切线，与角位圆的切线，与角的终的

11、终边或其反向延长线相交于边或其反向延长线相交于点点T T，则，则AT=tanAT=tan. .xytan思考思考9 9：当角当角的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角的正切线的几的正切线的几何含义如何？何含义如何？O OxyP PP P 当角当角的终边在的终边在x轴上时，轴上时，角角的正切线是一个点；的正切线是一个点； 当角当角的终边在的终边在y轴上时，轴上时，角角的正切线不存在的正切线不存在. .练习、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：练习、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1 1） ； （2 2） 。 O OxyA AP PM MO OxyA AP PM M32512O

12、OxyM M1 1P P1 1P P2 2例例2 2、在、在0 022内，求使内，求使sinsin= = 成立的成立的的取值集合的取值集合. .23M M2 2变变: :在在0 022内，求使内，求使sinsin 成立的成立的的取值集合的取值集合. .2323y2222 练习：利用三角函数线练习：利用三角函数线, ,求满足下列条件的角求满足下列条件的角的集合的集合: : (1)cos= ; (2)cos- . (1)cos= ; (2)cos- . xO OyM M22 x1P2P3练习：求满足下列条件的角练习：求满足下列条件的角的集合：的集合： (1)tan=1; (2)tan(1)tan=1; (2)tan . .2123422练习、求满足下列条件的角练习、求满足下列条件的角的集合：的集合：(1) sin(1) sin ; (2)cos(- )-