论文资料：定积分的应用

1、.精品文档 免费阅读 免费分享 如需请下载！第六章 定 积 分 的 应 用一. 基本内容1. 平面图形的面积(1) 直角坐标的面积公式由曲线,直线以及轴所围成的平面图形的面积,当时,当时, ,一般地,有.若在区间上,则由曲线及直线所围平面图形的面积公式为.(2) 极坐标的面积公式若平面曲线由极坐标方程给出,则由该曲线及射线所围成的平面图形(即曲边扇形)的面积为.2. 体积(1) 旋转体的体积若曲线由方程给出,则由此曲线绕轴旋转所成的旋转体的体积为,类似地,绕轴旋转一周,其体积为,(2) 平行截面面积为已知的立体体积若平行截面的面积为,则立体的体积元素为,故立体的体积为.按:这里尽管为已知,但实

2、际问题中都要建立适当的坐标系,根据已知条件,先把的表达式求出,这是一个难点.3. 平面曲线的弧长(1) 由函数在上给出的光滑曲线(指连续可导),则曲线的弧长为.(2) 若曲线由参数方程给出,则曲线的弧长为.(3) 若曲线由极坐标给出,则曲线的弧长为.4. 功(1) 变力沿直线所作的功物体在变力的作用下,沿直线由运动到,所作的功为,其中为功元素.(2) 从某容器中抽出液体所作的功其为,为液体的密度,为功元素.5. 液体的侧压力 坐标系如图 求平板一侧的压力(平板铅直地置于液体中),压力,为液体的密度,为压力元素.二. 选择.1. 由曲线,轴及直线所围图形的面积是:A. b-a B. a-b C.

3、 0D. 2a-b2. 求抛物线及其在点和处的切线所围成的图形的面积是: A. B. C. D. 3. 星形线所围图形的面积是：A B. C. D. 4. 三叶玫瑰线所围图形的面积是：A B. C. D. 5. 由绕一周形成的旋转体的体积是：A B. C. D. 6. 由所围成的图形，分别绕轴及轴旋转所得两个旋转体的体积是：A B. C. D. 7. 两半径为的圆柱体垂直相交，其公共部分的体积为：A. B. C. D. 8. 曲线上相应于的一段弧的长度为：A B. C. D. 9. 对数螺线相应于自到的一段弧长为：A.B.C. D.10. 半径为米的半圆形水闸门铅直放入水中，直径与水面相齐，则

4、水对闸门一侧的压力为：A B. C. D. 三. 填空1曲线所围图形面积为2抛物线及其在点处的法线所围成的图形的面积为 _3及所围公共部分的面积为4绕轴一周所生成体积为5心形线和直线及围成图形绕极轴一周所生成旋转体的体积为6 摆线上分摆线第一拱的长成的坐标为7心形线的全长为8曲线在一段弧长为9设在底半径为3米，高为2米锥顶朝下的圆锥形水池内装满了水，现用抽水机将水全部抽出，所作的功为10一铅直倒立的等腰三角形水闸，其底为6米，高为4米，底与水面相齐，已知水比重为1，则水闸一侧所受压力为四. 计算1.求曲线与直线围成图形的面积2.直线将椭圆线分成两块，设小块面积为，大块面积为，求3.计算围成的面

5、积4.求对数螺线及射线所围成图形的面积5.计算由所围成图形分别绕轴、轴一周生成旋转体的体积6.求由星形线与两坐标轴所围成平面图形绕轴一周所得立体体积7.求曲线的全长8.求曲线相应于自至一段弧长9.计算曲线上相应于从1到一段弧长10.证明曲线的一个周期的弧长等于椭圆的围长11.一旋转体由椭圆绕轴旋转而成，今沿轴方向并以轴为中心轴将此旋转体穿心钻一个孔，使剩下的环行体体积为原体积的一半，求钻孔的半径12.一物体按规律作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由移至时，克服媒质阻力所作的功13.设一锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功14.一底为8厘米，高

6、为6厘米的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下，且与水面平行，而顶离水面3厘米，试求它每面所受的压力15.灌溉涵洞的断面为抛物线拱形如图，当水面高出涵洞顶一米时，求涵洞闸门上所受的水压力（） 提示：建立坐标系如下（1）抛物线方程为由于过点点，所以五. 自测试题1求和所围图形面积2圆被心形线分割成两部分，求这两部分的面积3求曲线与它的渐进线之间图形的面积4求由双曲线，直线，所围成的图形绕旋转一周所成立体的体积5一立体是以长半轴，短半轴的椭圆为底，而垂直于长轴的截面都是等边三角形，求此立体的体积6一曲线由参数方程给出，计算自至一段弧长7证明双纽线的全长。可表为8 半径为1米的球沉入水中，顶部与水面相切，球比重与水相同，计算将球从水中刚提出时所作的功9 水深8米处，有一半径为2米的半圆洞，洞弧顶向上，洞口有一闸门，水比重，计算水对闸门一侧的压力参考答案二选择 1.(A) 2.(C) 3.(B) 4.(A) 5.(A) 6.(A) 7.(A) 8.(B) 9.(A) 10.(A)三填空 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.千焦 10.千牛四计算 1. 2.