机器人运动学学习教案

1、会计学1机器人运动学机器人运动学第一页，共53页。第1页/共53页第二页，共53页。 串联关节，每个杆件最多与串联关节，每个杆件最多与2个杆件相连，如个杆件相连，如Ai与与Ai-1和和 Ai+1相连。由运动学的观点来看，杆件的作用仅在于它能保持其两端关节间的形态不变。这种形态由两个相连。由运动学的观点来看，杆件的作用仅在于它能保持其两端关节间的形态不变。这种形态由两个(lin )参数决定，一是杆件的长度参数决定，一是杆件的长度 li（ ），一个是杆件的扭转角），一个是杆件的扭转角 iiaAiAi+1iiliili第2页/共53页第三页，共53页。 确定杆件相对位置确定杆件相对位置(wi zhi

2、)(wi zhi)关系，由另外关系，由另外2 2个参数决定，一个是杆件的距离：个参数决定，一个是杆件的距离： ，一个是杆件的回转角：，一个是杆件的回转角： iidiidiAiAi+1iilid1iliAi-1id第3页/共53页第四页，共53页。AiAi+1iilid1iliAi-11iz1ix1iy1ioizixiyioLi 沿沿 xi 轴，轴， zi-1 轴与轴与 xi 轴交点到轴交点到 0i 的距离的距离(jl)i 绕绕 xi 轴，由轴，由 zi-1 转向转向zidi 沿沿 zi-1 轴，轴，zi-1 轴和轴和 xi 交点至交点至0i 1 坐标系原点的距离坐标系原点的距离(jl)i 绕绕

3、 zi-1 轴，由轴，由 xi-1转向转向 xi第4页/共53页第五页，共53页。第5页/共53页第六页，共53页。1sincos0cossincossinsin0sincoscoscossin00sincos1iiiiiiiiiiiiiiiiiiidaaA001112iiiTAAA D-H D-H变换变换(binhun)(binhun)矩阵矩阵第6页/共53页第七页，共53页。统，在一个单一串联中总共有6个（或小于6个）自由度时，是可解的，一般是数值解，它不是解析表达式，而是利用数值迭代原理求解，它的计算量要比解析解大如若干个关节轴线相交和或多个关节轴线等于0或90的情况下，具有6个自由度的

4、机器人可得到解析解第7页/共53页第八页，共53页。 在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它也可以关节机器人的机座坐标系原点，它也可以(ky)见到被操作物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵见到被操作物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵T1来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。表示。1000101-002001-010-001T

5、100091-00100011010T21xyz第8页/共53页第九页，共53页。xyzz机y机z物y物x物oO机O物 T T 21物机机摄物摄求，已知TTT TT 11 -2）（有：物摄摄机物机TTT 100091-00100011010 1000101-002001-0100011000110010001-11010 O物根据T1画出O机根据T2画出因此物体位于机座坐标系的（因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的处，它的X，Y，Z轴分别轴分别(fnbi)与机座坐标系的与机座坐标系的-Y，X，Z轴平行。轴平行。 第9页/共53页第十页，共53页。xyzz机y机z物y物x物oO机

6、O物手爪机实际要求Tpzazsznzpyaysynypxaxsxnx1000 向重合手爪开合方向与物体ya:Ts001有方向相反方向物体的从上向下抓，指出手爪zab:Ta 100则有Tkjikjiasnc01000100001:1-00001010因此：姿态矩阵为重合时与物体中心当手爪中心100011-001000111010 T物机第10页/共53页第十一页，共53页。xyzz机y机z物y物x物oO机O物手爪机实际要求Tpzazsznzpyaysynypxaxsxnx1000 向重合手爪开合方向与物体ya:Ts001有方向相反方向物体的从上向下抓，指出手爪zab:Ta100则有Osnayzx

7、第11页/共53页第十二页，共53页。AiAi+1o oi iz zi i- -1 1z zi ixiyi两个两个(lin )(lin )关节轴相交关节轴相交第12页/共53页第十三页，共53页。1n最后建立0i Ai-1AiAi+1Ai+2li-1oi-1xi-1yi-1zi-1ABCDoi（xi）（yi）zixiyioi+1xi+1yi+1zi+1di+1li+1di第13页/共53页第十四页，共53页。第14页/共53页第十五页，共53页。A1A2A3A4A5A6d1z1x1y1O1d2z2x2y2O2z3y3x3O3y4z4x4O4z5y5x5O534545,0o o odd重重合合d

8、3z6x6y6O6d6z0y0 x0O0Li 沿沿 xi 轴，轴， zi-1 轴与轴与 xi 轴交点到轴交点到 0i 的距离的距离(jl)i 绕绕 xi 轴，由轴，由 zi-1 转向转向zidi 沿沿 zi-1 轴，轴，zi-1 轴和轴和 xi 交点至交点至0i 1 坐标系原坐标系原 点的距离点的距离(jl)i 绕绕 zi-1 轴，由轴，由 xi-1转向转向 xi第15页/共53页第十六页，共53页。解：解：第16页/共53页第十七页，共53页。第17页/共53页第十八页，共53页。第18页/共53页第十九页，共53页。Paul 等人提出等人提出(t ch)的的方法方法: 第19页/共53页第

9、二十页，共53页。65544332211060TTTTTTT TTTTTT T 6554433221601 -10）（1 q65544332601 -101 -21TTTTTTT）（）（2q65601 -101 -21132143154TTTT)T()T()T(）（）（5 qE601 -101 -65TT) T( ）（6 q100060pzazsznzpyaysynypxaxsxnxT第20页/共53页第二十一页，共53页。考系的姿态。三种(sn zhn)最常见的欧拉角类型列在表中第21页/共53页第二十二页，共53页。步步1步步2步步3类型类型1绕绕OZ轴转轴转角角绕当前绕当前OU 轴转轴转

10、角角绕当前绕当前OW轴转轴转角角类型类型2绕绕OZ轴转轴转角角绕当前绕当前OV 轴转轴转角角绕当前绕当前OW轴转轴转角角类型类型3绕绕OX轴转轴转角角绕绕OY轴转轴转角角绕绕OZ轴转轴转角角uvwx(u)y (v)z (w)ouvwu?v?W?),(ZR),(R),(wR N0T100000000110000cssccssccsscccssssccccssscccsssccsscscscc类型类型1：表示法通常：表示法通常(tngchng)用于陀螺运动用于陀螺运动 第22页/共53页第二十三页，共53页。类型类型2：所得：所得(su d)的转动矩阵为右乘的转动矩阵为右乘 10000c0s-01

11、0s0c 10000),(),v(),(RcssccsscwRRZR1000pzpyRpxTccsssssccscsscccssccssccssccc第23页/共53页第二十四页，共53页。类型类型3： 一般称此转动的欧拉角为横滚、俯仰和偏航角，这种形一般称此转动的欧拉角为横滚、俯仰和偏航角，这种形 式主要式主要(zhyo)用于航空工程中分析飞行器的运动，其旋转矩阵为（这种方法也叫做横滚、俯仰和偏航角表示方法）用于航空工程中分析飞行器的运动，其旋转矩阵为（这种方法也叫做横滚、俯仰和偏航角表示方法） ccscssccssccssscssscsccsssccccssccssccsscxRyRz00

12、0010010010000),(),(),RR（ZYX偏航偏航俯仰俯仰横滚横滚第24页/共53页第二十五页，共53页。斯坦福机器人运动学逆问题斯坦福机器人运动学逆问题(wnt)(wnt)解解6533211060AAAAT61T653321AAA第25页/共53页第二十六页，共53页。式中：式中： yxyxpCpSpfzpfpSpCpf1113121111)()()(211dpcpsyx由两端矩阵对应由两端矩阵对应(duyng)元素相等可得：元素相等可得： 第26页/共53页第二十七页，共53页。作三角作三角(snjio)变换：变换： 式中：式中： 得到得到(d do)： 即有：即有： （ ）第

13、27页/共53页第二十八页，共53页。由由1, 4和和2, 4元素对应元素对应(duyng)相等，得：相等，得： 6261121TTA第28页/共53页第二十九页，共53页。式中第四列：式中第四列： 6362132TTA第29页/共53页第三十页，共53页。式中第三列：式中第三列： 第30页/共53页第三十一页，共53页。第31页/共53页第三十二页，共53页。第32页/共53页第三十三页，共53页。第33页/共53页第三十四页，共53页。N000O0nasX0Y0Z0OnNdTNransTdwRdzdydxTT0N0),(),( 变化后）（NransTdwRdzdydxTdTT0NN0),(

14、),( 记为TdwRdzdydxTdTTrans),(),(TEdwRdzdydxTdTrans),(),()T( . ),(),(的左边在注意，称为微动率，令TdTEdwRdzdydxTrans在忽略高次项在忽略高次项的情况的情况(qngkung)(qngkung)下：微动齐次下：微动齐次变换与次序无变换与次序无关关 d第34页/共53页第三十五页，共53页。平移平移(pn (pn y)y)： 1000100010001dzdydxTr旋转旋转(xunzhun)R (xunzhun)R ，绕任意轴，绕任意轴 旋转旋转(xunzhun) (xunzhun) 角角: :dw,wddddddddd

15、dddddddddddwcos)cos(1rsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrcos)cos(1rsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrcos)cos(1rR2zxzyyzxxzyyzx2yzyxzyx2x,第35页/共53页第三十六页，共53页。1000010101sin, 1cosdrdrdrdrdrdrdddxyxzyz在微动范围内绕经意轴转动在微动范围内绕经意轴转动 角角, ,可以看作可以看作(kn zu)(kn zu)绕绕x,y,zx,y,z轴的微转动的合成。因此：轴的微转动的合成。因此： ddrzddryddr

16、xdzyx,1000010101,xdydxdzdydzddwR因此因此(ync)(ync)：第36页/共53页第三十七页，共53页。因此因此(ync)(ync)微动率微动率= = EdwRdzdydxTrans,0000000dzxdyddyxdzddxydzd微动的齐次变换微动的齐次变换(binhun)(binhun)：dT= dT= T T 第37页/共53页第三十八页，共53页。己知变换己知变换(binhun)(binhun)矩阵矩阵 1000000131007010T,001 . 0kjidkjidp6 . 003 . 0转动转动(zhun dng)(zhun dng)： 平移平移(

17、pn y)(pn y)： 求求d T 解：解： 00006 . 001 . 0001 . 0003 . 000010000100001000011000011 . 0001 . 010000110006 . 010000103 . 000100009 . 01 . 0000001 . 03 . 0000100000013100701000006 . 001 . 0001 . 0003 . 0000TdT第38页/共53页第三十九页，共53页。10009 . 01 . 0013101 . 03 . 7010dTT反过来：如果我们要求反过来：如果我们要求 在在 中的齐次交换矩阵为中的齐次交换矩阵为

18、 nooo1000000131007010T实际测得的为实际测得的为 10009 . 01 . 0013101 . 03 . 7010那么那么(n me)(n me)末端执行器坐标系要如何运动才能到达期望值？末端执行器坐标系要如何运动才能到达期望值？ 1000011 . 0001 . 0100001转动：转动： 10006 . 010000103 . 0001平移：平移： 第39页/共53页第四十页，共53页。第40页/共53页第四十一页，共53页。dT=T （绕基准（绕基准(jzhn)坐标系）坐标系） =TT （绕动坐标系）（绕动坐标系）左乘左乘,绕基准绕基准(jzhn)右乘右乘, 绕动坐标

19、轴绕动坐标轴强调强调(qing dio)等效等效TTTTTT11TT第41页/共53页第四十二页，共53页。1000zzzzyyyyxxxxpasnpasnpasnT 10001PaaaaPsssspnnnnTTzyxTzyxTzyx设：设： 有：有： 0000000pdpdaasdandpdpdssadsndpdpdnnadnsdT0000000pdpdandsdpdpdsndadpdpdnsdad第42页/共53页第四十三页，共53页。例：一动例：一动(ydng)(ydng)坐标系相对于固定坐标系的齐坐标系相对于固定坐标系的齐 次交换为次交换为 1000000131007010Tnsap己

20、知相对己知相对(xingdu)(xingdu)固定坐标系的微动平移和转动固定坐标系的微动平移和转动 kjidkjidp001 . 06 . 003 . 0求：求： 与与 求求dT 求与之等效的绕动坐标系的微平移和微转动求与之等效的绕动坐标系的微平移和微转动 第43页/共53页第四十四页，共53页。解：解： =0000000dzxdyddyxdzddxydyd00006 . 001 . 0001 . 0003 . 00000100001 . 01 . 0001001 . 00010001 . 0kjikjindkjikjisdkjikjiad kjikjikjipdpd6 . 003 . 003

21、7001 . 0kjikji6 . 003 . 0037001 . 0 kjikjikji9 . 003 . 06 . 003 . 03 . 000第44页/共53页第四十五页，共53页。09 . 003 . 00103 . 09 . 003 . 00019 . 09 . 003 . 0100kjikjipdpdakjikjipdpdskjikjipdpdn0000000pdpdandsdpdpdsndadpdpdnsdadT00000001 . 03 . 00009 . 01 . 000第45页/共53页第四十六页，共53页。00009 . 01 . 0000001 . 03 . 00001

22、00000013100701000006 . 001 . 0001 . 0003 . 0000TdT00009 . 01 . 0000001 . 03 . 000000000001 . 03 . 00009 . 01 . 0001000000131007010TTdT解解 ：解：解： 绕自身平移绕自身平移(pn y)和转动和转动TTTTTTTTkjidkjidp01 . 0003 . 09 . 0其结果等于绕固定其结果等于绕固定(gdng)坐标系转动和旋转坐标系转动和旋转 kjidkjidp001 . 06 . 003 . 0等效等效(dn xio)第46页/共53页第四十七页，共53页。说明：如果我们发现末端操作器相对于基准坐标系有了微位移（平移或转动）说明：如果我们发现末端操作器相对于基准坐标系有了微位移（平移或转动）, 我们可以认为末端操作器相对于自己的坐标系发生了微位移。只是微动率和我们可以认为末端操作器相对于自己的坐标系发生了微位移。只是微动率和不同而己。其结果是等效不同而己。其结果是等效(dn xio)的。的。 这些在进行误差补偿和微动时有用这些在进行误差补偿和微动时有用